2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市吳江蘆墟中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市吳江蘆墟中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),實(shí)數(shù)≠,≠－1,=,.若,則()

A.<0B.=0C.0<<1D.≥1

參考答案：解析：注意到直接推理的困難,考慮運(yùn)用特取——篩選法.在選項(xiàng)中尋覓特殊值.

當(dāng)=0時(shí),=,=,則,由此否定B,

當(dāng)=1時(shí),=,f()=f(),則,由此否定D;

當(dāng)0<<1時(shí),是數(shù)軸上以分劃定點(diǎn),所成線段的定比分點(diǎn)(內(nèi)分點(diǎn)),是數(shù)軸上以>1分劃上述線段的定比分點(diǎn)(內(nèi)分點(diǎn)),∴此時(shí)又f(x)在R上遞減,∴由此否定C.因而應(yīng)選A.2.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則?的值為（）A．﹣ B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．【解答】解：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE=2EF，∴?========．故選：B．3.已知是正三角形內(nèi)部一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比是(

)

（A）

（B）

（C）2

（D）參考答案：B略4.從兩個(gè)班級各隨機(jī)抽取5名學(xué)生測量身高（單位：cm)，甲班的數(shù)據(jù)為169，162，150，160，159，乙班的數(shù)據(jù)為180，160，150，150，165．據(jù)此估計(jì)甲、乙兩班學(xué)生的平均身高,及方差,的關(guān)系為(

)A., B., C., D.,參考答案：C【分析】利用公式求得和，從而得到和的大小，觀察兩組數(shù)據(jù)的波動程度，可以得到與的大小，從而求得結(jié)果.【詳解】甲班平均身高，乙班平均身高，所以，方差表示數(shù)據(jù)的波動，當(dāng)波動越大時(shí)，方差越大，甲班的身高都差不多，波動比較小，而乙班身高差距則比加大，波動比較大，所以，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)所給數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的比較大小的問題，涉及到的知識點(diǎn)有平均數(shù)的公式，觀察數(shù)據(jù)波動程度來衡量方差的大小，屬于簡單題目.

5.（4分）直線2x﹣y﹣1=0被圓（x﹣1）2+y2=2所截得的弦長為（） A． B． C． D． 參考答案：D考點(diǎn)： 直線與圓相交的性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合．分析： 本題擬采用幾何法求解，求出圓的半徑，圓心到直線的距離，再利用弦心距、半徑、弦的一半三者構(gòu)成的直角三角形，用勾股定理求出弦長的一半，即得弦長解答： 由題意，圓的半徑是，圓心坐標(biāo)是（1，0），圓心到直線2x﹣y﹣1=0的距離是=故弦長為2=故選D點(diǎn)評： 本題考查直線與圓相交的性質(zhì)求解本題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓到直線的距離以及利用弦心距、弦的一半、半徑三者構(gòu)成的直角三角形求出弦長．6.二次函數(shù)y=圖像的頂點(diǎn)在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B略7.若函數(shù)的減區(qū)間是，則實(shí)數(shù)值是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.要得到的圖象只需將的圖象（）A．向左平移個(gè)單位

B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位

D．向右平移個(gè)單位參考答案：C因?yàn)?，所以由y=3sin3x的圖象向左平移個(gè)單位得到

9.函數(shù)的圖象的一條對稱軸是A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.已知，且下列大小關(guān)系正確的是（

）A

B

C

D

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A、B的點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，

⊥平面PBC.（填圖中的一條直線）參考答案：AF12.函數(shù)恒過定點(diǎn)

.參考答案：(2,1)13.已知變量滿足條件，若目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（3，3）處取得最小值，則的取值范圍是___________________.參考答案：

；略14.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)=

．參考答案：3【考點(diǎn)】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用冪函數(shù)的定義先求出其解析式，進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xα（α為常數(shù)），∵冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)，∴，解得．∴．∴．故答案為3．【點(diǎn)評】正確理解冪函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．15.直線3x-4y+5=0關(guān)于y軸的對稱直線為________________參考答案：7x+y+22=016.在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為，則=

參考答案：2

17.（5分）sin960°的值為

．參考答案：考點(diǎn)： 誘導(dǎo)公式的作用．專題： 計(jì)算題．分析： 利用誘導(dǎo)公式，先化為0°～360°的正弦，再轉(zhuǎn)化為銳角的正弦，即可求得解答： 由題意，sin960°=sin（720°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣故答案為：點(diǎn)評： 本題的考點(diǎn)是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確選用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}是前n項(xiàng)和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1+b1=2，bn+1=3bn+2，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，可得：an+1﹣an=2n+1．利用累加求和方法可得：an．由a1+b1=2，可得b1=1．由bn+1=3bn+2，n∈N*．變形為：bn+1+1=3（bn+1）．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）可得：cn==．利用錯(cuò)位相減法即可得出．【解答】解：（1）∵Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，∴an+1﹣an=2n+1．∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3+1==n2．由a1+b1=2，∴b1=1．∵bn+1=3bn+2，n∈N*．∴bn+1+1=3（bn+1）．∴數(shù)列{bn+1}是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為2．∴bn+1=2×3n﹣1，解得bn=2×3n﹣1﹣1．．（2）由（1）可得：cn==．∴Tn=2++…+，=++…++，相減可得：=2++…+﹣=1+﹣，∴Tn=﹣．19.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（2）若bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）設(shè)ck=，{ck}的前n項(xiàng)和為An，是否存在最小正整數(shù)m，使得不等式An＜m對任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）在數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，作差后即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列{an}的通項(xiàng)代入bn=，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）把Sk，Tk代入ck=，整理后利用裂項(xiàng)相消法化簡，放縮后可證得數(shù)列不等式．【解答】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a2=S1+1=a1+1=2；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1=an+1，Sn﹣1+1=an，相減得an+1=2an，又a2=2a1，{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴；（2）由（1）知，∴，∴，，兩式相減得=，∴；（3）CK===．∴==．若不等式∴＜m對任意正整數(shù)n恒成立，則m≥2，∴存在最小正整數(shù)m=2，使不等式∴＜m對任意正整數(shù)n恒成立．…20.如圖，在梯形ABCD中，，，，（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求數(shù)量積的值參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根據(jù)向量數(shù)量積定義求解【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所?,因此，（Ⅱ）【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及向量數(shù)量積，考查基本分析判斷與求解能力，屬中檔題.21.已知．（1）化簡；（2）若是第二象限角，且，求的值．參考答案：（1）（2）【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可求解.（2）利用誘導(dǎo)公式可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由題意得．（2）∵，∴．又為第二象限角，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.22.(本小題13分)在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向距A為－1海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距A為2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的時(shí)間．(注：≈2.449)參考答案：解：設(shè)緝私船追上走私船所需時(shí)間為t小時(shí)，如圖所示，則有CD＝10t海里，BD＝10t海里．在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝4