高中數(shù)學(xué)解三角形最值

三角形中的最值（或范圍）問題解三角形問題，可以較好地考察三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，恒等變換，邊角轉(zhuǎn)化，正弦余弦定理等學(xué)問點，是三角，函數(shù)，解析幾何和不等式的學(xué)問的交匯點，在高考中簡單出綜合題，其中，三角形中的最值問題又是一個重點。其實，這一部分的最值問題解決的方法一般有兩種：一是建立目標(biāo)函數(shù)后，利用三角函數(shù)的有界性來解決，二是也可以利用重要不等式來解決。類型一：建立目標(biāo)函數(shù)后，利用三角函數(shù)有界性來解決例1．在△中，分別是內(nèi)角的對邊，且2=（2）（2）.(1)求角A的大??；（2）求的最大值.變式1：已知向量，，且，其中是△的內(nèi)角，分別是角的對邊.(1)求角的大??；（2）求的最大值.解：由，得—2所以，從而60故(60)所以當(dāng)30時，的最大值是變式2．已知半徑為R的圓O的內(nèi)接⊿中，若有2R（—）=（a—b）成立，試求⊿的面積S的最大值。解：依據(jù)題意得：2R(—)=(a—b)*化簡可得—,由余弦定理可得：45,1352*2*(135—A)=((245)+1∵0<A<135∴45<245<315∴當(dāng)245＝90即15時，S取得最大值。類型二：利用重要不等式來解決例2（13年重慶中學(xué)）在中，角的對邊分別為且.（1）若，且<，求的值．（2）求的面積的最大值。解（1）由余弦定理，又∵<，解方程組得或(舍)．（2）由余弦定理，∴，又即時三角形最大面積為變式3．在⊿中，角的對邊是,⊿的外接圓半徑,且＝（1）求B和b的值；（2）求⊿面積的最大值解：由已知＝，整理可得：2即()=2∵π∴=2∵≠0∴∴60∵,∴2260=3,故角60,邊3由余弦定理得2即9＝260∴9＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)即9(當(dāng)且僅當(dāng)3時取等號)∴三角形得面積≤*9*60=∴三角形得面積的最大值是變式4：⊿中，若12,則角C的取值范圍是答案：解法1.由21,∴2c∴24∴=≤∵0<C<A∴0<C≤30解法2()≥,故0<C≤30練習(xí)：1、在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，\f(π,3)＜C＜\f(π,2)且\f(－b)＝\f(2－2C)。（1）推斷△的性狀；(2)若|＋|＝2，求·的取值范圍．解：(1)由\f(－b)＝\f(2－2C)與正弦定理得＝2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，\f(π,3)＜C＜\f(π,2)，∴\f(2,3)π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，則A＝C，∴△為等腰三角形．(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2·＝4，∴＝\f(2－a22)(∵a＝c)，而＝－2C，\f(π,3)＜C＜\f(π,2)，∴\f(1,2)＜＜1，∴1＜a2＜\f(4,3)，又·＝＝2－a2，∴·∈(\f(2,3)，1)．2、在△中，2\f(B,2)＝\f(a＋c,2c)，(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△的形態(tài)為（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵2\f(B,2)＝\f(a＋c,2c)，∴\f(＋1,2)＝\f(a＋c,2c)，∴＝\f()，∴\f(a2＋c2－b2,2)＝\f()，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△為直角三角形．答案：B3、在中，()=1,。（I）求的值；()設(shè)，求的面積。解：（I）由知。又所以即故()由（I）得：又由正弦定理，得：所以4.在中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，且．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣蟮淖畲笾担?.在中，分別為內(nèi)角的對邊，且（Ⅰ）求的大?。唬á颍┤?，試推斷的形態(tài).等腰三角形6．（2012陜西）在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為（C）A.B.C.D.7.(2014新標(biāo)1)已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，=2，且，則面積的最大值為.【解析】由且，即，由與正弦定理得：∴，故，∴，∴8.（2012安徽文）設(shè)的內(nèi)角所對的邊為，且有（Ⅰ）求角的大??；（）若，，為的中點，求的長?！敬鸢浮浚á瘢?；（）9.(2014新標(biāo)2文)四邊形的內(nèi)角與互補，.（1）求和；（2）求四邊形的面積.【答案】（I），。（Ⅱ）10.（2013湖北）在△中，角對應(yīng)的邊分別是.已知.（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若△的面積，，求的值.【簡解】（Ⅰ）由，得，解得或（舍去）.因為，所以.（Ⅱ）由得.又，知.由余弦定理得故.又由正弦定理得.11．(2013江西)在△中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知C＋(A－\r(3)A)B＝0.(1)求角B的大??；(2)若a＋c＝1，求b的取值范圍．【簡解】(1)由已知B－\r(3)B＝0，B－\r(3)B＝0，B＝\r(3)，B＝\f(π,3).(2)b2＝a2＋c2－2B＝(a＋c)2－3≥(a＋c)2－3\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(a＋c,2)))2＝\f(1,4)(a＋c)2＝\f(1,4)，等號可以成立∴b≥\f(1,2).又a＋c>b，∴b<1，∴\f(1,2)≤b<1.12.（2013四川）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且22\f(A－B,2)B－(A－B)B＋(A＋C)＝－\f(3,5).(1)求A的值；(2)若a＝4\r(2)，b＝5，求向量\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影．【簡解】(1)由22\f(A－B,2)B－(A－B)B＋(A＋C)＝－\f(3,5)，得[(A－B)＋1]B－(A－B)B－B＝－\f(3,5)，即(A－B)B－(A－B)B＝－\f(3,5).則(A－B＋B)＝－\f(3,5)，即A＝－\f(3,5).(2)由A＝－\f(3,5)，0<A<π，得A＝\f(4,5)，由正弦定理，有\(zhòng)f(A)＝\f(B)，所以，B＝\f()＝\f(\r(2),2).由題知a>b，則A>B，故B＝\f(π,4)，依據(jù)余弦定理，有(4\r(2))2＝52＋c2－2×5c×\b\\(\\)(\a\4\\1(－\f(3,5)))，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量\o(,\s\6(→))在\o(,\s\6(→))方向上的投影為\o(,\s\6(→))B＝\f(\r(2),2)13.(2013新標(biāo)2)△中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝C＋B.(1)求B；(2)若b＝2，求△面積的最大值．【簡解】(1)A＝C＋B＝(B＋C)＝C＋C．B＝B.又B∈(0，π)，所以B＝\f(π,4).(2)△的面積S＝\f(1,2)B＝\f(\r(2),4).由已知與余弦定理得4＝a2＋c2－2\f(π,4).又a2＋c2≥2，故≤\f(4,2－\r(2))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立．因此△面積的最大值為\r(2)＋1.14、（2015年新課標(biāo)2文）△中D是上的點平分2.（I）求；（）若,求.1、已知中,三個內(nèi)角的對邊分別為,若的面積為S,且等于 （）A． B． C． D．【答案】C由得,即,所以,又,所以,即,所以,即,選C．2、若三角形的內(nèi)角滿意，則的最小值是．【解析】3、在△中，為邊上一點，，．（1）求的大??；