流形上的散度公式證明

流形上的散度公式證明楊科中國成都610017E-mail:more2010e@摘要：散度公式（又稱OcmporpagcKu訝-Gauss公式）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理體系的核心公式之一傳統(tǒng)的散度公式證明邏輯體系，建立了基于空間直角坐標(biāo)系投影法（簡稱投影法）的曲面積分與三重積分的公式關(guān)聯(lián)，確立了投影法為曲面積分的根本方法.但是投影法存在諸多明顯的缺陷（例如計(jì)算過程繁瑣，不適用于不對稱、不規(guī)則曲面等），以致于物理、工程領(lǐng)域的許多重要問題（例如電磁學(xué)領(lǐng)域的Maxwell方程組實(shí)例化和流體力學(xué)領(lǐng)域的任意不規(guī)則控制面積分）的解決途徑，均建立在直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組求解基礎(chǔ)上.一個多世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)、物理和工程實(shí)踐已經(jīng)證明，通過投影法、直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組，難于甚至不能獲得關(guān)于復(fù)雜幾何對象［流形］的解析解、數(shù)值解；傳統(tǒng)的流形微積分學(xué)，用外微分形式推導(dǎo)出Green公式，OcmporpagcKu訝-Gauss公式,Stokes公式，乃至關(guān)于n維空間積分的廣義Stokes公式［20］，即J①=Jd①赤z但是這類用外微分形式推導(dǎo)出的公式只具有抽象的理論意義，并沒有揭示積分的具體實(shí)現(xiàn)過程，更無具體數(shù)值模型可言；本稿件通過建立與具體幾何對象（流形）匹配的個性化坐標(biāo)系（即有什么樣的幾何形體，就建立什么樣幾何形體的坐標(biāo)系，使用什么樣幾何形體的微元系數(shù);而不再依賴于已有的少數(shù)幾個直角坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、廣義球面坐標(biāo)系及其相關(guān)微元系數(shù)等），用積分以及和式極限的方法，證明散度公式在無窮多個任意參數(shù)曲面（流形）坐標(biāo)系［包括單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系（基于Poincare猜想）和復(fù)連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系（環(huán)面坐標(biāo)系）］的存在，使散度公式超越傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系框架，建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三重積分之間的新公式關(guān)聯(lián)，并且在無限豐富、絢麗的公式數(shù)值模型運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)兩種類型積分相互驗(yàn)證，確立兩種新型的積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型."證明流形上的散度公式"本身不是唯一目的/建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三重積分之間的新公式關(guān)聯(lián)，確立兩種新型的積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型”是根本目的.本系列稿件相關(guān)的數(shù)值模型表明，使用基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分以及基于個性化微元系數(shù)的三重積分，能夠獲得關(guān)于復(fù)雜幾何形體［流形］（尤其是不對稱、不規(guī)則曲面及其包含空間區(qū)域）的解析積分值或任意精度浮點(diǎn)積分值；實(shí)現(xiàn)任意曲面積分以及任意空間區(qū)域三重積分，實(shí)現(xiàn)向量場（電場、磁場、流體場、引力場等）和數(shù)量場（電位場、溫度場、密度場等）在任意自由曲面及其包含空間區(qū)域的精確積分計(jì)算，確立兩種類型積分的邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)流形上的散度公式和工程意義上的流形積分.關(guān)鍵詞：微積分學(xué)拓?fù)鋵W(xué)物理學(xué)Poincare猜想向量場數(shù)量場自由參數(shù)曲面坐標(biāo)系單連通可定向閉合參數(shù)曲面坐標(biāo)系復(fù)連通可定向閉合參數(shù)曲面坐標(biāo)系基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分基于個性化微元系數(shù)的三重積分流形上的散度公式證明數(shù)值模型和式極限兩種類型積分的新公式關(guān)聯(lián)工程意義上的流形積分解析積分值任意精度浮點(diǎn)數(shù)積分值中圖分類號：O17/O412.3目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"引言1 2\o"CurrentDocument"引言2證明的前提條件一-單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系的建立 4\o"CurrentDocument"流形上的散度公式證明 10\o"CurrentDocument"總結(jié) 13\o"CurrentDocument"參考書籍 14引言1散度公式（又稱OcmporpagcKu訝-Gauss公式）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理體系的核心公式之一[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17].傳統(tǒng)的散度公式證明邏輯體系,建立了基于空間直角坐標(biāo)系投影法（簡稱投影法）的曲面積分與三重積分的公式關(guān)聯(lián)，確立了投影法為曲面積分的根本方法.投影法的基本思路是將三維歐氏空間區(qū)域中的曲面積分，轉(zhuǎn)化為某一空間直角坐標(biāo)平面上的二重積分，以間接的方式達(dá)到目的.投影法的缺陷是明顯的：第一，積分曲面在某一坐標(biāo)平面的投影區(qū)域不能有重疊，這就決定了積分曲面只能是非常簡單的函數(shù)曲面；在現(xiàn)實(shí)世界和物理、工程領(lǐng)域更為普遍存在復(fù)雜參數(shù)曲面，投影法則無能為力；第二，投影法通常要求積分曲面具有某種對稱性（點(diǎn)對稱、軸對稱和面對稱笥2]）,計(jì)算諸如"以三維坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的球面上側(cè)、下側(cè)、左側(cè)、右側(cè)曲面，類型的簡單曲面積分，再乘以某一常數(shù)，得到整個球面的積分值；在現(xiàn)實(shí)世界和物理、工程領(lǐng)域更為普遍存在的不對稱、不規(guī)則曲面，用投影法計(jì)算非常繁瑣，在絕大多數(shù)情況下不能計(jì)算[1][2][3][4][5][6][7][8][9]；以致于物理、工程領(lǐng)域的許多重要問題（例如電磁學(xué)領(lǐng)域的Maxwell方程組實(shí)例化和流體力學(xué)領(lǐng)域的任意不規(guī)則控制面積分）的解決途徑，均建立在直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系（例如貼體坐標(biāo)系等）的偏微分方程組求解（例如有限元法、邊界元法、有限差分法等[18]）基礎(chǔ)上.一個多世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)、物理、工程實(shí)踐已經(jīng)證明，通過投影法、直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組，難于甚至不能獲得關(guān)于復(fù)雜幾何對象（流形）的解析解、數(shù)值解；第三，因不同積分曲面的幾何差異，投影的方向、投影的次數(shù)千差萬別[尤其是分面投影法].有100計(jì)算實(shí)例，就可能有100種投影方案.計(jì)算過程不可能標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化,不利于電子計(jì)算機(jī)編程；第四，不論積分曲面復(fù)雜程度，投影法實(shí)際計(jì)算過程普遍繁瑣；第五，在物理、數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域至關(guān)重要的OcmporpagcKu訝-Gauss公式,Stokes公式（在某種意義上也包括Green公式），投影法幾乎沒有直接計(jì)算實(shí)例（即使有,也是極個別的特例，沒有代表性.如正方體、長方體表面外觀的閉合''曲面〃[12][13][15][16][17],數(shù)條正方體不同表面截線段圍成的閉合''曲線〃[12][13][15][16],平面、'x+y+z=1〃與三個直角坐標(biāo)平面的

相交三角形構(gòu)成的閉合曲線[12][13][14][15][16]等).通常的思路是,先用符號邏輯的方式證明在直角坐標(biāo)系中三大公式的存在，然后是如何應(yīng)用這三大公式簡化計(jì)算.非常遺憾、困惑的是沒有這三大公式的豐富而絢麗的直接計(jì)算實(shí)例.在球面坐標(biāo)系，有向量場參數(shù)曲面積分[13]、球體空間區(qū)域三重積分[即通過三階Jaccobi行列式變量變換];在極坐標(biāo)系，有平面區(qū)域二重積分[即通過二階Jaccobi行列式變量變換]等計(jì)算方法[12][13][14][16][17].但是存在下列問題：第一，在球面坐標(biāo)系內(nèi)，向量場閉合曲面積分與數(shù)量場閉合空間區(qū)域三重積分彼此孤立,沒有通過散度公式關(guān)聯(lián)，并且兩者的計(jì)算結(jié)果不能相互驗(yàn)證；第二，向量場閉合曲面積分與數(shù)量場閉合空間區(qū)域三重積分局限于正交曲線坐標(biāo)系[即球面坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系][12][13][14][16][17]或廣義球面坐標(biāo)系[14],沒有擴(kuò)展到無窮多個任意參數(shù)曲面坐標(biāo)系；第三，在極坐標(biāo)系內(nèi)，向量場環(huán)路積分與數(shù)量場平面區(qū)域二重積分彼此孤立，沒有通過Green公式關(guān)聯(lián)，并且兩者的計(jì)算結(jié)果也不能相互驗(yàn)證；第四,數(shù)量場[二元函數(shù)]閉合平面區(qū)域二重積分局限于正交曲線坐標(biāo)系[即極坐標(biāo)系][11],沒有擴(kuò)展到無窮多個任意單連通閉合曲線坐標(biāo)系.傳統(tǒng)的流形微積分學(xué)，用外微分形式推導(dǎo)出Green公式，OcmporpagcKu訝-Gauss公式,Stokes公式，乃至關(guān)于n維空間積分的廣義Stokes公式[20],即jw=jdroz但是這類用外微分形式推導(dǎo)出的公式只具有抽象的理論意義，并沒有揭示積分的具體實(shí)現(xiàn)過程，更無具體數(shù)值模型可言.認(rèn)識，無止境.引言2證明的前提條件——單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系的建立(一)考察證明的對象---散度公式：P(x,Q(x,y,z),R(x,y,z)ndS=jjjdivA-dw散度公式P(x,Q(x,y,z),R(x,y,z)ndS=jjjdivA-dw[構(gòu)成向量場A]及其偏導(dǎo)數(shù)在空間閉區(qū)域Q上連續(xù)，則(1)S Q其中曲面S為空間閉區(qū)域Q的整個邊界曲面外側(cè)，n為曲面S的單位外法向量，divA為向量場A的散度”.在公式的定義中，強(qiáng)調(diào)空間閉區(qū)域Q的邊界閉合曲面S必須是能夠區(qū)分其”內(nèi)側(cè)”、”外側(cè)”的可定向曲面.在傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系Octporpagckum-Gauss公式證明中，抽象可定向閉合曲面￡是這樣定義的：抽象可定向閉合曲面￡由三個子曲面￡1:z=z1(x,j)22:z=z2(x,y),&￡3分片包圍而成，其中曲面￡:z=z(x,y),￡:z=z(x,y),&￡皆為抽象二元函數(shù).1 1 2 2 3(參見《高等數(shù)學(xué)(第六版)》(下冊)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系高等教育版2007P168-170)也就是說，散度公式客觀上要求，不論在空間直角坐標(biāo)系，或者在其它坐標(biāo)系，被證明的相關(guān)曲面S必須具有兩種屬性：(1)閉合性;(2)可定向性.離開傳統(tǒng)的空間直角坐標(biāo)系，怎樣刻畫抽象的、具有普遍意義的可定向閉合曲面并且進(jìn)一步建立可定向閉合曲面坐標(biāo)系？并沒有現(xiàn)成的答案.Poincare猜想[19]斷定”任何與n維球面同倫的n維閉合流形必定同胚于n維球面”，在散度或旋度公式涉及的三維歐氏空間，其對應(yīng)的判斷為"任何單連通、可定向2維閉合流形必定同胚于2維球面".也就是說，根據(jù)Poincare猜想，在散度或旋度公式涉及的三維歐氏空間，任何單連通、可定向的閉合曲面(雖然僅僅是單連通)，不論其幾何外觀如何千變?nèi)f化，必定有同胚于球面這一普遍屬性.進(jìn)一步的問題自然是在三維歐氏空間，能否根據(jù)Poincare猜想這一普遍屬性，定義單連通、可定向的閉合曲面的抽象的、普遍意義的表達(dá)式？這也正是本引言討論的中心內(nèi)容.在空間解析幾何學(xué)中，上述"2維球面"的參數(shù)表達(dá)式為[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],其中參數(shù)u的變化范圍[0,Pi],參數(shù)v的變化范圍[0,2*Pi](在嚴(yán)格意義上，該參數(shù)表達(dá)式是2維球面在空間直角坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換式；二維球面在球面坐標(biāo)系的表達(dá)式是常數(shù)1).在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域/同胚”的定義為”兩個流形，如果可以通過彎曲、延展、剪切等操作把其中一個變?yōu)榱硪粋€，則認(rèn)為兩者是同胚的”.從解析幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)的角度再理解Poincare猜想，既然"2維球面”的參數(shù)方程為[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],其中參數(shù)變化范圍u[0,Pi],v[0,2*Pi],則0其變形[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi](其中待定系數(shù)a,b,c為任意非零常數(shù))即為任意橢球面的參數(shù)方程.在三維歐氏空間，任意橢球面皆同胚于球面，這是拓?fù)鋵W(xué)的常識，無需討論；如果a,b,c為任意”一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)”，可能出現(xiàn)怎樣的情況？參見下列圖例：圖例1：

假設(shè)任意待定系數(shù)a=sin(u)+cos(v),b=cos(u),c=cos(v/2),則目標(biāo)參數(shù)曲面[a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)](其中u￡[0,n],v￡[0,2n])為[(sin(u)+cos(v))*sin(u)*cos(v),cos(u)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*cos(u)](其中u￡[0,n],v￡[0,2n])其實(shí)際參數(shù)圖形為：圖例1由待定系數(shù)a,b,c輸入任意"一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)"，

輸出參數(shù)曲面呈非單連通、非閉合狀態(tài)，與Poincare猜想及流形上的散度或旋度公式討論的內(nèi)容無關(guān)圖例2:假設(shè)任意待定系數(shù)a=sin(u+v)+cos(v),b=cos(v),c=cos(v/2),則目標(biāo)參數(shù)曲面[a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)](其中u￡[0,n],v￡[0,2n])

為[(sin(u+v)+cos(v))*sin(u)*cos(v),cos(v)*sin(u)*sin(v),cos(v/2)*cos(u)](其中u￡[0,n],v￡[0,2n])其實(shí)際參數(shù)圖形為:圖例2由待定系數(shù)a,b,c輸入任意"一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)",

輸出參數(shù)曲面呈非單連通、不可定向狀態(tài)，

與Poincare猜想及流形上的散度或旋度公式討論的內(nèi)容無關(guān)圖例3:假設(shè)任意待定系數(shù)a=sin(u),b=cos(u)+cos(u+3*v)/3,c=cos(u),則目標(biāo)參數(shù)曲面[a*sin(u)*cos(v),b*sin(u)*sin(v),c*cos(u)](其中u￡[0,n],v￡[0,2n])為[sin(u)*sin(u)*cos(v),(cos(u)+cos(u+3*v)/3)*sin(u)*sin(v),cos(u)*cos(u)](其中u￡[0,n],v￡[0,2n])其實(shí)際參數(shù)圖形為:

圖例3由待定系數(shù)a,b,c輸入任意"一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)"，輸出曲面呈單連通可定向閉合狀態(tài)可以作為Poincare猜想及流形上的散度或旋度公式討論的對象實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)從原始現(xiàn)象表明，同樣屬于參數(shù)曲面[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi],因待定系數(shù)a,b,c的不同取值，一部份曲面屬于單連通、可定向閉合曲面,一部分曲面則例外.也就是說，參數(shù)曲面[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]存在兩種情況：在待定系數(shù)a,b,c為任意非零常數(shù)的情況下，參數(shù)曲面為橢球面(自然同胚于球面)；在待定系數(shù)a,b,c為任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)的情況下，參數(shù)曲面可以為單連通可定向閉合曲面(同胚于球面)，也可以為非單連通可定向閉合曲面(不同胚于球面).進(jìn)一步的問題自然是在參數(shù)曲面[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]模式中，能否通過某種定義將非單連通可定向閉合曲面(不同胚于球面)的情況排除?(二)設(shè)定任意曲面為一集合，則任意單連通、可定向閉合曲面是前者的子集合.Poincare猜想是這一子集合的屬性，本論文流形上的散度或旋度公式證明及其和式極限證明則討論散度或旋度公式是否適用于這一子集合.Poincare猜想為用參數(shù)方程方法描述任意單連通、可定向閉合曲面的某種屬性(即同胚于2維球面這一屬性)提供了實(shí)現(xiàn)途徑.參考丘成桐院士2006年觀點(diǎn)：龐加萊猜想和三維空間幾何化的問題是幾何領(lǐng)域的主流，它的證明將會對流形性質(zhì)的認(rèn)識，甚至用數(shù)學(xué)語言描述宇宙空間產(chǎn)生重要影響.基于上述情況，將無數(shù)具體的單連通、可定向閉合曲面抽象化為一個統(tǒng)一的表達(dá)式：[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi](其中待定系數(shù)a,b,c不能任意指定，而必須服從于曲面的單連通、可定向閉合的拓?fù)鋵W(xué)屬性)也就是說，如果待定系數(shù)a,b,c能夠任意指定，則目標(biāo)曲面[a*sin(u)cos(v),b*sin(u)sin(v),c*cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]可能是單連通、可定向閉合曲面，也可能不是；如果預(yù)先設(shè)定目標(biāo)曲面[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]本身就是單連通、可定向閉合曲面，則待定系數(shù)a,b,c就不能任意指定了.從幾何意義解釋上述現(xiàn)象---在空間直角坐標(biāo)系，球面(即[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi])沿x,y,z軸三個方向任意連續(xù)變化(即[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi],其中待定系數(shù)a,b,c為任意一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù))，不一定產(chǎn)生單連通、可定向閉合曲面；反過來，在空間直角坐標(biāo)系，任一單連通、可定向閉合曲面--必定由球面(即[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi])沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變化而成(也必定能夠沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變回球面)--Poincare猜想為依據(jù).例如，正六面體(即正方體)表面也可以被視為單連通、可定向閉合曲面---但是正六面體表面難于甚至不能用參數(shù)方程描述---但是不能否認(rèn)，根據(jù)Poincare猜想，正六面體表面必定同胚于球面，必定由球面(即[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi])沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變化而成(也必定能夠沿x,y,z軸三個方向連續(xù)變回球面)；根據(jù)Poincare猜想，正六面體表面同樣可以用[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]參數(shù)模式描述.用[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]模式

描述抽象的、具有普遍意義的單連通、可定向閉合曲面，實(shí)際上是用Poincare猜想來描述單連通、可定向閉合曲面的某種內(nèi)在結(jié)構(gòu)和屬性(即同胚于球面這一屬性)，為進(jìn)一步的公式推導(dǎo)設(shè)定一個恰當(dāng)?shù)那疤釛l件.需要特別指出，在具體曲面為復(fù)連通、可定向閉合曲面(例如環(huán)面及其同胚曲面)情況下還不能實(shí)現(xiàn)抽象化，還沒有相關(guān)的理論依據(jù)為支持.在實(shí)際操作層面，用Plot3D[屬于WaterlooMaple計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)指令]指令繪畫出某一參數(shù)曲面，必須在直觀視覺上判定該曲面是否為單連通、可定向閉合曲面以后，才能決定是否適用于流形上的散度或旋度公式數(shù)值模型;從參數(shù)表達(dá)式本身無法判斷曲面是否為單連通、可定向閉合曲面；參數(shù)曲面是否為單連通、可定向閉合曲面的決定因素在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域而不在解析幾何領(lǐng)域；單憑解析幾何的參數(shù)方程方法并不能夠推導(dǎo)、演繹出某一曲面的單連通、可定向閉合屬性.(三)[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]只是基于Poincare猜想定義的抽象的、普遍意義的單連通可定向閉合曲面表達(dá)式，還不屬于坐標(biāo)系;抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系為[rasin(u)cos(v),rbsin(u)sin(v),rccos(u)],r[0,00],u[0,Pi],v[0,2*Pi],其中r為向徑，a,b,c為待定系數(shù)(因?yàn)閍,b,c既可以為非零常數(shù)，也可以為一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù))，具有不確定性.實(shí)際上，抽象單連通可定向閉合曲面表達(dá)式[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]與橢球面表達(dá)式[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)],u[0,Pi],v[0,2*Pi]在形式上是完全一致的，只是兩者對待定系數(shù)a,b,c的解釋不同：前者將a,b,c解釋為"任意非零常數(shù)或一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)(非任意，受曲面的單連通可定向閉合屬性限制)，而后者將a,b,c解釋為只是"任意非零常數(shù)"；故抽象單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的對應(yīng)關(guān)系是x=r*asin(u)cos(v),y=r*bsin(u)sin(v),z=r*ccos(u)(與橢球面坐標(biāo)系-直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換式是相同的).流形上的散度公式證明:P(x,Q(x,y,z),R(x,y,z)ndS=JJJdivA-d&散度公式P(x,Q(x,y,z),R(x,y,z)ndS=JJJdivA-d&[構(gòu)成向量場A]及其偏導(dǎo)數(shù)在空間閉區(qū)域Q上連續(xù)，則(1)S Q其中曲面S為空間閉區(qū)域Q的整個邊界曲面外側(cè),n為曲面S的單位外法向量，divA為向量場A的散度

證明：定義任意單連通、可定向閉合曲面S的參數(shù)表達(dá)式：[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos(u)](2)其中a,b,c為非零常數(shù)或一階可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)表達(dá)式，單連通、可定向閉合曲面S決定a,b,c的取值；設(shè)定參數(shù)u,v的變化范圍[0,兀],[0,2兀],使曲面S閉合.(參見Poincare猜想：”任何與n維球面同倫的n維閉合流形必定同胚于n維球面”)[19]根據(jù)曲面參數(shù)表達(dá)式(2),定義并計(jì)算第一偏導(dǎo)數(shù)矩陣，獲取曲面S的切平面法向量：i8ai8asin(u)cos(v)8u8—asin(u)cos(v)8vj8，.，、.，、bsin(u)sin(v)8u8—bsin(u)sin(v)8vk8 (\ccos(u)8u8—ccos(u)8vicsin(u)2bcos(v)+acos(u)cos(v)2kbsin(u)+asin(u)2sin(v)jcTOC\o"1-5"\h\z+asin(u)sin(v)2kbcos(u) ,3(3)從⑶式分別提取i,j,k項(xiàng)系數(shù)，獲得曲面S的切平面法向量：[csin(u)2bcos(v),sin(u)2asin(v)c,sin(u)abcos(u)] (4)向量場A與曲面S的切平面法向量(4)的空間點(diǎn)積對曲面參數(shù)u,v的積分:「2冗尸P(x,y,z)csin(u)2bcos(v)+Q(x,y,z)sin(u)2asin(v)cJJ0 0+R(x,y,z)sin(u)abcos(u)dudv=￡兀2Q(X,y,z)asin(v)c兀+^P(x,y,z)cbcos(v)兀dv=0(5)將曲面S的參數(shù)表達(dá)式(2)各項(xiàng)通乘以向徑r(設(shè)定r>0),將x,y,z軸方向上的曲面坐標(biāo)參數(shù)轉(zhuǎn)化為空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)：TOC\o"1-5"\h\z[rasin(u)cos(v),rbsin(u)sin(v),rccos(u)] (6)根據(jù)空間區(qū)域坐標(biāo)參數(shù)(6),定義并計(jì)算第二偏導(dǎo)數(shù)矩陣，獲取空間閉區(qū)域Q微元系數(shù)的一般表達(dá)式：8—rasin(u)cos(v)8v88—rasin(u)cos(v)8v8一rbsin(u)sin(v)8v—rasin(u)cos(v)——rasin(u)cos(v)8r 8u88一rbsin(u)sin(v) 一rbsin(u)sin(v)8r 8u—rccos(u—rccos(u)8r—rccos(u)8u—rccos(u)8v(7)=abcr2sin(u)(7)計(jì)算向量場A的散度，并將其從直角坐標(biāo)形式(8)轉(zhuǎn)變?yōu)榭臻g閉區(qū)域Q坐標(biāo)形式(9):8 8 8 、—P(x,y,z)+—Q(x,y,z)+—R(x,y,z)8x 8y 8z8(rasin(u)cos(v))8(rasin(u)cos(v))+—8(rasin(u)cos(v))8(rasin(u)cos(v))+—Q(x,y,z)八88xP(x,y,z)f|[8v )[￡(rbsin(u)sin(v)))[￡88+[&R(x,y,z))[E~ 、'_.,、_ ，、一一 一[虱P(x,y,z))a3sin(u)2cos(v)2r2cos(u)sin(v)+f^-Q(x,y,z)[b3sin(u)2sin(v)2r2cos(u)cos(v)(8y )f?(rasin(u)cos(v))八8r )8-8^(rbsin(u)sin(v))(rbsin(u)sin(v)))^8y8r(rccos(u))](￡(rccos(u))(rccos(u))=散度⑼與空間閉區(qū)域Q微元的乘積對變量r,u,v的三重積分： (10)「2兀「K廣1陽y,z)/JJJ0 00a3sin(u)2cos(v)2r2cos(u)sin(v)倍Q(x,y,z[b3sin(u)2sin(v)2r2cos(u)cos(v)asin(u)r2bcdrdudv=)「2?！窴5JJ00P(x,y,z)a3sin(u)2cos(v)2cos(u)sin(v))信Q(x,y,z[b3sin(u)2sin(v)2cos(u)cos(v)asin(u)bcdudv=0)其中，「2兀「Kr1abcr2sin(u)drdudv^0JJJ0 00即設(shè)定空間閉區(qū)域Q微元本身對參數(shù)r,u,v的三重積分不能為零，也可以理解為設(shè)定空間閉區(qū)域Q不能為零體積即(5)式=(10)式:P(x,y,z)csin(u)2bcos(v)+Q(x,y,z)sin(u)2asin(v)cJ0R(x,y,z)sin(uR(x,y,z)sin(u)abcos(u)dudv途1|-| P(x,y,z)|a3sin(u)2cos(v)2r2cos(u)sin(v)TOC\o"1-5"\h\z[[°x )JJJ0 00Q(x,y,z)b3Q(x,y,z)b3sin(u)2sin(v)2r2cos(u)cos(v)asin(u)r2bcdrdudv亦可表述為』JA-ndS=JJJdivA-d?(1),證畢s 。附件1流形上的散度公式證明流形上的散度公式和式極限證環(huán)面散度公式證明和流形上的散度公式數(shù)值模型，參見和數(shù)值模型（分析與說明附件1流形上的散度公式證明流形上的散度公式和式極限證流形上的散度公式和式極限證明及其數(shù)值模型，參見明和數(shù)值模型［附件3分析與說明］總結(jié)傳統(tǒng)的散度公式證明邏輯體系，建立了基于空間直角坐標(biāo)系投影法（簡稱投影法）的曲面積分與三重積分的公式關(guān)聯(lián)，確立了投影法為曲面積分的根本方法.但是投影法存在諸多明顯的缺陷（例如計(jì)算過程繁瑣，不適用于不對稱、不規(guī)則曲面等），以致于物理、工程領(lǐng)域的許多重要問題（例如電磁學(xué)領(lǐng)域的Maxwell方程組實(shí)例化和流體力學(xué)領(lǐng)域的任意不規(guī)則控制面積分）的解決途徑，均建立在直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組求解基礎(chǔ)上.一個多世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)、物理和工程實(shí)踐已經(jīng)證明，通過投影法、直角坐標(biāo)系或其它坐標(biāo)系的偏微分方程組，難于甚至不能獲得關(guān)于復(fù)雜幾何對象（流形）解析解、數(shù)值解；傳統(tǒng)的流形微積分學(xué)，用外微分形式推導(dǎo)出Green公式,OctporpagcKmm-Gauss公式，Stokes公式，乃至關(guān)于n維空間積分的廣義Stokes公式［20］,即J①=Jd①但是這類用外微分形式推導(dǎo)出的公式只具有抽象的理論意義，并沒有揭示積分的具體實(shí)現(xiàn)過程，更無具體數(shù)值模型可言；建立與具體幾何對象（流形）匹配的個性化坐標(biāo)系（即有什么樣的幾何形體，就建立什么樣幾何形體的坐標(biāo)系，使用什么樣幾何形體的微元系數(shù);而不再依賴于已有的少數(shù)幾個直角坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、廣義球面坐標(biāo)系及其相關(guān)微元系數(shù)），證明散度公式在無窮多個任意參數(shù)曲面（流形）坐標(biāo)系［包括單連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系（基于Poincare猜想）和復(fù)連通可定向閉合曲面坐標(biāo)系（環(huán)面坐標(biāo)系）］的存在，使散度公式超越傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系框架，建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三重積分之間的新公式關(guān)聯(lián)，并且在無限豐富、絢麗的公式數(shù)值模型運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)兩種類型積分相互驗(yàn)證，確立兩種新型的積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型."證明流形上的散度公式"本身不是唯一目的/建立基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分與基于個性化微元系數(shù)的三重積分之間的新公式關(guān)聯(lián)，確立兩種新型的積分方法的理論邏輯依據(jù)和數(shù)值模型"是根本目的.本系列稿件相關(guān)的數(shù)值模型表明，通過基于參數(shù)化空間點(diǎn)積法的曲面積分和基于個性化微元系數(shù)的三重積分，能夠獲得關(guān)于復(fù)雜幾何形體（流形）（尤其是不對稱、不規(guī)則曲面及其包含空間區(qū)域）的解析積分值或任意精度浮點(diǎn)積分值;實(shí)現(xiàn)任意曲面積分、任意空間區(qū)域三重積分（甚至實(shí)現(xiàn)積分區(qū)間的藝術(shù)化）；尋找向量場（電場、磁場、流體場、引力場等）和數(shù)量場（電位場、溫度場、密度場等）在任意自由曲面及其包含空間區(qū)域的積分計(jì)算途徑和關(guān)聯(lián)關(guān)系，尋找微積分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和工程計(jì)算三者的直接銜接點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)流形上的散度公式和工程意義上的流形積分，實(shí)現(xiàn)更廣大、更自由的物理、數(shù)學(xué)探索和工程實(shí)踐.參考書籍：［1］ 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《Maple指令參考手冊》國防工業(yè)版2002.1PrOOfofDivergenceTheorematManifoldYangkeChinaChengdu610017E-mail:more2010e@Abstract:DivergenceTheorem(i.e.OcmporpagcK湖-Gauss’Theorem)isoneofthehardcoreinmodernmathematicalandphysicalsystem.ThelogicsystemofDivergenceTheorem5straditionalproof,establishedformularassociationbetweensurfaceintegral(Basedonprojectivemethodin3-DimensionalCartesiancoordinates,shortenedformas‘projectivemethod’)andtripleintegrals,radicatedthatprojectivemethodwasprimarymethodofsurfaceintegral.Butprojectivemethodpossessesmanyobviousdefects(plicatedandtediouscalculatingcourse,bedisabletocalculateonasymmetrical、irregularsurfacesetc.),sothatresolventsofmanyimportantquestionsinphysics、engineeringfield(e.g.instantiationofMaxwell'sequationsinelectromagnetismandintegralatdiscretionalirregularcontrolsurfaceinhydrodynamics)arebuiltonsolvingpartialdifferentialequationsinCartesiancoordinatesorothercoordinates.Formorethanacentury,countlessmathematical>physicalandengineeringpracticeshaveproved:Dependonprojectivemethod、partialdifferentialequationsinCartesiancoordinatesorothercoordinates,itisdifficultordisabletoobtainanalyticalsolutionornumericalsolutionaboutcomplicatedgeometricobjects(Manifold);TraditionalmanifoldcalculusdeductsoutGreenTheorem>OcTporpagcKu訪-GaussTheoremandStokesTheorembyexteriordifferentialform,andevengeneralizedStokesTheoremaboutn-dimensionalspaceintegral[20],viz.'?—d?.Butthesetheorems(deductedbyexteriordifferentialform),scantlypossessabstractacademicmeaning,andcan’trevealidiographiccourseofintegrals,leavealoneidiographicnumericalmodels.Inthismanuscript,constituteindividualcoordinatesthatmatcheswithidiographicgeometricobject[Manifold](Viz.Whatidiographicgeometricshape,whatcoordinatesofidiographicgeometricshape,whatelementcoefficientofidiographicgeometricshape;nolongerrelyonafewexistentcoordinates:Cartesiancoordinates、Sphericalcoordinates、Cylindricalcoordinatesandgeneralizedsphericalcoordinatesandtheircorrelativeelementcoefficientsetc.),bymethodsofintegralandfinitesumslimits,provethepresenceofDivergenceTheoremincountlessfreeparametrizedsurface[Manifold]coordinates[Includesimplyconnectedorientableclosedsurfacecoordinates(BasesonPoincareconjecture)andmultipleconnectedorientableclosedsurface(Torus)coordinates],enableDivergenceTheoremsurpasstraditionalarchitectureof3-DimensionalCartesiancoordinates,establishnewformularassociationbetweensurfaceintegral(Basesonparameterizeddotproductmethod)andtripleintegrals(Basesonidiographicelementcoefficient),andrealizemutualvalidationbetweentwotypesofintegralininfinitelyplentifulandgorgeousformularnumericalmodeloperations,radicatetheoreticallogicbasisandnumericalmodeloftwonewintegralmethods.‘ProveDivergenceTheorematManifold5itselfisnotsolepurpose,‘Establishnewform