材料力學(xué)第9章-扭轉(zhuǎn)

1材料力學(xué)第9章-扭轉(zhuǎn)2

桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個(gè)力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種受力與變形形式稱為扭轉(zhuǎn)（torsion）。本章主要分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力以及兩相鄰橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，同時(shí)介紹圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)方法。第9章扭轉(zhuǎn)3圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件引言剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律第9章扭轉(zhuǎn)動(dòng)力傳遞與扭矩極慣性矩與抗扭截面系數(shù)圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件4引言第9章扭轉(zhuǎn)5請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？當(dāng)兩只手用力相等時(shí)，擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。引言第9章扭轉(zhuǎn)6引言第9章扭轉(zhuǎn)Meme（c）（a）MeMeFF（b）Me更多的實(shí)例7引言第9章扭轉(zhuǎn)變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對(duì)的轉(zhuǎn)動(dòng)。受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)，作用著一對(duì)力偶，其力偶矩相等、方向相反。扭轉(zhuǎn)角：任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。8動(dòng)力傳遞與扭矩第9章扭轉(zhuǎn)9動(dòng)力傳遞與扭矩第9章扭轉(zhuǎn)作用于構(gòu)件的外扭矩與機(jī)器的轉(zhuǎn)速、功率有關(guān)。在傳動(dòng)軸計(jì)算中，通常給出傳動(dòng)功率P和轉(zhuǎn)速n，則傳動(dòng)軸所受的外加扭力矩Me可用下式計(jì)算：

其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。如果功率P的單位用馬力（1馬力=735.5N?m/s），則10外加扭力矩Me確定后，應(yīng)用截面法可以確定橫截面上的內(nèi)力——扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時(shí)，橫截面上將產(chǎn)生分布剪應(yīng)力，這些剪應(yīng)力將組成對(duì)橫截面中心的合力矩,稱為扭矩（twistmoment），用Mx表示。

+MeMenMeMxMx動(dòng)力傳遞與扭矩第9章扭轉(zhuǎn)nMeMx_Mx11如果只在軸的兩個(gè)端截面作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在軸上的外力偶矩。扭矩沿桿軸線方向變化的圖形，稱為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。當(dāng)在軸的長(zhǎng)度方向上有兩個(gè)以上的外力偶矩作用時(shí)，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時(shí)需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。動(dòng)力傳遞與扭矩第9章扭轉(zhuǎn)12例題1圓軸受有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。試：畫出圓軸的扭矩圖。

動(dòng)力傳遞與扭矩第9章扭轉(zhuǎn)13解：1．確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2．應(yīng)用截面法，由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

動(dòng)力傳遞與扭矩第9章扭轉(zhuǎn)14

3．建立Mx－x坐標(biāo)系，畫出扭矩圖建立Mx－x坐標(biāo)系，其中x軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標(biāo)在Mx－x坐標(biāo)系中，得到相應(yīng)的點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。

動(dòng)力傳遞與扭矩第9章扭轉(zhuǎn)15剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律第4章扭轉(zhuǎn)16薄壁圓筒：壁厚（r0為平均半徑）一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力（實(shí)驗(yàn)）：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力m。第9章扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力172、實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線傾斜同一個(gè)角度，變成平行的螺旋線。3、結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。②各縱向線均傾斜了同一微小角度。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。第9章扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

185、薄壁圓筒剪應(yīng)力大?。杭俣ㄆ骄植?方向垂直于半徑.A0：平均半徑所作圓的面積。acddxbdy′′4、分析矩形變成平行四邊形,各邊長(zhǎng)不變,所以兩側(cè)截面上只有切應(yīng)力,無(wú)正應(yīng)力.(實(shí)際上與扭矩對(duì)應(yīng)的應(yīng)力只能是切應(yīng)力)第9章扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

19xyzdxdydz第9章扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎樣才能平衡？20怎樣才能平衡？根據(jù)力偶平衡理論xyzdxdydz第9章扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

21剪應(yīng)力成對(duì)定理在兩個(gè)互相垂直的平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線，這就是剪應(yīng)力成對(duì)定理（pairingprincipleofshearstresses）。xyzdxdydz第9章扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

22O剪切胡克定律當(dāng)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比:這種線性關(guān)系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。第9章扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律

23圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)24應(yīng)用平衡方法可以確定圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力分量——扭矩，但是不能確定橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的大小。為了確定橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應(yīng)力是怎樣分布的。圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)25應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過(guò)程圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)26

平面假定

變形協(xié)調(diào)方程

物性關(guān)系——剪切胡克定律

靜力學(xué)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)27

平面假定圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)28假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度。這一假定稱為平面假定。圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)29圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)30

變形協(xié)調(diào)方程

圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)31若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據(jù)上述結(jié)論，在dx長(zhǎng)度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度d，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小者剪應(yīng)變?cè)叫?。圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)32設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)處的剪應(yīng)變?yōu)椋ǎ?，則從圖中可得到如下幾何關(guān)系：

圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)33

物性關(guān)系——剪切胡克定律

圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)34剪切胡克定律O圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)35圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)36圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)37

靜力學(xué)方程圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)38圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)39式中GIP—扭轉(zhuǎn)剛度；

IP—橫截面的極慣性矩。圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)40

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力表達(dá)式圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)41圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)42圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)43最大剪應(yīng)力Wp——扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)。圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)44第9章扭轉(zhuǎn)極慣性矩與抗扭截面系數(shù)45極慣性矩Ｉp扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Ｗp其中d為圓截面直徑（d、D為圓環(huán)內(nèi)外徑）圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第9章扭轉(zhuǎn)46第9章扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件47受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件第9章扭轉(zhuǎn)與抗壓桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)相似，為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)安全可靠地工作，必須將圓軸橫截面上的最大剪應(yīng)力max限制在一定的數(shù)值以下，即：

這一關(guān)系式稱為受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，或稱圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件。

48受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[

]為許用剪應(yīng)力；

max是指圓軸所有橫截面上最大剪應(yīng)力中的最大者，對(duì)于等截面圓軸，最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩最大的橫截面上的邊緣各點(diǎn)；對(duì)于變截面圓軸，如階梯軸，最大剪應(yīng)力不一定發(fā)生在扭矩最大的截面，這時(shí)需要根據(jù)扭矩Mx和相應(yīng)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)WP的數(shù)值綜合考慮才能確定。

圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件第9章扭轉(zhuǎn)49已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。3例題

3圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件第9章扭轉(zhuǎn)50P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件第9章扭轉(zhuǎn)51Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m3解：計(jì)算各軸的扭矩圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件第9章扭轉(zhuǎn)523解：計(jì)算各軸的橫截面上的最大切應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件第9章扭轉(zhuǎn)53圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件

第9章扭轉(zhuǎn)54圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第9章扭轉(zhuǎn)受扭圓軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角圓桿受扭矩作用時(shí)，dx微段的兩截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿軸線方向積分，得到55受扭圓軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角對(duì)于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：對(duì)于各段扭矩不等或截面極慣性矩不等的階梯狀圓軸，軸兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第9章扭轉(zhuǎn)56單位長(zhǎng)度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角在很多情形下，兩端面的相對(duì)扭矩角不能反映圓軸扭轉(zhuǎn)變形的程度，因而更多采用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角表示圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn)角的變化率。單位長(zhǎng)度相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第9章扭轉(zhuǎn)57受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為了機(jī)械運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定和工作精度，機(jī)械設(shè)計(jì)中要根據(jù)不同要求，對(duì)受扭圓軸的變形加以限制，亦即進(jìn)行剛度設(shè)計(jì)。扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計(jì)是將單位長(zhǎng)度上的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角限制在允許的范圍內(nèi)，即必須使構(gòu)件滿足剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則或稱剛度條件：

對(duì)于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則又可以寫成：

圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第9章扭轉(zhuǎn)58受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則其中，[]為單位長(zhǎng)度上的許用相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，其數(shù)值根據(jù)軸的工作要求而定。例如，精密機(jī)械的軸

[]＝(0.25~0.5)()／m；一般傳動(dòng)軸[]＝(0.5~1.0)()／m；剛度要求不高的軸[]＝2（）／m。

圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第9章扭轉(zhuǎn)59

需要注意的是：剛度設(shè)計(jì)中要注意單位的一致性。上式不等號(hào)左邊的單位為rad/m；而右邊通常所用的單位為()／m。因此，在實(shí)際設(shè)計(jì)中，若不等式兩邊均采用rad／m，則必須在不等式右邊乘以（π／180）；若兩邊均采用()／m，則必須在左邊乘以（180／π）。受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第9章扭轉(zhuǎn)60鋼制空心圓軸的外直徑D＝100mm，內(nèi)直徑d＝5