Q45正交平面波46贗勢(shì)47能態(tài)密43

Born－Oppenheimer絕熱近似：Hatree－Fock平均場(chǎng)近似（單電子近似）周期場(chǎng)近似(Periodicpotentialapproximation)：復(fù)雜多體問(wèn)題變?yōu)橹芷趧?shì)場(chǎng)下的單電子問(wèn)題，單電子薛定諤方程為：其中：全電子勢(shì)（Muffin-tin）贗勢(shì)

凝膠模型（自由電子氣的背景）非周期性周期性對(duì)稱性平面波（近自由電子近似）綴加平面波線性組合綴加平面波散射函數(shù)原子軌道線性組合（緊束縛近似）數(shù)值能帶計(jì)算方法的理解（部分）目前一頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)補(bǔ)充：狄拉克(Dirac)符號(hào)在幾何或經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量形式討論問(wèn)題而不指明坐標(biāo)系。同樣，量子力學(xué)中描寫(xiě)態(tài)和力學(xué)量，也可以不用具體表象。這種描寫(xiě)的方式是狄拉克最先引用的，這樣的一套符號(hào)就稱為狄拉克符號(hào)。它有簡(jiǎn)明和使用方便的優(yōu)點(diǎn),在文獻(xiàn)中被廣泛應(yīng)用.

目前二頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)右矢和左矢微觀體系的狀態(tài)可以用一種矢量來(lái)表示，它的符號(hào)是，稱為右矢，表示某一確定的右矢A，可以用符號(hào)微觀體系的狀態(tài)也可以用另一種矢量來(lái)表示，這種矢量符號(hào)是，稱為左矢。表示某一確定的左矢B可以用符號(hào)。右矢和左矢是兩種性質(zhì)不同的矢量，兩者不能相加，它們?cè)谕环N表象中的相應(yīng)分量互為共厄復(fù)數(shù)。目前三頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)例如:分別表示坐標(biāo)算符,動(dòng)量算符,能量算符和角動(dòng)量算符的本征態(tài).例如:左矢和右矢二者的關(guān)系可以簡(jiǎn)單表示：目前四頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)態(tài)的歸一是兩態(tài)正交是

例如:目前五頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)4.5正交平面波法目前六頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)正交平面波法：OrthogonalizedPlaneWave(OPW)Method在弱周期場(chǎng)近似中，波函數(shù)由平面波疊加而成，要使波函數(shù)在離子實(shí)附近有振蕩的特點(diǎn)，平面波的展開(kāi)式中要有較多的頻率成分，因而收斂很慢，所以平面波方法計(jì)算固體能帶實(shí)際計(jì)算難以進(jìn)行。1940年Herring提出了OPW

方法，取波函數(shù)為平面波和緊束縛波函數(shù)的線性組合，并要求與離子實(shí)不同殼層緊束縛波函數(shù)正交，從而自然地兼顧了波函數(shù)在離子實(shí)附近以及在離子之間應(yīng)有的特征，求解時(shí)，往往只需要取幾個(gè)正交平面波，結(jié)果就很好了。

目前七頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)

嚴(yán)格的平面波：收斂性差，求解本征值的行列式階數(shù)很高。

正交平面波法：目前八頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)正交平面波

目前九頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)正交平面波

目前十頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)目前十一頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)正交平面波

目前十二頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)正交平面波

目前十三頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)正交平面波

目前十四頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)正交平面波

目前十五頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)

目前十六頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)4.6贗勢(shì)方法目前十七頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)

式中：正交化項(xiàng)起著抵消勢(shì)能的作用，給出一個(gè)弱得多的有效勢(shì)。

目前十八頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)上述結(jié)果很有趣，有效勢(shì)場(chǎng)不是V，而是U，通常U<V

，起作用的是一個(gè)很弱的勢(shì)U，被稱作贗（假的、偽造的）勢(shì)給出的波函數(shù)叫贗波函數(shù)。目前十九頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)綜上所述，我們可以找出一個(gè)贗波動(dòng)方程，它與嚴(yán)格的Bloch函數(shù)的能量本征值相同，因此計(jì)算能帶時(shí)可以不必先求Bloch函數(shù)，而是先求解贗勢(shì)，然后用贗波動(dòng)方程求解出平滑函數(shù)所對(duì)應(yīng)的能量Ek

值。這就是建立在正交平面波法基礎(chǔ)上的贗勢(shì)方法。目前二十頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)目前二十一頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)

贗勢(shì)法是1966年由Harrison提出的，實(shí)際是OPW法的一種推廣，這種由原子波函數(shù)造成的對(duì)晶體勢(shì)場(chǎng)的消弱是很大的，導(dǎo)致晶體中的電子感受到的勢(shì)場(chǎng)可以等價(jià)于一種弱的平滑勢(shì)（贗勢(shì)），電子的波函數(shù)就幾乎是平面波（贗波函數(shù)）。所以贗勢(shì)法的基本精神是適當(dāng)?shù)剡x取一種平滑勢(shì)，波函數(shù)用少數(shù)平面波展開(kāi)，就可以使計(jì)算出的能帶結(jié)構(gòu)與實(shí)際晶體接近，贗勢(shì)方法除去在能帶計(jì)算上（Be,Na,K,Ge,Si等金屬和半導(dǎo)體的能帶）取得很大成功外，也從理論上回答了盡管在晶體中電子和離子的相互作用很強(qiáng)，近自由電子模型在很多情形下仍十分成功的原因。目前二十二頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)現(xiàn)在我們可以理解，為什么像Na等簡(jiǎn)單金屬中的價(jià)電子在具有非常強(qiáng)的離子實(shí)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，仍能夠像自由電子那樣，以前這只是經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，現(xiàn)在則有了理論依據(jù)：恰當(dāng)?shù)乜紤]了泡利不相容原理后，晶體中的有效勢(shì)場(chǎng)確實(shí)非常弱，上面量子力學(xué)的計(jì)算結(jié)果證實(shí)了這點(diǎn)，晶體中的電子具有自由電子的行為是不奇怪的。目前二十三頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)贗勢(shì)方法

目前二十四頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)贗勢(shì)方法

目前二十五頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)贗勢(shì)

目前二十六頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)贗勢(shì)通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)内I勢(shì)，可以比較容易地求解出比較真實(shí)的能譜，因?yàn)橼I勢(shì)是一個(gè)比真實(shí)勢(shì)平緩得多的函數(shù)贗勢(shì)方法正好給出近自由電子近似的一種合理的解釋贗勢(shì)的選擇并不是唯一的實(shí)際上總是盡可能將離子實(shí)區(qū)的贗勢(shì)取得簡(jiǎn)單，并保留一組可調(diào)參量，最后由匹配條件決定這些參量目前二十七頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)

目前二十八頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)小結(jié)：

凝聚態(tài)物理的核心問(wèn)題之一是關(guān)于多粒子系統(tǒng)的電子性質(zhì)，基于單電子近似的能帶理論為解釋固體中電子的絕大部分性質(zhì)提供了一個(gè)概念框架：按電學(xué)性質(zhì)把晶體分為金屬、半導(dǎo)體和絕緣體；不但可以解釋晶體的導(dǎo)電性質(zhì)，也可以解釋晶體的光學(xué)、磁學(xué)和熱學(xué)性質(zhì)。因此發(fā)展了許多近似方法來(lái)計(jì)算晶體的能帶，這些方法的差別主要在兩個(gè)方面：一是選擇一組合理的函數(shù)來(lái)表示電子波函數(shù)；另一個(gè)是采用有效勢(shì)來(lái)近似地代表晶體中的實(shí)際勢(shì)場(chǎng)。近來(lái)在大型計(jì)算機(jī)的幫助下，采用電子密度泛函代替波函數(shù)來(lái)計(jì)算電子結(jié)構(gòu)取得了許多重大進(jìn)展。目前二十九頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)能帶論的中心任務(wù)是求解晶體周期勢(shì)場(chǎng)中的單電子薛定諤方程：其解應(yīng)具有Bloch函數(shù)形式：所以求解時(shí)首先應(yīng)找出合理的近似方案去表示或者給出周期勢(shì)場(chǎng)的可解的近似表達(dá)式，求解方程?！狟loch函數(shù)目前三十頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)Born－Oppenheimer絕熱近似：Hatree－Fock平均場(chǎng)近似（單電子近似）周期場(chǎng)近似(Periodicpotentialapproximation)：復(fù)雜多體問(wèn)題變?yōu)橹芷趧?shì)場(chǎng)下的單電子問(wèn)題，單電子薛定諤方程為：其中：全電子勢(shì)（Muffin-tin）贗勢(shì)

凝膠模型（自由電子氣的背景）非周期性周期性對(duì)稱性平面波（近自由電子近似）綴加平面波線性組合綴加平面波散射函數(shù)原子軌道線性組合（緊束縛近似）數(shù)值能帶計(jì)算方法的理解（部分）目前三十一頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)4.7能帶電子態(tài)密度目前三十二頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)與孤立原子中的本征能態(tài)形成一系列的分立能級(jí)不同，固體中電子的能級(jí)是非常密集的，形成準(zhǔn)連續(xù)的分布，和孤立原子那樣去標(biāo)注每個(gè)能級(jí)是沒(méi)有意義的，為了概括晶體中電子能級(jí)的狀況，我們引入“能態(tài)密度”的概念，這個(gè)函數(shù)在討論晶體電子的各種過(guò)程時(shí)特別在輸運(yùn)現(xiàn)象的分析中是非常重要的。目前三十三頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)能帶電子態(tài)密度

目前三十四頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)能態(tài)密度:它定義為單位能量間隔內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)，dZ為能量在E－E+dE兩等能面間的能態(tài)數(shù)（考慮了電子自旋）。dZ=2ρ(k)×(k空間中能量在E→E+dE兩等能面間的體積)因?yàn)椋核裕耗壳叭屙?yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)不同維度下的電子態(tài)密度

目前三十六頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)自由電子能態(tài)密度

目前三十七頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)能帶電子的能態(tài)密度

目前三十八頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)能帶電子的能態(tài)密度(推)

目前三十九頁(yè)\總數(shù)四十三頁(yè)\編于十六點(diǎn)