2020-2021學年江蘇省蘇州五中、新區(qū)一中、蘇大附中高一（下）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年江蘇省蘇州五中、新區(qū)一中、蘇大附中高一（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小是，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1．（5分）在復平面內與復數(shù)z＝所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+3．（5分）在△ABC中，若acosC+ccosA＝bsinB，則此三角形為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（5分）如圖，一個大風車的半徑是8米，每12分鐘旋轉一周，最低點離地面2米，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點P離地面的距離h（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關系是（）A．h＝﹣8sin（t）+10 B．h＝﹣8cos（t）+10 C．h＝8cos（t）+10 D．h＝﹣8cos（t）+105．（5分）函數(shù)f（x）＝sin2x+2cos2x﹣，g（x）＝mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若對任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）＝f（x2）成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（1，） B．（，1] C．[，1] D．[1，]6．（5分）在斜△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA+bsinB﹣csinC＝4bsinBcosC，CD是角C的角平分線，且CD＝b，則cosC＝（）A． B． C． D．7．（5分）17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形）．例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金△ABC中，．根據這些信息，可得cos216°＝（）A． B． C． D．8．（5分）在△ABC中，已知，sinB＝cosA?sinC，S△ABC＝6，P為線段AB上的一點，且?，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（2﹣i）＝i2020，則下列說法錯誤的是（）A．復數(shù)z的模為 B．復數(shù)z的共軛復數(shù)為 C．復數(shù)z的虛部為 D．復數(shù)z在復平面內對應的點在第一象限（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的圖象關于直線x＝對稱，則（）A．函數(shù)f（x+）為奇函數(shù) B．函數(shù)f（x）在[，]上單調遞增 C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，則|x1﹣x2|的最小值為 D．函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y＝﹣cos3x的圖象（多選）11．（5分）若四面體各棱的長是1或2，且該四面體的棱長不全相等，則其體積的值可能為（）A． B． C． D．（多選）12．（5分）已知△OAB的頂點坐標為O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），點P的橫坐標為14，且，點Q是邊AB上一點，且，R為線段OQ上的一個動點，則（）A．λ＝ B．點P的縱坐標為﹣7 C． D．的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）向量，，則|﹣2|＝．14．（5分）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且三條側棱長分別為1，，，則三棱錐的外接球的表面積是．15．（5分）若，且，則sin2α的值是．16．（5分）如圖所示，要修建一個形狀為等腰直角三角形的廣場ABC，∠ABC＝90°，且在廣場外修建一塊三角形草地BCD，滿足BD＝2，CD＝1．①若，則AD＝；②欲使A、D之間距離最長，則cos∠BDC＝．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（10分）在條件①（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，②asinB＝bcos（A+），③bsin＝asinB中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b+c＝6，a＝，______，求△ABC的面積．18．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其單調增區(qū)間；（Ⅱ）當時，對任意t∈R，不等式mt2﹣mt+2≥f（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．19．（12分）如圖所示，已知ABCD為梯形，AB∥CD，CD＝2AB．（1）設平面PAB∩平面PDC＝l，證明：AB∥l；（2）在棱PC上是否存在點M，使得PA∥平面MBD，若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由．20．（12分）如圖所示，A、B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP＝θ（0＜θ＜π），點C坐標為（﹣2，0），平行四邊形OAQP的面積為S．（1）求的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）．21．（12分）如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB＝1，BC＝2，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形PMN，其底邊MN⊥BC．（1）設∠MOD＝30°，求三角形鐵皮PMN的面積；（2）求剪下的鐵皮三角形PMN面積的最大值．22．（12分）已知a＜0，函數(shù)，其中．（1）設，求的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)g（t）；（2）求函數(shù)f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）若對區(qū)間內的任意x1，x2，若有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求實數(shù)a的取值范圍．

2020-2021學年江蘇省蘇州五中、新區(qū)一中、蘇大附中高一（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小是，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1．（5分）在復平面內與復數(shù)z＝所對應的點關于虛軸對稱的點為A，則A對應的復數(shù)為（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】利用復數(shù)的運算法則和復數(shù)的幾何意義即可得出．【解答】解：復數(shù)z＝＝＝1+i所對應的點（1，1）關于虛軸對稱的點為A（﹣1，1），∴A對應的復數(shù)為﹣1+i．故選：D．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則和復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．2．（5分）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故選：A．【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算能力，屬于基礎題．3．（5分）在△ABC中，若acosC+ccosA＝bsinB，則此三角形為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】由已知以及正弦定理可知sinAcosC+sinCcosA＝sin2B，化簡可得sinB＝sin2B，結合B的范圍可求B＝，從而得解．【解答】解：在△ABC中，由acosC+ccosA＝bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA＝sin2B，即sin（A+C）＝sinB＝sin2B．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴sinB＝1，B＝．所以三角形為直角三角形．故選：C．【點評】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的應用，屬于基礎題．4．（5分）如圖，一個大風車的半徑是8米，每12分鐘旋轉一周，最低點離地面2米，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點P離地面的距離h（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關系是（）A．h＝﹣8sin（t）+10 B．h＝﹣8cos（t）+10 C．h＝8cos（t）+10 D．h＝﹣8cos（t）+10【分析】由實際問題設出P與地面高度與時間t的關系，f（t）＝Acos（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由題意求出三角函數(shù)中的參數(shù)A，B，及周期T，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，從而得解．【解答】解：由題意，T＝12，∴ω＝，設h（t）＝Acos（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），則，∴A＝8，B＝10，可得：h（t）＝8cos（t+φ）+10，∵P的初始位置在最低點，t＝0時，有：h（t）＝2，即：8cosφ+10＝2，解得：φ＝2kπ+π，k∈Z，∴φ＝π，∴h與t的函數(shù)關系為：h（t）＝8cos（t+π）+10＝﹣8cost+10，（t≥0），故選：D．【點評】本題考查通過實際問題得到三角函數(shù)的性質，由性質求三角函數(shù)的解析式；考查y＝Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義，注意三角函數(shù)的模型的應用，屬于中檔題．5．（5分）函數(shù)f（x）＝sin2x+2cos2x﹣，g（x）＝mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若對任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）＝f（x2）成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（1，） B．（，1] C．[，1] D．[1，]【分析】分別由三角函數(shù)求各自函數(shù)的值域，由集合的包含關系解不等式組可得．【解答】解：∵f（x）＝sin2x+2cos2x﹣＝sin2x+（2cos2x﹣1）＝sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+）當x∈[0，]時，2x+∈[，]，∴f（x）min＝2sin＝1，∴f（x）∈[1，2]，對于g（x）＝mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣m+3，3﹣m]，∵對任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）＝f（x2）成立，∴，解得實數(shù)m的取值范圍是[1，]．故選：D．【點評】本題考查三角函數(shù)恒等變換，問題轉化為求三角函數(shù)的值域并利用集合關系是解決問題的關鍵，屬中檔題．6．（5分）在斜△ABC中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA+bsinB﹣csinC＝4bsinBcosC，CD是角C的角平分線，且CD＝b，則cosC＝（）A． B． C． D．【分析】利用正弦定理以及余弦定理求出a＝2b，結合三角形的面積公式求出cos＝，利用余弦的倍角公式進行求解即可．【解答】解：∵asinA+bsinB﹣csinC＝4bsinBcosC，∴由正弦定理得a2+b2﹣c2＝4b2cosC＝4b2?，即1＝，則a＝2b，∵CD是角C的角平分線，且CD＝b，∴由三角形的面積公式得S△ACD+S△BCD＝S△ABC，即b?bsin+a?bsin＝a?bsinC，即b2sin+2b2sin＝2b2?2sincos，即1+2＝4cos，即cos＝，即cosC＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝2×﹣1＝，故選：B．【點評】本題主要考查正弦定理以及余弦定理的應用，結合三角形的面積公式以及三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關鍵．7．（5分）17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形）．例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金△ABC中，．根據這些信息，可得cos216°＝（）A． B． C． D．【分析】由題意求出sin18°，再計算cos36°，從而求得cos216°的值．【解答】解：由圖形知，∠A＝36°，且∠A＝18°，sin18°＝×＝×＝；∴cos36°＝1﹣2sin218＝1﹣2×＝；∴cos216°＝cos（180°+36°）＝﹣cos36°＝﹣．故選：B．【點評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及解讀信息與應用信息的能力，是基礎題．8．（5分）在△ABC中，已知，sinB＝cosA?sinC，S△ABC＝6，P為線段AB上的一點，且?，則的最小值為（）A． B． C． D．【分析】△ABC中設AB＝c，BC＝a，AC＝b，由sinB＝cosA?sinC結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求cosC＝0即C＝90°，再由，S△ABC＝6可得bccosA＝9，可求得c＝5，b＝3，a＝4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系，由P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設則，，由＝（x，0）+（0，y）＝（x，y）可得x＝3λ，y＝4﹣4λ則4x+3y＝12而，利用基本不等式求解最小值．【解答】解：△ABC中設AB＝c，BC＝a，AC＝b∵sinB＝cosA?sinC，∴sin（A+C）＝sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA＝sinCcosA，∴sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝0C＝90°∵，S△ABC＝6∴bccosA＝9，∴，根據直角三角形可得sinA＝，cosA＝，bc＝15∴c＝5，b＝3，a＝4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設，則，∴＝（x，0）+（0，y）＝（x，y）∴x＝3λ，y＝4﹣4λ則4x+3y＝12＝故所求的最小值為故選：C．【點評】題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解把已知所給的是一個單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由x＝3λ，y＝4﹣4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y＝12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z（2﹣i）＝i2020，則下列說法錯誤的是（）A．復數(shù)z的模為 B．復數(shù)z的共軛復數(shù)為 C．復數(shù)z的虛部為 D．復數(shù)z在復平面內對應的點在第一象限【分析】直接利用復數(shù)的運算，復數(shù)的模，復數(shù)的共軛，復數(shù)的幾何意義判斷A、B、C、D的結論．【解答】解：復數(shù)z滿足z（2﹣i）＝i2020，整理得．對于A：由于，故，故A錯誤；對于B：由于，故，故B錯誤；對于C：復數(shù)z的虛部為，故C錯誤；對于D：復數(shù)z在復平面內對應的點為（），故該點在第一象限內，故D正確；故選：ABC．【點評】本題考查的知識要點：復數(shù)的運算，復數(shù)的模，復數(shù)的共軛，復數(shù)的幾何意義，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的圖象關于直線x＝對稱，則（）A．函數(shù)f（x+）為奇函數(shù) B．函數(shù)f（x）在[，]上單調遞增 C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，則|x1﹣x2|的最小值為 D．函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y＝﹣cos3x的圖象【分析】使用代入法先求出φ的值，得函數(shù)解析式；再根據三角函數(shù)的性質逐一判斷．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的圖象關于直線x＝對稱，∴3×+φ＝+kπ，k∈Z；∵﹣＜φ＜，∴φ＝﹣；∴f（x）＝sin（3x﹣）；對于A，函數(shù)f（x+）＝sin[3（x+）﹣]＝sin（3x），根據正弦函數(shù)的奇偶性，所以f（﹣x）＝﹣f（x）因此函數(shù)f（x+）是奇函數(shù)，故A正確．對于B，由于x∈[，]，3x﹣∈[0，]，函數(shù)f（x）＝sin（3x﹣）在[，]上不單調，故B錯誤；對于C，因為f（x）max＝1，f（x）min＝﹣1又因為|f（x1）﹣f（x2）|＝2，f（x）＝sin（3x﹣）的周期為T＝，所以則|x1﹣x2|的最小值為，C正確；對于D，函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)f（x﹣）＝sin[3（x﹣）﹣]＝﹣sin3x，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題考查了三角函數(shù)的最小正周期、奇偶性、單調性、對稱軸，屬于基礎題．（多選）11．（5分）若四面體各棱的長是1或2，且該四面體的棱長不全相等，則其體積的值可能為（）A． B． C． D．【分析】分底邊長為2，2，2，側棱長為2，2，1，底邊長為1，1，1，側棱長為2，2，2和底面邊長為2，2，1，側棱長為2，2，1，三種情況分別計算棱錐的體積，結合選項得答案．【解答】解：（1）若底邊長為2，2，2，側棱長為2，2，1，設AB＝1，AB的中點為E，則AB⊥CE，AB⊥DE，∴AB⊥平面CDE，∵CE＝DE＝＝，CD＝2，∴cos∠CED＝＝，∴sin∠CED＝，∴V＝S△CDE?AB＝×××××1＝；（2）若底邊長為1，1，1，側棱長為2，2，2，設底面中心為O，則OB＝×＝，∴棱錐的高h＝＝，∴V＝S△BCD?h＝××＝；（3）若底面邊長為2，2，1，側棱長為2，2，1，設AB＝CD＝1，其余各棱長均為2，由（1）可知cos∠CED＝＝，∴sin∠CED＝，∴V＝S△CDE?AB＝×××××1＝．結合選項可得，ABC正確，故選：ABC．【點評】本題考查多面體體積的求法，考查分類討論思想和運算求解能力，是中檔題．（多選）12．（5分）已知△OAB的頂點坐標為O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），點P的橫坐標為14，且，點Q是邊AB上一點，且，R為線段OQ上的一個動點，則（）A．λ＝ B．點P的縱坐標為﹣7 C． D．的最小值為【分析】由已知設出P點坐標，再由向量等式求得λ值域P的坐標判斷A與B；設出Q的坐標，由已知列關于Q坐標的方程組，求得Q坐標，驗證可得C正確；設R（4t，3t），且0≤t≤1，把化為關于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值判斷D．【解答】解：設P（14，y），則＝（14，y），，由，得（14，y）＝λ（﹣8，﹣3﹣y），∴，解得λ＝﹣，y＝﹣7，故A錯誤，B正確；設Q（a，b），則，，∵，∴12a﹣16b＝0，即3a＝4b，又點Q在AB上，∴，即3a+b﹣15＝0，聯(lián)立，解得a＝4，b＝3，則Q（4，3），，，∴，故C正確；∵R為線段OQ上的一個動點，設R（4t，3t），且0≤t≤1，則，，，，則＝32（1﹣t）2+9（t2﹣9）＝41t2﹣64t﹣49，當t＝時，的最小值為，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，訓練了二次函數(shù)最值的求法，考查運算求解能力，是中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）向量，，則|﹣2|＝．【分析】根據向量的數(shù)量積的坐標運算，先求出向量的坐標，再利用向量的模長公式即可求出．【解答】解：∵﹣2＝（4，﹣1），∴|﹣2|＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標運算，模長公式，是基礎題．14．（5分）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且三條側棱長分別為1，，，則三棱錐的外接球的表面積是6π．【分析】由已知中三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，且三條側棱長分別為1，，，故可將其補充為一個長方體，根據外接球的直徑等于長方體的對角線，求出球的半徑，代入球的表面積公式，即可求出答案．【解答】解：∵三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直，且三條側棱長分別為1，，，故可將其補充為一個長寬高分別為1，，的長方體，則其外接球的直徑2R＝＝，故球的表面積S＝4πR2＝6π．故答案為：6π．【點評】本題考查的知識點是球的體積，其中利用割補法，補充四面體成長方體，進而求出其外接球的半徑是解答本題的關鍵，是中檔題．15．（5分）若，且，則sin2α的值是．【分析】由題意利用誘導公式、二倍角的余弦公式，計算求得結果．【解答】解：若，且，∴cos（+2α）＝2﹣1＝﹣＝﹣sin2α，則sin2α＝，故答案為：．【點評】本題主要考查誘導公式、二倍角的余弦公式，屬于基礎題．16．（5分）如圖所示，要修建一個形狀為等腰直角三角形的廣場ABC，∠ABC＝90°，且在廣場外修建一塊三角形草地BCD，滿足BD＝2，CD＝1．①若，則AD＝；②欲使A、D之間距離最長，則cos∠BDC＝．【分析】①在△BCD中，由已知結合余弦定理求BC，可得AC，在△ACD中，再由余弦定理求AD；②設∠DBC＝α，則α∈（0，），∠BDC＝θ，則AB＝BC＝，可得sinα＝，由余弦定理可得AD，再由三角函數(shù)求最值，可得對應的θ，則cos∠BDC可求．【解答】解：①在△BCD中，由BD＝2，CD＝1，，得BC＝＝，∴BC2+CD2＝BD2，即∠BCD＝，在等腰直角三角形ABC中，可得AC＝，又∠BCA＝，∴∠ACD＝，由余弦定理可得，AD＝＝＝；②設∠DBC＝α，則α∈（0，），∠BDC＝θ，則AB＝BC＝，在△ABD中，由正弦定理可得：＝?sinα＝＝，在△ABC中，由余弦定理可得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cos（+α）＝9﹣4cosθ﹣2××2×（﹣sinα）＝9﹣4cosθ+4sinα＝9﹣4cosθ+4sinθ＝9+4sin（θ﹣）．當θ＝π時，AD取最大值9+4，此時cos∠BDC＝cos．【點評】本題考查三角形的解法，考查正、余弦定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（10分）在條件①（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，②asinB＝bcos（A+），③bsin＝asinB中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b+c＝6，a＝，______，求△ABC的面積．【分析】若選①：由正弦定理，余弦定理可求cosA的值，結合范圍A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理可求bc的值，根據三角形的面積公式即可得解；若選②：由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得tanA＝，結合范圍0＜A＜π，可得A＝．由余弦定理可求bc的值，根據三角形的面積公式即可求解；若選③：由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得sin＝，進而可求A＝．利用余弦定理可求bc的值，根據三角形的面積公式即可求解．【解答】解：若選①：由正弦定理得（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，即b2+c2﹣a2＝bc，所以cosA＝＝＝，因為A∈（0，π），所以A＝，又a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，a＝2，b+c＝6，所以bc＝4，所以S△ABC＝bcsinA＝＝．若選②：由正弦定理得：sinAsinB＝sinBcos（A+）．因為0＜B＜π，所以sinB≠0，sinA＝cos（A+），化簡得sinA＝cosA﹣sinA，即tanA＝，因為0＜A＜π，所以A＝．又因為a2＝b2+c2﹣2bccos，所以bc＝＝，即bc＝24﹣12，所以S△ABC＝bcsinA＝＝6﹣3．若選③：由正弦定理得sinBsin＝sinAsinB，因為0＜B＜π，所以sinB≠0，所以sin＝sinA，又因為B+C＝π﹣A，所以cos＝2sincos，因為0＜A＜π，0＜＜，所以cos≠0，∴sin＝，＝，所以A＝．又a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，a＝2，b+c＝6，所以bc＝4，所以S△ABC＝bcsinA＝＝．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．18．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其單調增區(qū)間；（Ⅱ）當時，對任意t∈R，不等式mt2﹣mt+2≥f（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（I）化簡f（x）解析式，根據正弦函數(shù)的性質求出單調區(qū)間和周期；（II）求出f（x）的最大值，轉化為二次函數(shù)恒成立問題解決．【解答】解：（I）＝＝＝sinx+cosx＝，函數(shù)f（x）的定義域為，周期，令，解得：，令，解得：，所以f（x）的遞增區(qū)間為．（Ⅱ）∵，∴x+∈[，]，∴當時，f（x）取得最大值1，所以mt2﹣mt+2≥1恒成立，即mt2﹣mt+1≥0恒成立，①當m＝0時，顯然成立；②當m≠0時，若對于t∈R，不等式mt2﹣mt+1≥0恒成立，只需Δ＝m2﹣4m≤0成立，且m＞0即可，解得：0＜m≤4，綜上，m的取值范圍是0≤m≤4．【點評】本題考查了三角恒等變換，正弦函數(shù)的性質，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．19．（12分）如圖所示，已知ABCD為梯形，AB∥CD，CD＝2AB．（1）設平面PAB∩平面PDC＝l，證明：AB∥l；（2）在棱PC上是否存在點M，使得PA∥平面MBD，若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由．【分析】（1）證明AB∥平面PDC，然后利用直線與平面平行的性質定理證明AB∥l；（2）存在M為PC上靠近P的三等分點，使得PA∥平面MBD，連結AC，設AC∩BD＝0，連結OM，推出PA∥OM，然后說明PA∥平面MBD【解答】（1）證明：因為AB∥CD，AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC，又AB?平面PAB，平面PAB∩平面PDC＝l，所以AB∥l；（2）解：存在M為PC上靠近P的三等分點，使得PA∥平面MBD，連結AC，設AC∩BD＝0，連結OM，因為M為PC上靠近P的三等分點，又AB∥CD，CD＝2AB，所以，所以PA∥OM，又PA?平面MBD，OM?平面MBD，所以PA∥平面MBD．【點評】本題考查直線與平面平行的判斷定理以及性質定理的應用，考查轉化思想，空間想象能力，邏輯推理能力，是中檔題．20．（12分）如圖所示，A、B分別是單位圓與x軸、y軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP＝θ（0＜θ＜π），點C坐標為（﹣2，0），平行四邊形OAQP的面積為S．（1）求的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）．【分析】（1）利用向量的坐標公式求出的表達式，利用輔助角將函數(shù)進行化簡，即可求出函數(shù)的最大值；（2）利用直線平行轉化為向量平行，利用兩角和差的正弦公式進行求解即可．【解答】解：（1）∵＝（1，0），P（cosθ，sinθ），∴＝（1+cosθ，sinθ），∴?＝1+cosθ，而S＝2×sinθ＝sinθ，∴＝1+cosθ+sinθ＝1+sin（θ+），∵0＜θ＜π，∴當時，取得最大值