2022-2023學(xué)年四川省內(nèi)江市隆昌縣第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年四川省內(nèi)江市隆昌縣第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A．y=sinx B．y=sin4x C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的法則進(jìn)行變換，并化簡，可得兩次變換后所得到的圖象對應(yīng)函數(shù)解析式．【解答】解：函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x的圖象，再將所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得f（x﹣）=sinx的圖象．∴函數(shù)y=sinx的圖象是函數(shù)的圖象按題中的兩步變換得到的函數(shù)的解析式．故選：A．【點(diǎn)評】本題給出三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換，求得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式．著重考查了三角函數(shù)圖象的變換公式等知識，屬于中檔題．2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C．試題分析：，當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選C．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性．3.如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三個數(shù)的大小關(guān)系是（）A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a參考答案：A【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較．【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，∴c＞b＞a．故選：A．4.的展開式中的系數(shù)是(

)42

35

28

21參考答案：B略5.已知由不等式組，確定的平面區(qū)域的面積為7，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．E5【答案解析】B

解析：依題意：畫出不等式組所表示的平面區(qū)域（如右圖所示）可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形面積為，由直線恒過點(diǎn)，且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足，當(dāng)時，，此時平面區(qū)域的面積為，由于，由此可得.由可得，依題意應(yīng)有，因此（，舍去）故有，設(shè)，故由，可化為，所以當(dāng)直線過點(diǎn)時，截距最大，即取得最小值，故選B．【思路點(diǎn)撥】首先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)直線恒過點(diǎn)B（0，2），且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足，當(dāng)k=0時，y≤2，此時平面區(qū)域Ω的面積為6，由于6＜7，由此可得k＜0．聯(lián)立方程組求出D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求得k的值，最后把轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)解決．6.已知圓是半徑為的球的一個小圓，且圓的面積與球的表面積的比值為，則線段與的比值為_________.參考答案：答案：7.參考答案：A8.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為A.

B.

C.

D.參考答案：B

橢圓的頂點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，,又因為，，成等比數(shù)列，所以有，即，所以，離心率為，選B.9.已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則關(guān)于x的函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）

A．1

B．2

C．0

D．0或2參考答案：C10.已知函數(shù)（，），其圖像與直線相鄰兩個交點(diǎn)的距離為，若對于任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不等式對一切非零實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：12.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則=______________。參考答案：13.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為

.參考答案：

14.設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是_______參考答案：15.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系中，的方程為，則與的交點(diǎn)的個數(shù)為_____________.參考答案：116.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知圓的極坐標(biāo)方程為，則圓上點(diǎn)到直線的最短距離為

。參考答案：17.右圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果為

.參考答案：8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】計算題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）若在區(qū)間（0，e]上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值小于0即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間[1，e]上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．解：（I）因為，當(dāng)a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘極小值↗所以x=1時，f（x）的極小值為1．f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；（II）因為，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在區(qū)間[1，e]上存在一點(diǎn)x0，使得f（x0）＜0成立，其充要條件是f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0即可．（1）當(dāng)a＜0時，f'（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，故f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，由，得，即（2）當(dāng)a＞0時，①若，則f'（x）≤0對x∈[1，e]成立，所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，顯然，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值小于0不成立②若，即1＞時，則有xf'（x）﹣0+f（x）↘極小值↗所以f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；當(dāng)0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]遞增，可得f（1）取得最小值，且為1，f（1）＞0，不成立．綜上，由（1）（2）可知a＜﹣符合題意．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值以及在閉區(qū)間上的最值問題．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想，同時考查學(xué)生的計算能力．19.（12分）對于函數(shù)f（x）=x2﹣lnx．（1）求其單調(diào)區(qū)間；（2）點(diǎn)P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最小距離；（3）若g（x）=8x﹣7lnx﹣k，f（x）與g（x）兩個函數(shù)圖象有三個交點(diǎn)，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（1）根據(jù)題意得f（x）的定義域為x＞0，通過f′（x）即得單調(diào)區(qū)間；（2）由題，令f′（x）==1，解得x=1或（舍），此時y=1﹣ln1=1，即曲線上過P（1，1）的切線平行于直線y=x﹣2時，有最小距離d==；（3）令f（x）=g（x），記G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，討論G′（x）即得結(jié)論．解：（1）根據(jù)題意，得f（x）的定義域為x＞0，所以f′（x）=2x﹣=，故當(dāng)x∈（0，）時f′（x）＜0，即在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)減；當(dāng)x∈（，+∞）時f′（x）＞0，即在此區(qū)間里單調(diào)增；（2）由題，知直線y=x﹣2的斜率為k=1，令f′（x）==1，得2x2﹣x﹣1=（2x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或（舍），此時y=1﹣ln1=1，即曲線上過P（1，1）的切線平行于直線y=x﹣2時，那么這一點(diǎn)到直線的距離最小，此最小距離d==；（3）令f（x）=g（x），即x2﹣lnx=8x﹣7lnx﹣k，得k=﹣x2+8x﹣6lnx，記G（x）=﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）===0，解得，x1=1，x2=3，不難判斷x1=1是極小點(diǎn)，x2=3是極大點(diǎn)，故Gmin（x）=G（1）=﹣1+8=7，Gmax（x）=G（3）=﹣9+24﹣6ln3=15﹣6ln3，又當(dāng)x→0時，G（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時，G（x）→﹣∞，故要使f（x）與g（x）兩個函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)，必須有：7＜k＜15﹣6ln3．【點(diǎn)評】：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，點(diǎn)到直線的距離，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．20.本小題滿分13分）如圖5所示，在四棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)且，為△中邊上的高.（1）證明：平面；（2）若，，，求三棱錐的體積；（3）證明：平面.

參考答案：

（1）證明：因為平面，所以。因為為△中邊上的高，所以。

因為，

所以平面。（2）連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)。

因為是的中點(diǎn)，

所以。

因為平面，所以平面。則，

。（3）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，。

因為是的中點(diǎn)，所以。因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以。因為，

所以。因為平面，

所以。

因為，所以平面，所以平面。21.已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓：的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)動點(diǎn)M，N在橢圓C上，且，記直線MN在y軸上的截距為m，求m的最大值.參考答案：（1）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.因為雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓：的頂點(diǎn)，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以，且，解得.故橢圓的方程為.（2）因為，所以直線的斜率存在.因為直線在軸上的截距為，所以可設(shè)直線的方程為.代入橢圓方程得.因為，所以.設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，.則.因為，即.整理得.令，則.所以.等號成立的條件是，此時，滿足，符合題意.故的最大值為.22.本題滿分15分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，，的中點(diǎn)，，．

（I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；