人教A版選擇性必修第二冊(cè)第5章53532第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問(wèn)題及實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)案

第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)有關(guān)問(wèn)題及實(shí)際生活中的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．2．體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．3．能利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．借助用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，培育直觀想象的核心素養(yǎng)．2．通過(guò)學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，培育數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．3．借助實(shí)際問(wèn)題的求解，提升規(guī)律推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．學(xué)校或班級(jí)進(jìn)行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣揚(yáng)．現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如下圖的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左右兩邊各空1dm．如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最小？學(xué)問(wèn)點(diǎn)1函數(shù)圖象的畫法函數(shù)f(x)的圖象直觀地反映了函數(shù)f(x)的性質(zhì)．通常，按如下步驟畫出函數(shù)f(x)的大致圖象：(1)求出函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)及函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；(3)用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分成假設(shè)干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x)的單調(diào)性與極值；(4)確定f(x)的圖象所經(jīng)過(guò)的一些特別點(diǎn)，以及圖象的變化趨勢(shì)；(5)畫出f(x)的大致圖象．1．函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為()ABCDD[當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，排解A，B；y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)，由f′(x)＞0得2x(2x2－1)＜0，得x＜－eq\f(\r(2),2)或0＜x＜eq\f(\r(2),2)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，排解C．應(yīng)選D．]學(xué)問(wèn)點(diǎn)2用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的根本思路解決生活中優(yōu)化問(wèn)題應(yīng)留意什么？[提示](1)在建立函數(shù)模型時(shí)，應(yīng)依據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定出函數(shù)的定義域．(2)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，肯定要從問(wèn)題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去，如：長(zhǎng)度、寬度應(yīng)大于0，銷售價(jià)為正數(shù)等．2．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬(wàn)元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為y1＝17x2，生產(chǎn)本錢y2(萬(wàn)元)關(guān)于產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式為y2＝2x3－x2，x＞0，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)該產(chǎn)品________千臺(tái)．6[由題意，利潤(rùn)y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x＞0)．y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＝0舍去)，當(dāng)x∈(0，6)時(shí)，y′＞0，當(dāng)x∈(6，＋∞)時(shí)，y′＜0，∴函數(shù)在(0，6)上為增函數(shù)，在(6，＋∞)上為減函數(shù)．那么當(dāng)x＝6時(shí)，y有最大值．]類型1利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的圖象【例1】函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖象是()ABCDB[法一：由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，排解C；當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，排解A；y′＝eq\f(3x2ex－x3ex,(ex)2)＝eq\f(x2(3－x),ex)，當(dāng)x＜3時(shí)，y′＞0，當(dāng)x＞3時(shí)，y′＜0，∴函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減．應(yīng)選B．法二：由函數(shù)y＝eq\f(x3,ex)可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，排解C；當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，排解A；當(dāng)x→＋∞時(shí)，y→0．應(yīng)選B．]由解析式討論圖象常用的方法依據(jù)解析式推斷函數(shù)的圖象時(shí)，綜合應(yīng)用各種方法，如推斷函數(shù)的奇偶性，定義域、特別值和單調(diào)性，有時(shí)還要用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值點(diǎn)，甚至最值等．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．函數(shù)f(x)＝eq\f(x2lnx2,|x|)的圖象大致為()ABCDB[由f(x)＝eq\f(x2lnx2,|x|)得：f(－x)＝eq\f((－x)2ln(－x)2,|－x|)＝eq\f(x2lnx2,|x|)＝f(x)，故其為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排解D；f(2)＝2ln4＞0，故排解A；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)＝2xlnx，f′(x)＝2(1＋lnx)，可得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，故排解C．應(yīng)選B．]類型2用導(dǎo)數(shù)討論方程的根【例2】假設(shè)方程ax＝x(a＞0，a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．通過(guò)ax＝x轉(zhuǎn)化為lna＝eq\f(lnx,x)，利用導(dǎo)數(shù)的學(xué)問(wèn)畫出y＝eq\f(lnx,x)的圖象，通過(guò)函數(shù)的最值求出a的取值范圍.[解]由ax＝x知x＞0，故x·lna－lnx＝0?lna＝eq\f(lnx,x)，令f(x)＝eq\f(lnx,x)(x＞0)，那么f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)．當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＝e時(shí)，f(x)取得最大值f(e)＝eq\f(1,e)，即lna＜eq\f(1,e)，即a＜eeq\s\up12(eq\f(1,e))．畫出函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與y＝x的圖象(圖略)，結(jié)合圖象可知，假設(shè)方程ax＝x(a＞0，a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，那么a＞1．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，eeq\s\up12(\f(1,e))))．函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一般利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)狀況，建立含參數(shù)的方程或不等式組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的統(tǒng)一.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．函數(shù)f(x)＝xe2x－1，那么函數(shù)f(x)的微小值為________，零點(diǎn)有________個(gè)．－eq\f(1,2e)－11[∵f(x)＝xe2x－1，f′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1＋2x)e2x，令f′(x)＝0，可得x＝－eq\f(1,2)，如下表所示：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減微小值極大值所以，函數(shù)y＝f(x)的微小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2e)－1．f(x)＝0?e2x＝eq\f(1,x)，那么函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)y＝e2x與函數(shù)y＝eq\f(1,x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如下列圖所示：兩個(gè)函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．故答案為：－eq\f(1,2e)－1；1．]類型3導(dǎo)數(shù)在生活實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用用料最省、本錢(費(fèi)用)最低問(wèn)題【例3】為了在夏季降溫柔冬季供暖時(shí)削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建筑隔熱層．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建筑本錢為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消消耗用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，假設(shè)不建隔熱層，每年能源消消耗用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建筑費(fèi)用與20年的能源消消耗用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)到達(dá)最小？并求最小值．1由C0＝8可求k的值，從而求出fx的表達(dá)式.2求函數(shù)式fx的最小值.[解](1)由題設(shè)，每年能源消消耗用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5)．而建筑費(fèi)用為C1(x)＝6x．最終得隔熱層建筑費(fèi)用與20年的能源消消耗用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,(3x＋5)2)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,(3x＋5)2)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0<x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70．當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用到達(dá)最小值70萬(wàn)元．求解優(yōu)化問(wèn)題中的最小值問(wèn)題的思路在實(shí)際生活中關(guān)于用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、用時(shí)最短等問(wèn)題，一般狀況下都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值．假設(shè)求出極值點(diǎn)(留意依據(jù)實(shí)際意義舍去不適宜的極值點(diǎn))后，函數(shù)在該點(diǎn)四周滿意“左減右增〞，那么此時(shí)唯一的微小值就是所求的函數(shù)的最小值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．A，B兩地相距200千米，一只船從A地逆水航行到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的航行速度為v千米/時(shí)(8＜v≤v0)．假設(shè)船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)與其在靜水中的航行速度的平方成正比，當(dāng)v＝12千米/時(shí)時(shí)，船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為720元．為了使全程燃料費(fèi)最省，船在靜水中的航行速度v應(yīng)為多少？[解]設(shè)船每小時(shí)航行所需的燃料費(fèi)為y1元，比例系數(shù)為k(k＞0)，那么y1＝kv2．∵當(dāng)v＝12時(shí)，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，那么y1＝5v2．設(shè)全程燃料費(fèi)為y元，由題意，得y＝y(tǒng)1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)，∴y′＝eq\f(2000v(v－8)－1000v2,(v－8)2)＝eq\f(1000v2－16000v,(v－8)2)．令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16．假設(shè)v0≥16，當(dāng)v∈(8，16)時(shí)，y′＜0，y為減函數(shù)；當(dāng)v∈(16，v0]時(shí)，y′＞0，y為增函數(shù)．故當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，y取得微小值，也是最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最省．假設(shè)v0＜16，那么v∈(8，v0]，且y′＜0，y在(8，v0]上為減函數(shù)．故當(dāng)v＝v0時(shí)，y取得最小值，此時(shí)全程燃料費(fèi)最?。C上可得，假設(shè)v0≥16，那么當(dāng)v＝16千米/時(shí)時(shí)，全程燃料費(fèi)最省，為32000元；假設(shè)v0＜16，那么當(dāng)v＝v0時(shí)，全程燃料費(fèi)最省，為eq\f(1000v\o\al(2,0),v0－8)元．利潤(rùn)最大，效率最高問(wèn)題【例4】某生產(chǎn)飲料的企業(yè)擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)，估計(jì)年銷量Q(萬(wàn)件)與廣告費(fèi)x(萬(wàn)元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q＝eq\f(3x＋1,x＋1)(x≥0)，生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件此產(chǎn)品需再投入32萬(wàn)元．記每件產(chǎn)品售價(jià)為“年平均每件本錢的150%〞與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%〞之和．(1)試將年利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為年廣告費(fèi)x(萬(wàn)元)的函數(shù)．假如年廣告費(fèi)投入100萬(wàn)元，那么企業(yè)是虧損還是盈利？(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？1利用題中等量關(guān)系列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，將x＝100代入關(guān)系式再嘗試推斷y＞0或y＜0；2對(duì)1中函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)求最值.[解](1)由題意，每年銷售Q萬(wàn)件，本錢共計(jì)為(32Q＋3)萬(wàn)元，銷售收入為(32Q＋3)·150%＋x·50%，∴由年利潤(rùn)＝年收入－年本錢－年廣告費(fèi)得y＝eq\f(1,2)(32Q＋3－x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32×\f(3x＋1,x＋1)＋3－x))＝eq\f(－x2＋98x＋35,2(x＋1))(x≥0)，∴所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(－x2＋98x＋35,2(x＋1))(x≥0)．∵當(dāng)x＝100時(shí)，y＜0，∴年廣告費(fèi)投入100萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)虧損．(2)由y＝f(x)＝eq\f(－x2＋98x＋35,2(x＋1))(x≥0)，得f′(x)＝eq\f(－x2－2x＋63,2(x＋1)2)(x≥0)．令f′(x)＝0，那么x2＋2x－63＝0，∴x＝－9(舍去)或x＝7．又∵當(dāng)x∈(0，7)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(7，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，∴f(x)極大值＝f(7)＝42．又∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，∴f(x)max＝f(x)極大值＝f(7)＝42．故當(dāng)年廣告費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大．1．利潤(rùn)最大問(wèn)題是生活中常見的一類問(wèn)題，一般依據(jù)“利潤(rùn)＝收入－本錢〞或“利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品利潤(rùn)×銷售件數(shù)〞建立函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大值．2．解答此類問(wèn)題時(shí)，要仔細(xì)理解相應(yīng)的概念，如：本錢、利潤(rùn)、單價(jià)、銷售量、廣告費(fèi)等，以免因概念不清而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．某電子公司開發(fā)一種智能的配件，每個(gè)配件的本錢是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售a件，通過(guò)改良工藝，每個(gè)配件的本錢不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果說(shuō)明，假如每個(gè)配件的銷售價(jià)提高的百分率為x(0＜x＜1)，那么月平均銷售量削減的百分率為x2，記改良工藝后該電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)是y(元)．(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)改良工藝后，試確定該智能配件的售價(jià)，使電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)最大．[解](1)改良工藝后，每個(gè)配件的銷售價(jià)為20(1＋x)元，月平均銷售量為a(1－x2)件，那么月平均利潤(rùn)y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．(2)y′＝5a(4－2x－12x2)，令y′＝0，得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(2,3)(舍)，當(dāng)0＜x＜eq\f(1,2)時(shí)，y′＞0；eq\f(1,2)＜x＜1時(shí)，y′＜0，∴函數(shù)y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝eq\f(1,2)時(shí)取得極大值也是最大值，故改良工藝后，每個(gè)配件的銷售價(jià)為20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝30元時(shí)，該電子公司銷售該配件的月平均利潤(rùn)最大．1．(多項(xiàng)選擇題)假設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有極值，那么導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可能是()ABCDABC[假設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有極值，即f(x)有極值點(diǎn)，那么必需f′(x)有零點(diǎn)，且f′(x)在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號(hào)．由圖象可知選項(xiàng)D中，f′(x0)＝0，但當(dāng)x＜x0，x＞x0時(shí)都有f′(x)＞0，故不符合題意．應(yīng)選ABC．]2．某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，那么當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為()A．30B．40C．50D．60B[V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)，由于0＜x＜60，所以當(dāng)0＜x＜40時(shí)，V′(x)>0，此時(shí)V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)40<x<60時(shí)，V′(x)<0，此時(shí)V(x)單調(diào)遞減，所以V(40)是V(x)的極大值，即當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為40．]3．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定本錢為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，本錢增加100元，總營(yíng)業(yè)收入R(元)與年產(chǎn)量x(萬(wàn)噸)的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x＞400，))那么總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是()A．100萬(wàn)噸 B．150萬(wàn)噸C．200萬(wàn)噸 D．300萬(wàn)噸D[當(dāng)年產(chǎn)量為x萬(wàn)噸時(shí)，總本錢為(20000＋100x)元，總利潤(rùn)為f(x)元，∴總利潤(rùn)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－20000－100x，0≤x≤400，,80000－20000－100x，x＞400，))即f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x＞400，))所以f′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x＞400，))①當(dāng)0≤x≤400時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝300，由f′(x)<0得300<x≤400，此時(shí)f(x)是減函數(shù)，由f′(x)>0得0<x<300，此時(shí)f(x)是增函數(shù)，∴當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)max＝f(300)＝300×300－eq\f(1,2)×3002－20000＝25000；②當(dāng)x>400時(shí)，f(x)是減函數(shù)，∴f(x)<60000－100×400＝20000，∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)有最大值．應(yīng)選D．]4．假設(shè)方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[－2，2] B．[0，2]C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A[方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，那么－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．令y＝x3－3x，x∈[0，2]，那么y′＝3x2－3，令y′＞0，解得x＞1，因此函數(shù)在[0，1)上單調(diào)遞減，在(