2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）A．47 B．7 C．5 D．22．（4分）已知雙曲線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．3．（4分）已知雙曲線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A．y＝±x B． C．y＝±2x D．y＝±4x4．（4分）設(shè)m＝﹣8，n＝﹣2，則m與n的等比中項(xiàng)為（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．﹣55．（4分）等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a2?a4＝12，a2+a4＝8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是（）A．a(chǎn)n＝2n﹣2（n∈N*） B．a(chǎn)n＝2n+4（n∈N*） C．a(chǎn)n＝﹣2n+12（n∈N*） D．a(chǎn)n＝﹣2n+10（n∈N*）6．（4分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則a5＝（）A．32 B．31 C．16 D．157．（4分）設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），則|PF|+|PM|的最小值為（）A． B．3 C．16 D．158．（4分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2﹣kn+5，則“k≤2”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（4分）如圖是拋物線(xiàn)拱形橋，當(dāng)水面在AB時(shí)，拱頂離水面4m，水面寬AB＝20m，若水面上升0.8m，則水面寬是（）（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)值：．）A．9.0m B．17.3m C．17.9m D．21.9m10．（4分）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝3，，則a2022＝（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．（5分）已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，a4＝64，則公比q＝．12．（5分）若曲線(xiàn)C：mx2+（2﹣m）y2＝1是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則m的一個(gè)取值為．13．（5分）設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a2+a5+a8＝15，則a5＝．14．（5分）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+2a2+22a3+?+2n﹣1an＝（n﹣1）2n+1，則a1＝，an＝．15．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O1：x2+y2＝16上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為⊙O2：x2+y2＝4與線(xiàn)段OP的交點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)l，經(jīng)點(diǎn)D作直線(xiàn)l垂線(xiàn)，Q為垂足．則點(diǎn)Q的軌跡方程為．16．（5分）已知曲線(xiàn)．關(guān)于曲線(xiàn)W有四個(gè)結(jié)論：①直線(xiàn)y＝x是曲線(xiàn)W的一條對(duì)稱(chēng)軸．②曲線(xiàn)W是中心對(duì)稱(chēng)圖形．③設(shè)曲線(xiàn)W所圍成的區(qū)域面積S，則1＜S＜2．④曲線(xiàn)W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是．則其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝3，S5＝25．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．18．（13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）求橢圓W的離心率；（Ⅱ）求拋物線(xiàn)C的方程；（Ⅲ）設(shè)A是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，且|AF|＝6，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．19．（13分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a6＝3b2，再?gòu)臈l件①：a5＝5（a4﹣a3）；②：b5＝4（b4﹣b3）；③：S8＝6S3這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下列問(wèn)題：（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn＜2．20．（13分）已知直線(xiàn)y＝ax+1與雙曲線(xiàn)3x2﹣y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求a的值．21．（14分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A（0，1）在橢圓C上，直線(xiàn)l：y＝kx+t（k≠0）與C交于M，N兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求k的取值范圍．22．（15分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且Sn﹣1+Sn+Sn+1＝3n2+2（n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）若a2＝3．（?。┣骃7；（ⅱ）求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列．（Ⅱ）若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且S3k＝225，試求滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)k的值．

2021-2022學(xué)年北京市通州區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）A．47 B．7 C．5 D．2【分析】先根據(jù)條件求出a＝5；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離d的等式即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)所求距離為d，由題得：a＝5．根據(jù)橢圓的定義橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和等于2a得：2a＝3+d?d＝2a﹣3＝7．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的定義．在解決涉及到圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問(wèn)題中，圓錐曲線(xiàn)的定義往往是解題的突破口．2．（4分）已知雙曲線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．【分析】利用雙曲線(xiàn)方程，求解a，c，求解離心率．【解答】解：雙曲線(xiàn)，a＝，b＝2，則c＝3，可得e＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．3．（4分）已知雙曲線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A．y＝±x B． C．y＝±2x D．y＝±4x【分析】利用雙曲線(xiàn)方程，求解漸近線(xiàn)方程即可．【解答】解：雙曲線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線(xiàn)方程的求法，是基礎(chǔ)題．4．（4分）設(shè)m＝﹣8，n＝﹣2，則m與n的等比中項(xiàng)為（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．﹣5【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可求出．【解答】解：m＝﹣8，n＝﹣2，則m與n的等比中項(xiàng)為±＝±＝±4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a2?a4＝12，a2+a4＝8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是（）A．a(chǎn)n＝2n﹣2（n∈N*） B．a(chǎn)n＝2n+4（n∈N*） C．a(chǎn)n＝﹣2n+12（n∈N*） D．a(chǎn)n＝﹣2n+10（n∈N*）【分析】由題意列式求出公差，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【解答】解：由a2?a4＝12，a2+a4＝8，且d＜0，解得a2＝6，a4＝2．所以d＝．則an＝a2+（n﹣2）d＝6﹣2（n﹣2）＝﹣2n+10．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果給出了等差數(shù)列公差和第m項(xiàng)am，則an＝am+（n﹣m）d，是基礎(chǔ)題．6．（4分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則a5＝（）A．32 B．31 C．16 D．15【分析】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，利用公式an＝直接求解．【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，∴a5＝S5﹣S4＝（25﹣1）﹣（24﹣1）＝16．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的第5項(xiàng)的求法，考查公式an＝等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（4分）設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），則|PF|+|PM|的最小值為（）A． B．3 C．16 D．15【分析】設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為D，則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知|PF|＝|PD|，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PD|取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)PM|+|PD|最小，即可求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為D，則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知|PF|＝|PD|，∴要求|PM|+|PF|取得最小值，即求|PM|+|PD|取得最小，當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PM|+|PD|最小，為2﹣（﹣1）＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的定義、性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8．（4分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2﹣kn+5，則“k≤2”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)題意，假設(shè)數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，求出k的取值范圍，由此結(jié)合充分必要條件的定義，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2﹣kn+5，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則有an+1﹣an＝[（n+1）2﹣k（n+1）+5]﹣（n2﹣kn+5）＝2n+1﹣k＞0，（n∈Z且n≥1）變形可得k＜2n+1，又由n∈Z且n≥1，則k＜3，故當(dāng)k≤2時(shí)，數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，反之不一定成立，故“k≤2”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分而不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）如圖是拋物線(xiàn)拱形橋，當(dāng)水面在AB時(shí)，拱頂離水面4m，水面寬AB＝20m，若水面上升0.8m，則水面寬是（）（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)值：．）A．9.0m B．17.3m C．17.9m D．21.9m【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將A點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求得m，得到拋物線(xiàn)方程，再把y＝﹣代入拋物線(xiàn)方程求得x0，即可得到答案．【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2＝my，將A（﹣10，﹣4）代入x2＝my，得m＝﹣25，可得拋物線(xiàn)的方程為x2＝﹣25y，代入B（x0，﹣），得x0＝±4故水面寬度為8＝2.24×8＝17.92≈17.9m．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線(xiàn)的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線(xiàn)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（4分）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝3，，則a2022＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由a1＝3，，利用遞推思想，求出數(shù)列的前11項(xiàng)，推導(dǎo)出數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，由此能求出a2022．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，＝5，a4＝3a3+1＝16，a5＝＝8，＝4，a7＝＝2，a8＝＝1，a9＝3a8+1＝4，a10＝＝2，a11＝＝1，???∴數(shù)列{an}從第6項(xiàng)起是周期為3的周期數(shù)列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的第2022項(xiàng)的求法，考查遞推公式、遞推思想，周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．（5分）已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，a4＝64，則公比q＝4．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解．【解答】解：等比數(shù)列{an}，a1＝1，a4＝64，則a4＝a1q3，即64＝q3，解得q＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．12．（5分）若曲線(xiàn)C：mx2+（2﹣m）y2＝1是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則m的一個(gè)取值為﹣1（答案不唯一）．【分析】將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得m＜0，且m﹣2＜0，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：曲線(xiàn)C：mx2+（2﹣m）y2＝1是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，可得﹣＝1，即有m＜0，且m﹣2＜0，解得m＜0．故可取﹣1．故答案為：﹣1（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，注意化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a2+a5+a8＝15，則a5＝5．【分析】由已知直接利用等差中項(xiàng)的概念得答案．【解答】解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2+a5+a8＝15，∴3a5＝15，得a5＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差中項(xiàng)的概念，是基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+2a2+22a3+?+2n﹣1an＝（n﹣1）2n+1，則a1＝1，an＝n．【分析】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，a1+2a2+22a3+?+2n﹣2an﹣1＝（n﹣2）2n﹣1+1，作差得：2n﹣1an＝n?2n﹣1，由此能求出an．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+2a2+22a3+?+2n﹣1an＝（n﹣1）2n+1，①∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，a1+2a2+22a3+?+2n﹣2an﹣1＝（n﹣2）2n﹣1+1，②①﹣②，得：2n﹣1an＝n?2n﹣1，n≥2，∴an＝n，n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1成立，故an＝n．故答案為：1，n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的首項(xiàng)和第n項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．（5分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O1：x2+y2＝16上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為⊙O2：x2+y2＝4與線(xiàn)段OP的交點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)l，經(jīng)點(diǎn)D作直線(xiàn)l垂線(xiàn)，Q為垂足．則點(diǎn)Q的軌跡方程為．【分析】設(shè)Q（x，y），P（x0，y0），根據(jù)條件求得，進(jìn)而利用P（x0，y0）在圓x2+y2＝16上，可得到Q的軌跡方程．【解答】解：設(shè)Q（x，y），P（x0，y0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)l，設(shè)l交x軸于M，則M（x0，0），因?yàn)辄c(diǎn)P是⊙O1：x2+y2＝16上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為⊙O2：x2+y2＝4與線(xiàn)段OP的交點(diǎn)，顯然D為OP的中點(diǎn)，所以D（，），因?yàn)镈Q∥x軸，所以Q為PM中點(diǎn)，故，即，因?yàn)镻（x0，y0）在圓x2+y2＝16上，所以x02+y02＝＝16，即x2+（2y）2＝16，整理得，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知曲線(xiàn)．關(guān)于曲線(xiàn)W有四個(gè)結(jié)論：①直線(xiàn)y＝x是曲線(xiàn)W的一條對(duì)稱(chēng)軸．②曲線(xiàn)W是中心對(duì)稱(chēng)圖形．③設(shè)曲線(xiàn)W所圍成的區(qū)域面積S，則1＜S＜2．④曲線(xiàn)W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是．則其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是②③．【分析】①設(shè)（x，y）是曲線(xiàn)W上的點(diǎn)，則此點(diǎn)關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（y，x），將（y，x）代入驗(yàn)證是否一定等于1；②代入（﹣x，﹣y）驗(yàn)證和原表達(dá)式是否一致，即可判斷；作出圖象驗(yàn)證③④．【解答】解：①設(shè)（x，y）是曲線(xiàn)W上的點(diǎn)，則此點(diǎn)關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（y，x），因?yàn)?，代入點(diǎn)（y，x）則有＝1﹣|y|+|x|，只有|x|＝|y|時(shí)，才可能值為1，故不正確；②代入（﹣x，﹣y）得＝，故曲線(xiàn)關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱(chēng)；當(dāng)y≥0則，曲線(xiàn)W的方程可化為＝1﹣y，兩邊平方化簡(jiǎn)得：y＝﹣x2+，同理當(dāng)y＜0時(shí)，曲線(xiàn)W的方程化簡(jiǎn)為：y＝x2﹣，作出圖象，如圖所示：③W所圍成的區(qū)域面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和（＝1），小于矩形面積（1×2＝2），故1＜S＜2，所以正確；④由圖象可得W上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為，故錯(cuò)誤．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了推理能力、作圖能力、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝3，S5＝25．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，首項(xiàng)為a1，根據(jù)條件列出方程組求解a1，d，代入通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（Ⅱ）采用分組求和法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，首項(xiàng)為a1，則有，解得，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n﹣1；（Ⅱ）bn＝an+2n﹣1＝（2n﹣1）+2n﹣1，所以Tn＝+＝n2+2n﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，分組求和的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．18．（13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（Ⅰ）求橢圓W的離心率；（Ⅱ）求拋物線(xiàn)C的方程；（Ⅲ）設(shè)A是拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，且|AF|＝6，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【分析】（Ⅰ）由橢圓的方程可得a，b的值，進(jìn)而求出c值，求出橢圓的離心率；（Ⅱ）由（1）可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出p的值級(jí)拋物線(xiàn)的方程；（Ⅲ）設(shè)A的坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得|AF|的值，由題意求出A的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓的方程可得a2＝25，b2＝24，可得c2＝a2﹣b2＝25﹣24＝1，所以a＝5，c＝1，可得橢圓的離心率e＝＝；（Ⅱ）由（1）可得橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），由題意可得F（1，0），即＝1，所以p＝2，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：y2＝4x；（Ⅲ）由（2）可知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝﹣1，設(shè)A（m，n），由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得|AF|＝m+1，而|AF|＝6，所以m+1＝6，可得m＝5，代入拋物線(xiàn)的方程可得n2＝4×5，可得n＝±2，所以A的坐標(biāo)為（5，±2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及拋物線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（13分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a6＝3b2，再?gòu)臈l件①：a5＝5（a4﹣a3）；②：b5＝4（b4﹣b3）；③：S8＝6S3這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下列問(wèn)題：（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn＜2．【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得公差和公比，進(jìn)而得到所求；（Ⅱ）求得cn＝＝2（﹣），再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和及不等式的性質(zhì)可得證明．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，選①：a5＝5（a4﹣a3），又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n；bn＝2n﹣1；選②：b5＝4（b4﹣b3），又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n；bn＝2n﹣1；選③：S8＝6S3，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n；bn＝2n﹣1；（Ⅱ）證明：＝＝2（﹣），則Tn＝2（1﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣）＝2﹣＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．20．（13分）已知直線(xiàn)y＝ax+1與雙曲線(xiàn)3x2﹣y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求a的值．【分析】（I）由，消去y得2x2﹣2x﹣2＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，由弦長(zhǎng)公式可得線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；（II）聯(lián)立直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，由以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)得到x1x2+y1y2＝0，代入后即可求得a的值，最后驗(yàn)證是否符合判別式大于0．【解答】解：（I）當(dāng)a＝1時(shí)，由，消去y得2x2﹣2x﹣2＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，所心＝＝；（II）聯(lián)立，消去y得，（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0．∵直線(xiàn)y＝ax+1與雙曲線(xiàn)3x2﹣y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，∴3﹣a2≠0，即a≠±．由Δ＝（﹣2a）2+8（3﹣a2）＝24﹣4a2＞0，得﹣＜a＜．∴﹣＜a＜，且a≠±．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．則x1+x2＝，x1x2＝﹣．所以y1y2＝（ax1+1）（ax2+1）＝a2x1x2+a（x1+x2）+1＝a2?（﹣）+a?+1＝1．因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以x1x2+y1y2＝0．即（﹣）+1＝0，解得a＝±1．滿(mǎn)足﹣＜a＜，所以a的值是±1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了弦長(zhǎng)公式，是中檔題．21．（14分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A（0，1）在橢圓C上，直線(xiàn)l：y＝kx+t（k≠0）與C交于M，N兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求k的取值范圍．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得，解得c，a，b，即可得出答案．（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)（x0，y0），則，作差可得x0+2y0k＝0①，又線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，1），則y0＝﹣+1②，聯(lián)立直線(xiàn)MN與橢圓的方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，由Δ＞0，得﹣t2+1+4k2＞0（*），結(jié)合韋達(dá)定理可得x0＝＝﹣③，由①②③化簡(jiǎn)即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，解得c＝，a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為+y2＝1，焦點(diǎn)為（±，0）．（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線(xiàn)段MN的中點(diǎn)（x0，y0），所以，所以+y12﹣y22＝0，所以?+?2?＝0，所以x0+2y0k＝0，①因?yàn)榫€(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，1），所以＝﹣，即y0＝﹣+1，②聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，Δ＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0，（*）所以x1+x2＝﹣，所以x0＝＝﹣③，把③代入②，得y0＝﹣+1＝﹣+1＝+1，④把③④代入①得（﹣）+2（+1）k＝0，①所以﹣++2k＝0，所以＝﹣1，即t＝﹣，代入（*）得，﹣（﹣）2+1+4k2＞0，所以﹣＜k＜，且k≠0，所以k的取值范圍為（﹣，0）∪（0，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．22．（15分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且Sn﹣1+Sn+Sn+1＝3n2+2（n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）若a2＝3．（?。┣骃7；（ⅱ）求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列．（Ⅱ）若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且S3k＝225，試求滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)k的值．【分析】（Ⅰ）（i）推導(dǎo)出an+an+1+an+2＝6n+3，n≥2，n∈N*），由a2＝3，利用遞推公式依次求出數(shù)列的前7項(xiàng)，由此能求出S7．（ⅱ