2022年上海華東師范大學第四附屬中學高二數學理聯(lián)考試題含解析

2022年上海華東師范大學第四附屬中學高二數學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從數字1,2,3,4,5這5個數中，隨機抽取2個不同的數，則這兩個數的和為偶數的概率是（

）A、

B、

C、

D、 參考答案：B略2.容量為100的樣本，其數據分布在[2,18]，將樣本數據分為4組：[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18]，得到頻率分布直方圖如圖所示.則下列說法不正確的是(

)A.樣本數據分布在[6,10)的頻率為0.32B.樣本數據分布在[10,14)的頻數為40C.樣本數據分布在[2,10)的頻數為40D.估計總體數據大約有10%分布在[10,14)參考答案：D3.下列函數中，最小值是2的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C4.若關于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m對任意x∈[﹣2，2]恒成立，則m的取值范圍是（）A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，﹣20] C．（﹣∞，0] D．[﹣12，7]參考答案：B【考點】6E：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；3R：函數恒成立問題．【分析】設y=x3﹣3x2﹣9x+2，則y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3（舍），由f（﹣2）=0，f（﹣1）=7，f（2）=﹣20，知y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值為7，最小值為﹣20，由此能求出關于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m對任意x∈[﹣2，2]恒成立的m的取值范圍．【解答】解：設y=x3﹣3x2﹣9x+2，則y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3?[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表討論：x（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，2）f′（x）+0﹣f（x）↑極大值↓∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值為7，最小值為﹣20，∵關于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m對任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故選B．5.在△ABC中，若則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.若函數在區(qū)間(－1,2)上是單調函數，則實數a的取值范圍為（

）A．或

B．或C．

D．參考答案：C7.已知點，，則直線AB的傾斜角為（

）A.60° B.30° C.120° D.150°參考答案：C【分析】先根據斜率公式求斜率，再求傾斜角【詳解】因為直線的斜率為，所以傾斜角為，選C.【點睛】本題考查斜率以及傾斜角概念,考查基本求解能力,屬基礎題.8.已知函數f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實數a的取值范圍是（

） A．(-1,2)

B．(-∞,-3)∪(6,+∞)

C．(-3,6) D．(-∞,-1)∪(2,+∞)

參考答案：B9.若log6a=log7b，則a、b、1的大小關系可能是（）A．a＞b＞1 B．b＞1＞a C．a＞1＞b D．1＞a＞b參考答案：D【考點】4H：對數的運算性質．【分析】利用換底公式、對數函數的單調性即可得出．【解答】解：log6a=log7b，∴，∴1＜a＜b，或0＜b＜a＜1．故選：D．10.若函數在上是增函數，當取最大值時，的值等于（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據輔助角公式化簡成正弦型函數，再由單調性得解.【詳解】，由于在上是增函數，所以，α最大值為，則.故選B.【點睛】本題考查三角函數的輔助角公式和正弦型函數的單調性，屬于基礎題.

8.統(tǒng)計某校n名學生的某次數學同步練習成績（滿分150分），根據成績分數依次分成六組：，得到頻率分布直方圖如圖所示，若不低于140分的人數為110.①m=0.031；②n=800；③100分的人數為60；④分數在區(qū)間[120,140)的人數占大半．則說法正確的是（

）A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】根據頻率分布直方圖的性質和頻率分布直方圖中樣本估計總體，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，根據頻率分布直方圖的性質得，解得.故①正確；因為不低于140分的頻率為，所以，故②錯誤；由100分以下的頻率為，所以100分以下的人數為，故③正確；分數在區(qū)間的人數占，占小半.故④錯誤.所以說法正確的是①③.故選B.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，其中解答熟記頻率分布直方圖的性質，以及在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，則的最小值是

．參考答案：4因為，根據基本不等式：，則，令，不等式轉化為：，解得：，即的最小值為4．

12.如圖是某中學高二年級舉辦的演講比賽上，七位評委為某選手打出的分數的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的中位數為

.

參考答案：去掉一個最高分93分和一個最低分79分后，余下的五個分數依次是：84，84，85，86，87，中位數是85.13.

某地區(qū)為了解70歲～80歲的老人的日平均睡眠時間(單位：h)，隨機選擇了50位老人進行調查，下表是這50位老人睡眠時間的頻率分布表：序號i分組

(睡眠時間)組中值(Gi)頻數(人數)頻率(Fi)

14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08在上述統(tǒng)計數據的分析中一部分計算見算法流程圖，則輸出的S的值為________．參考答案：6.4214.已知，，且，則的最小值是

．參考答案：4根據題意得到，即故答案為：4.

15.關于函數，有下列命題：①其圖象關于y軸對稱；②當x>0時，f(x)是增函數；當x<0時，f(x)是減函數；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在區(qū)間（－1，0）、（2,+∞）上是增函數；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中所有正確結論的序號是

．參考答案：

①③④

16.以下關于圓錐曲線的命題中①設A、B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線有相同的焦點.其中真命題的序號為

（寫出所有真命題的序號）參考答案：③④略17.設函數，若，，則的值為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列的前項和為，（）．（1）證明數列是等比數列，求出數列的通項公式；(2）設，求數列的前項和；參考答案：解：（Ⅰ）因為，所以，則，所以，

………………2分，所以數列是等比數列，

………………3分

，，所以．

………………5分（Ⅱ），

…………6分，………………7分令，①，②①－②得，，，

…………9分所以．

…………10分（Ⅲ）設存在，且，使得成等差數列，則，即，

…………12分即，，因為為偶數，為奇數，所以不成立，故不存在滿足條件的三項．

………………14分略19.（12分）學校有個社團小組由高一，高二，高三的共10名學生組成，若從中任選1人，選出的是高一學生的概率是，若從中任選2人，至少有1個人是高二的學生的概率是，求：（1）從中任選2人，這2人都是高一學生的概率；（2）這個社團中高二學生的人數。參考答案：解：由題意知高一學生的人數為人

…2分（1）

記“任選2人都是高一學生為事件A”

…………………6分（2）

設高二學生的人數為x,記“任選2人,至少有一人為高二學生”為事件B，則

…8分

…………10分

…11分

………12分略20.2018年4月全國青少年足球超級聯(lián)賽火爆開啟，這是體育與教育的強強聯(lián)手，這是培養(yǎng)足球運動員的黃金搖籃，也是全國青少年足球的盛宴．組委會在某場聯(lián)賽結束后，隨機抽取了300名觀眾進行對足球“喜愛度”的調查評分，將得到的分數分成6段：[64，70），[70，76），[76，82），[82，88），[88，94），[94，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值并估計這300名觀眾評分的中位數；（2）若評分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現從“足球迷”中按區(qū)間[88，94）與[94，100]兩部分按分層抽樣抽取5人，然后再從中任意選取兩人作進一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間[94，100]的概率．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）根據所有小矩形的面積和為1，列方程求解可得，利用直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標表示中位數；（2）列舉出從5人中選取2人作進一步的訪談的所有事件共有10個，以及這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間的基本事件有7個，利用古典概型概率公式可得結果.【詳解】（1）因為(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．設y為觀眾評分的中位數，由前三組的概率和為0.40，前四組的概率和為0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，則y＝84．（2）以樣本的頻率作為概率，評分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現從“足球迷”中按分層抽樣抽取5人，則從評分在區(qū)間[88，94)的“足球迷”中抽取3人，記為A，B，C，從評分在區(qū)間[94，100]的“足球迷”中抽取2人，記為a，b．從5人中選取2人作進一步的訪談的所有事件為AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10個基本事件，這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7個基本事件，則選取的2人中至少有1人的評分在區(qū)間[94，100]上的概率．【點睛】本題主要考查直方圖與古典概型概率公式的應用，屬于中檔題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求，在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發(fā)生.21.已知函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；

（2）求