偏導數(shù)的定義及其計算法

偏導數(shù)的定義及其計算法目前一頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點一、偏導數(shù)的定義及其計算法

類似地,可定義函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數(shù).偏導數(shù)的定義

設函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)有定義若極限存在則稱此極限為函數(shù)zf(x

y)在點(x0

y0)處對x的偏導數(shù)

記作>>>目前二頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點一、偏導數(shù)的定義及其計算法偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的符號

如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在,那么f(x,y)對x的偏導數(shù)是x、y的函數(shù),這個函數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)對x的偏導函數(shù)(簡稱偏導數(shù)),記作偏導函數(shù)目前三頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點一、偏導數(shù)的定義及其計算法偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的符號偏導函數(shù)偏導函數(shù)的符號>>>目前四頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點偏導函數(shù)

偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)

例如三元函數(shù)uf(x

y

z)在點(x

y

z)處對x的偏導數(shù)定義為其中(x

y

z)是函數(shù)uf(x

y

z)的定義域的內(nèi)點

目前五頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點偏導數(shù)的求法求函數(shù)對一個自變量的偏導數(shù)時,只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導法求導即可.偏導函數(shù)討論

下列求偏導數(shù)的方法是否正確？目前六頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點

例1

求zx23xyy2在點(1,2)處的偏導數(shù).

解

例2

求zx2sin2y的偏導數(shù).

解

目前七頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點

解

證

例3

例4

目前八頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點

證

本例說明一個問題:偏導數(shù)的記號是一個整體記號,不能看作分子分母之商.

例5

已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證目前九頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點偏導數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]yz=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截線z=f(x,

y0)在點(x0,

y0)處的切線Tx對x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(x0,

y0)處的切線Ty對y軸的斜率.目前十頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點偏導數(shù)的幾何意義目前十一頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點偏導數(shù)與連續(xù)性

對于多元函數(shù)來說,即使各偏導數(shù)在某點都存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù).例如但函數(shù)在點(0,0)并不連續(xù).在點(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：提示：當點P(x

y)沿直線ykx趨于點(00)時有因此函數(shù)f(x

y)在(00)的極限不存在當然也不連續(xù)

目前十二頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點二、高階偏導數(shù)二階偏導數(shù)

如果函數(shù)zf(x,y)的偏導數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導數(shù),則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)的二階偏導數(shù).

函數(shù)zf(x,y)的二階偏導數(shù)有四個:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)稱為混合偏導數(shù).

類似地可定義三階、四階以及n階偏導數(shù).目前十三頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點

解

此例中兩個混合偏導數(shù)是相等的.目前十四頁\總數(shù)十七頁\編于二十二點那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等

定理

解