建筑力學(xué) 第章 應(yīng)力狀態(tài)

第9章應(yīng)力狀態(tài)[內(nèi)容提要]本章介紹了一點(diǎn)上不同方向的應(yīng)力分析方法；以及受彎桿件上主應(yīng)力跡線的分析方法。9.1應(yīng)力狀態(tài)的概念在分析軸向拉（壓）桿的應(yīng)力時(shí)我們就知道，斜截面上的應(yīng)力不同于橫截面上的應(yīng)力，且不同方位斜截面上的應(yīng)力也是不同的。桿件彎曲的分析結(jié)果表明，桿件內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力并不相同，其應(yīng)力值是相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)函數(shù)，且與所取截面的方位有關(guān)。在這里我們將簡(jiǎn)單介紹一點(diǎn)的應(yīng)力情況—一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。要想知道桿件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，就要分析包含該點(diǎn)的單元體?，F(xiàn)以等截面直桿的拉伸為例圖9-1(a)，在桿內(nèi)任意一點(diǎn)A處截取各邊長(zhǎng)極小的一立方體，我們稱該立方體為單元體圖9-1(b)。由于該立方體為微立方體，單元體各側(cè)面上的應(yīng)力可近似看成均勻分布，且每一對(duì)平行側(cè)面上的應(yīng)力均相等。由于該單元體的前、后側(cè)面上的應(yīng)力為零，我們將單元體圖用平面圖形9-1(c)代替。這種前后側(cè)面無(wú)應(yīng)力的單元體，我們即稱該單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)。該單元體的左、右兩側(cè)面是桿件橫截面的一部分，其應(yīng)力為σ=P/A；該單元體的上、下側(cè)面因平行于軸線的縱向平面，平面上沒有應(yīng)力，這種有四個(gè)側(cè)面無(wú)應(yīng)力的單元體，我們稱其處于單向應(yīng)力狀態(tài)。如按圖9-1(d)的方式截取單元體，使其四個(gè)側(cè)面成為斜截面，則在這四個(gè)面上，均有正應(yīng)力和切應(yīng)力。其應(yīng)力值也隨所取斜截面的方位不同而不同。本章主要介紹平面應(yīng)力狀態(tài)情況。圖9-1現(xiàn)取一處于平面應(yīng)力狀態(tài)微單元體如圖9-2(a)所示，其應(yīng)力分量：σx和τxy是外法線與x軸平行的兩個(gè)面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。σy和τyx是是外法線與y軸平行的兩個(gè)面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。σx和σy的角標(biāo)分別表示與軸x和軸y同向。τxy（或τyx)有兩個(gè)角標(biāo):第一個(gè)角標(biāo)表示切應(yīng)力作用平面的外法線方向；第二個(gè)角標(biāo)則表示切應(yīng)力的方向平行于該軸。應(yīng)力分量σx、σy、τxy均為已知。9.2平面應(yīng)力分析考慮應(yīng)力的方向性，應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)作用以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎⒎粗疄樨?fù)。照此規(guī)定，圖9-2(a)中，σx、σy、τxy均為正，而τyx為負(fù)。(b)(a)(d)(c)為體現(xiàn)一般性，取一法線N垂直于y軸的任意斜截面af,其外法線N與x軸的夾角為α,α角以由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)向外法線N者為正。截面af把單元體分成兩部分，取圖9-2(c)的部分為研究對(duì)象，來(lái)求任意斜截面上的應(yīng)力σα和τα。斜截面af上的應(yīng)力由正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα來(lái)表示。設(shè)af面的面積為微元面積dA,見圖9-2(d)，則ef面和ae面的面積分別是dA·sinα和dA·cosα,把作用于aef部分上的力投影于af面的外法線N軸上和切線方向l軸上，可得9.2.1斜截面上的應(yīng)力分析∑N＝0σαdA+τxy(dAcosα)sinα-σx(dAcosα)cosα

+τyx(dAsinα)cosα-σy(dAsinα)sinα=0∑l＝0ταdA-τxy(dAcosα)cosα-σx(dAcosα)sinα+τyx(dAsinα)sinα+σy(dAsinα)cosα=0由于(切應(yīng)力互等定理,推導(dǎo)從略)，聯(lián)立解得上述兩個(gè)平衡方程，最后得9-19-2式(9-1）、式(9-2)是斜截面應(yīng)力的一般公式。由上可見，對(duì)于一個(gè)微元單元體，當(dāng)σx、σy和τxy已知時(shí)，其斜截面的應(yīng)力σα和τα隨α角的改變而改變，即σα和τα是角α的函數(shù)。所以我們知道，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由該點(diǎn)處單元體上的已知應(yīng)力值σx、σy和τxy惟一確定?！纠?-1】一單元體各面應(yīng)力如圖9-3，試求斜截面上的應(yīng)力σα和τα。解：已知σx＝100MPa、σy＝50MPa,τxy＝-τyx＝-20MPa圖9-39.2.2主應(yīng)力與主平面因?yàn)棣姚潦铅恋暮瘮?shù)，所以σα肯定存在極大值和極小值，σα的極大值和極小值均稱為主應(yīng)力，記作σi(i=1、2、3），主應(yīng)力的作用面則稱為主平面。設(shè)α0面為主平面，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)有9-3

由公式（9-3)可以求出相差900的兩個(gè)角度α0，可見兩個(gè)主平面互相垂直。式(9-3)為確定主平面方位的公式。兩個(gè)互相垂直主平面上的正應(yīng)力，一個(gè)為最大，記為，一個(gè)為最小，記為，其值分別由式9-4計(jì)算。9-4兩個(gè)互相垂直主平面上的切應(yīng)力為零，即9-5在使用這些公式時(shí)，如σx＞σy，則式(9-3)確定的兩個(gè)角度α0中，用絕對(duì)值小的α0角度，來(lái)決定所在的平面。上式中的α1應(yīng)有相差900的兩個(gè)值，說明切應(yīng)力的最大值和最小值所在平面亦為兩個(gè)互相垂直的平面。由公式（9-6）及公式（9-3），有9.2.3切應(yīng)力極大值、極小值及其所在平面

通過推導(dǎo)，同樣可以確定最大和最小切應(yīng)力（即切應(yīng)力極值），以及它們所在的平面。α=α1時(shí)，平面上的切應(yīng)力達(dá)到極值，則有

也就是說，最大切應(yīng)力平面和最小切應(yīng)力平面與主平面之間為450的夾角。將式(9-6)代入式(9-2)的τα式，切應(yīng)力極值為所以，我們可以推出9-7需要指出的是：τmax和τmin是兩個(gè)數(shù)值相等，而正負(fù)號(hào)不同的切應(yīng)力。在最大切應(yīng)力的作用面上，其正應(yīng)力值一般不為零。即9-8圖9-4【例9-2】求圖9-4(a)所示梁內(nèi)K點(diǎn)處的主應(yīng)力與主平面，最大切應(yīng)力及其作用面，并均在單元體上畫出。已知此點(diǎn)處的σx＝-60MPa，σy=0，τxy＝-30MPa。解：(1）確定K點(diǎn)單元體的主平面，由式(9-3)，得α0＝-22.50,α0+900=67.50即，三個(gè)主應(yīng)力分別為：σ1＝12.5MPa，σ2＝0，σ3＝-72.5MPa

單元體如圖9-4(b)所示，最大主應(yīng)力σ1沿67.50方向。(3)最大切應(yīng)力可由式（9-8）直接得出τmax的作用面與主平面互成450,τmax的方向應(yīng)使單元體有沿σ1方向產(chǎn)生拉伸變形的趨勢(shì)，具體如圖9-4(b)所示。(2)計(jì)算主應(yīng)力，由式（9-4），得【例檢9-至3】農(nóng)討論朝圓軸壁扭轉(zhuǎn)嗓時(shí)的夾應(yīng)力宣狀態(tài)謎，并攏分析挪鑄鐵債試件撲受扭厘時(shí)的雕破壞隱現(xiàn)象礦。解：圓軸帥扭轉(zhuǎn)遭時(shí)，幅橫截藏面的慘邊緣呢處切孤應(yīng)力酸為最番大，葉其數(shù)嗽值為在圓螺軸的漸表層則，按脅圖9鑰-5停（a抖)所研示方模式取社出單代元體睛AB把CD針，對(duì)于悶純剪粉切狀狹態(tài)下傻的情援況，居單元烏體各嶺面上沸的應(yīng)杏力如誓圖9-滲5（椒b）坑所示啊，圖9健-5α0＝4輝50和濕13芝50以上存結(jié)果褲表明臣，從雖x軸痛為起擊點(diǎn)量剖起，街由α0＝4李50（順靈時(shí)針初方向掃）所墳確定榜的主我平面輩上的谷主應(yīng)聽力為佳σma沙x＝τ匯，而永由α0＝1首350所確宣定的逢主平觀面上欲的主搬應(yīng)力訊為σmi盞n＝-臭τ,豪按主臥應(yīng)力山的記犯號(hào)規(guī)致定，σ1＝σma趨x＝τ澆,σ2＝0肺,σ3＝σmi伯n＝-禍τ所以命，純貝剪切里時(shí)的捎兩個(gè)犧主應(yīng)蟲力的護(hù)絕對(duì)夏值相饅等，帥即切灰應(yīng)力遭τ，森但其勇中一膝個(gè)為許拉應(yīng)傲力，型一個(gè)案為壓旋應(yīng)力即。圓域截面暈鑄鐵驢試件厲扭轉(zhuǎn)臣時(shí)，撞表面迷各點(diǎn)矩σma撫x所在媽的主權(quán)平面嗎聯(lián)成巡壽傾角閥為4喉50的螺字旋面鋤圖9低-5親(a廟)，做由于肥鑄鐵鍬抗拉辦強(qiáng)度喬低，妻試件謹(jǐn)將沿繼這一裹螺旋單面拉率伸而嬌發(fā)生借斷裂撒破壞簽，如堅(jiān)圖9源-5鵝(c缸)所勾示。圖9謹(jǐn)-6肌(a惡)所鴿示矩東形截碧面梁怪，設(shè)咬任意恒截面翻n-雙n上晴的MZ＞O追，F(xiàn)S＞0頂，楊取出它五個(gè)慢點(diǎn)1妻、2鼻、3雪、4羞,喬5，輪可求賢出n束-n辛截面僵上五議個(gè)點(diǎn)儉的正臉應(yīng)力扮σx和切婚應(yīng)力鬼τxy,這少五個(gè)凡點(diǎn)的殘單元犯體如州圖9龜-6弟(b量)各所示恨。其職中1摘、5吳兩點(diǎn)健為主北應(yīng)力句狀態(tài)唐，其險(xiǎn)余三染點(diǎn)為鑄非主陵應(yīng)力京狀態(tài)那，通貓過式潔(9霞-3職)、免式(吊9-缸4)仍，可慘求出夫它們幻玉的主據(jù)應(yīng)力狼和主雙平面冶,如額圖9時(shí)-6隊(duì)(c躺)所其示。由于從梁上武各點(diǎn)旅處均威存在釋由正您交的禍主拉滋應(yīng)力件和主違壓應(yīng)忌力構(gòu)狗成的桿主應(yīng)旱力狀爛態(tài)。哲在全荷梁內(nèi)綿形成燭主應(yīng)吸力場(chǎng)朗。為轟了能淘直觀搞地表參示梁啄內(nèi)各蒜點(diǎn)主明應(yīng)力愁的方翁向，晚我們畜可以剩用兩皺組互輔為正底交的隸曲線斯描述因主應(yīng)陣力場(chǎng)初。其申中一胞組曲梢線上送每一預(yù)點(diǎn)的魔切線掌方向啟是該冒點(diǎn)處豆主拉統(tǒng)應(yīng)力巧方向徒（用爆實(shí)線票表示匪）；惠而另互一組矛曲線獻(xiàn)上每育一點(diǎn)櫻的切洪線方鬼向是涌該點(diǎn)荷處主柴壓應(yīng)恰力方而向（丟用虛賠線表筍示）胡。這肆兩組株曲線憤稱為烏梁的范主應(yīng)慘力跡略線，未前者刊為主澤拉應(yīng)京力跡吐線，蓮后者忙為主癥壓應(yīng)才力跡痛線。9.丘3乏梁的憂主應(yīng)烈力和溫主應(yīng)趴力跡晌線(a磚)圖9滾-6主應(yīng)密力跡型線使仁復(fù)雜卵的應(yīng)脫力狀國(guó)況形態(tài)象化瓣了，芽如受舌均布續(xù)荷載米的矩裝形截集面簡(jiǎn)經(jīng)支梁撈，它燈的主闖應(yīng)力后跡線義具有雹下述眾特點(diǎn)沒：1．校梁頂回與梁郊底處渾，σx≠0穿,τxy＝τyx＝0尿，梁頂柳（受穿壓）錢處：癢σ1＝σma建x＝0忠,見α01＝9維00（實(shí)腎線鉛湯垂）梁底困（受盟拉）陽(yáng)處：輝σ3＝σmi盜n＝0伴,少α02＝9惹00（虛盼線鉛要垂）2.唯中性舍軸處橡，只沙有τxy＝τ湊,站σx=0劣，裂有兩股種情命況（遣取y撒軸朝誓下時(shí)勺）：1）號(hào)當(dāng)截而面上詢FS＞0得，有收σ1＝σma稅x＝τ茂，α01＝4扁50（實(shí)襲線）姓；σ3＝σmi浸n＝－券τ＜員0，軟α02＝1撿350（虛沃線）2）無(wú)當(dāng)截爐面上丸FS＜0御，有意σ1＝σma淹x＝τ訪，α01＝1溪350（實(shí)惑線）商；σ3＝σmi齒n＝－聾τ＜少0，掘α02＝4剃50（虛皂線）3.窮從圖賴9-榜7可角知，餓主拉振應(yīng)力澡跡線睡（實(shí)豆線）采必垂扯直于唱梁頂汗而平丹行于抖梁底抹；主晶壓應(yīng)罵力跡昨線（箭虛線咸）必?cái)⒋怪痹视诹壕沟锥制叫惺赜诹虹P頂。圖9-7主應(yīng)掙力跡請(qǐng)線分左析在派工程鮮設(shè)計(jì)腥中是替有實(shí)帳用價(jià)舟值的駱，如普鋼筋港混凝直土梁疏內(nèi)的鋼主要接受力繳鋼筋兆大致趴上是私按主唯拉應(yīng)晚力跡鞋線配爪置的棍，如候圖9供-8煙。圖9僅-8由于雄荷載清和約期束的芳不同抽，梁駛的其英主應(yīng)狐力跡圈線也孫完全泡不一辛樣。貢圖9映-9異給出櫻了幾姨種類惹荷載腔作用窮下梁杠的主膊應(yīng)力刑跡線卻。圖9孩-9小前結(jié)1、坡平面罰應(yīng)力光狀態(tài)典:比斜截悅面應(yīng)塑力的撕一般腹公式（1將）兩栽個(gè)互氏相垂脂直主紅平面閘上的黎正應(yīng)曉力，勿一個(gè)擦為最李大，捆記為谷，一務(wù)個(gè)為找最小漏，記寺為，城其值蜂分別干為2、觀主應(yīng)枯力與導(dǎo)主平療面（2致）兩虛個(gè)互笛相垂溫直主犯平面塵上的賀切應(yīng)膏力為住零，赴即3、腥切應(yīng)莫力極狂大值俘、極籮小值紀(jì)及其征所在叮平面（1奶）最陶大切暑應(yīng)力閣平面帳和最蹈小切境應(yīng)力班平面辦與主委平面蒙之間瓶為4譯50的夾桂角。（2醋）切遇應(yīng)力稍極值代為即（3隱）τma愁x和τmi瞎n是兩疾個(gè)數(shù)匪值相族等，廁而正枯負(fù)號(hào)突不同陽(yáng)的切茅應(yīng)力景。（4精）在減最大煤切應(yīng)桶力的款作用貓面上緒，其桶正應(yīng)臉力值吸一般貫不為阻零。4、懼梁的作主應(yīng)晃力和漠主應(yīng)討力跡揚(yáng)線主拉田應(yīng)力沒跡線寸（實(shí)庭線）崗必垂浴直于遞梁頂融而平宇行于沖梁底迷；主壓薄應(yīng)力慮跡線斧（虛填線）豎必垂禁直于立梁底錦而平炊行于禮梁頂途。思考副題9-誰(shuí)1糟什么距一點(diǎn)允的應(yīng)溫力狀口態(tài)？9-丈2仁什么管是單廈向應(yīng)醒力狀腔態(tài)和下平面翠應(yīng)力昂狀態(tài)薯？9-總3關(guān)梁受遺橫力束彎曲遙時(shí)，朗梁頂蕉、梁敬底、角梁軸蒙線處閉的點(diǎn)懲各處摟于何朝種應(yīng)傳力狀隔態(tài)？習(xí)題9-痰1雄圖示塌應(yīng)力擁狀態(tài)配，試筑求出砍指定瘦斜截五面