2022年江蘇省南通市如東縣掘港中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年江蘇省南通市如東縣掘港中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.2019年是新中國(guó)成立七十周年，新中國(guó)成立以來(lái)，我國(guó)文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來(lái)，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速，下圖是從2013年到2018年六年間我國(guó)公共圖書(shū)館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)）與對(duì)應(yīng)年份編號(hào)的散點(diǎn)圖（為便于計(jì)算，將2013年編號(hào)為1，2014年編號(hào)為2，…，2018年編號(hào)為6，把每年的公共圖書(shū)館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)作為因變量，把年份編號(hào)從1到6作為自變量進(jìn)行回歸分析），得到回歸直線，其相關(guān)指數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是(

)①公共圖書(shū)館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)②公共圖書(shū)館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個(gè)③可預(yù)測(cè)2019年公共圖書(shū)館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為3192個(gè)A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D【分析】根據(jù)和確定是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)以及相關(guān)性的強(qiáng)弱；根據(jù)的值判斷平均每年增加量；根據(jù)回歸直線方程預(yù)測(cè)2019年公共圖書(shū)館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù).【詳解】由圖知點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以為正相關(guān)，又趨近于1，所以相關(guān)性較強(qiáng)，故①正確；由回歸方程知②正確；由回歸方程，當(dāng)時(shí)，得估計(jì)值為3191.9≈3192，故③正確.故選：D.【點(diǎn)睛】回歸直線方程中的的大小和正負(fù)分別決定了單位增加量以及相關(guān)型的正負(fù)；相關(guān)系數(shù)決定了相關(guān)性的強(qiáng)弱，越接近相關(guān)性越強(qiáng).2.若的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則直線與曲線圍成的封閉區(qū)域面積為

A.

B.12

C.

D．36參考答案：C略3.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是的圓，則這個(gè)幾何體的體積是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知命題：，且，命題：，.下列命題是真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.下列命題中的真命題是

（▲）A．若，則

B．若則C．若則

D．若則參考答案：D6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.不等式的解集為(

)A.

B.C.

D.參考答案：B8.已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（2016π）的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，通過(guò)圖象經(jīng)過(guò)（，0），求出φ，從而得到f（x）的解析式，利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算求值．【解答】解：由函數(shù)的圖象可得A=2，T==4×（﹣）=4π，解得ω=．又圖象經(jīng)過(guò)（，0），0=2sin（×+φ），0＜φ＜π，φ=，故f（x）的解析式為f（x）=2sin（x+），所以：f（2016π）=2sin（×2016π+）=．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，考查了誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，注意函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．9.（理）如圖，有一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是am(0<a<12)、4m，不考慮樹(shù)的粗細(xì)．現(xiàn)在用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的面積為Sm2，S的最大值為f(a)，若將這棵樹(shù)圍在花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)的圖象大致是參考答案：C10.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（正視圖中的弧線是半圓）,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的表面積是_____（單位cm）A.

B.C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC中，，若，則

=______________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算；向量的數(shù)量積.

F1

F3解析：因?yàn)?所以.故填.【思路點(diǎn)撥】先把用表示，再用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.

12.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：(1,3)【分析】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.13.若，則=

.參考答案：，即.，；14.命題“若實(shí)數(shù)a滿足，則”的否命題是

命題（填“真”、“假”之一）．參考答案：真

15.（04年全國(guó)卷Ⅱ文）已知a為實(shí)數(shù)，(x＋a)10展開(kāi)式中x7的系數(shù)是－15，則a＝

參考答案：答案：－

16.已知某算法的流程圖如圖所示，輸出的

(x，y)值依次記為，若程序運(yùn)行中輸出的一個(gè)數(shù)組是，則t=

．

參考答案：略17.底面為正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影為底面中心的四棱錐叫做正四棱錐.已知正四棱錐的高為2，體積為12，則該正四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.參考答案：【分析】根據(jù)正四棱錐的體積，求得棱錐的底面邊長(zhǎng)，再在中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半徑，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，正四棱錐，設(shè)正方形的底面邊長(zhǎng)，因?yàn)樗睦忮F的體積為12，即，解得，再正方形中，可得，在直角中，，可得，在直角中，，可得，在中，由余弦定理可得，所以，則外接圓的直徑為，解得，即四棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最小值；（2）若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，證明：e﹣2＜a＜1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值；（2）設(shè)x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)討論a的范圍，得出a的取值．【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，得g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，所以g′（x）=ex﹣2a．當(dāng)x∈時(shí)，g′（x）∈．當(dāng)a≤時(shí)，g′（x）≥0，所以g（x）在上單調(diào)遞增，因此g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；當(dāng)a≥時(shí)，g′（x）≤0，所以g（x）在上單調(diào)遞減，因此g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b；當(dāng)＜a＜時(shí)，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），所以函數(shù)g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1]上單調(diào)遞增，于是，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b．綜上所述，當(dāng)a≤時(shí)，g（x）在上的最小值是g（0）=1﹣b；當(dāng)＜a＜時(shí)，g（x）在上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b；當(dāng)a≥時(shí)，g（x）在上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b．…（2）證明：設(shè)x0為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由f（0）=f（x0）=0可知，f（x）在區(qū)間（0，x0）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)．故g（x）在區(qū)間（0，x0）內(nèi)存在零點(diǎn)x1．同理g（x）在區(qū)間（x0，1）內(nèi)存在零點(diǎn)x2．故g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)a≤時(shí)，g（x）在遞增，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a≥時(shí)，g（x）在遞減，故g（x）在（0，1）內(nèi)至多有1個(gè)零點(diǎn)，都不合題意，所以＜a＜，此時(shí)，g（x）在區(qū)間遞減，在區(qū)間（ln（2a），1）遞增，因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1﹣b＞0，g（1）=e﹣2a﹣b＞0，由f（1）=0，得a+b=e﹣1＜2，有g(shù)（0）=a﹣e+2＞0，g（1）=1﹣a＞0，解得：e﹣2＜a＜1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，e﹣2＜a＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道綜合題．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)

.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：.

參考答案：解：（1）的定義域?yàn)椋?，+∞），…2分當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)遞減；……………4分當(dāng)-1＜＜0時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.…………5分（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，恒成立令，則,

……………6分因?yàn)椋傻?，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上遞增，在上遞減.所以，故

……9分（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，即，令，則，即

…………10分所以，，…，，相加得而所以，.……12分20.已知函數(shù)．(1)試說(shuō)明函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的；(2)(文科)若函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性，寫(xiě)出函數(shù)的最小正周期并說(shuō)明理由；(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．參考答案：解(1)∵，

∴．∴函數(shù)的圖像可由的圖像按如下方式變換得到：①將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像；②將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像；③將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像．(說(shuō)明：橫坐標(biāo)先放縮，再平移也可．即將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)，再將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，最后將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像．)(2)(文科)由(1)知，，∴．

又對(duì)任意，有，∴函數(shù)是偶函數(shù)．∵函數(shù)的最小正周期是，∴結(jié)合圖像可知，函數(shù)的最小正周期是．(3)(文科)先求函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍。當(dāng)時(shí)，，故．易知，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；函數(shù)的取值范圍是．因此，依據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是；函數(shù)的值域是．21.已知函數(shù)為偶函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程有且只有一個(gè)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：略2