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文檔簡介
吉林省延邊州汪清縣四中2023年畢業(yè)班下學(xué)期3月百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計理科數(shù)學(xué)成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.1002.在菱形中,,,,分別為,的中點,則()A. B. C.5 D.3.二項式展開式中,項的系數(shù)為()A. B. C. D.4.函數(shù)與在上最多有n個交點,交點分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.105.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,6.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.9.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.10.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.611.已知拋物線:()的焦點為,為該拋物線上一點,以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點,,則拋物線方程為()A. B. C. D.12.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標(biāo)原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若向量與向量平行,則實數(shù)___________.14.設(shè)向量,,且,則_________.15.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,若是的共軛復(fù)數(shù),則____________.16.三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考,三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160,240,400,為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績,現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本,若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)解不等式;(2)記的最大值為,若實數(shù)、、滿足,求證:.18.(12分)已知曲線:和:(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)與,軸交于,兩點,且線段的中點為.若射線與,交于,兩點,求,兩點間的距離.19.(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.20.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,判斷函數(shù),()有幾個零點,并證明你的結(jié)論;(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點.以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線,從原點O作射線交于點M,點N為射線OM上的點,滿足,記點N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點,求的值.22.(10分)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大小;(2)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性,求得,所以該市某校有500人中,估計該校數(shù)學(xué)成績不低于110分的人數(shù)為人,故選:.【點睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.2、B【解析】
據(jù)題意以菱形對角線交點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示出,再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點,以為原點,的方向為軸,的方向為軸,建立直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以.故選:B.【點睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問題,難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題,如果直接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.3、D【解析】
寫出二項式的通項公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,故項的系數(shù)為.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)直線過定點,采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點個數(shù),然后利用對稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點且在是關(guān)于對稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關(guān)于對稱所以故選:C【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點在于正確畫出圖像,同時掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.5、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時,函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.6、A【解析】
利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項;當(dāng)時,,可排除D選項;當(dāng)時,,當(dāng)時,,即,可排除C選項,故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,排除錯誤選項,從而得出正確選項.【詳解】因為,所以是偶函數(shù),排除C和D.當(dāng)時,,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.8、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為,所以.因為,所以,因為,為增函數(shù),所以所以,故選:A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.9、D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,引入新定義,屬于簡單題目.10、C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號.
答案:C【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是最后一定要驗證等號能否成立,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)拋物線方程求得點的坐標(biāo),根據(jù)軸、列方程,解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,由于在拋物線上,所以,由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點,根據(jù)拋物線的定義可知,、軸,且.由于,所以直線的傾斜角為,所以,解得,或(由于,故舍去).所以拋物線的方程為.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線的斜率,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.12、D【解析】
過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設(shè)該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題可得,因為向量與向量平行,所以,解得.14、【解析】
根據(jù)向量的數(shù)量積的計算,以及向量的平方,簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:且由所以故答案為:【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)計算,主要考查計算,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
由于,則.16、【解析】
某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x,由已知,,解得.故答案為:【點睛】本題考查隨機(jī)抽樣中的分層抽樣,考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力,是一道容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)采用零點分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出的值,然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】(1)當(dāng)時,不等式為,解得當(dāng)時,不等式為,解得當(dāng)時,不等式為,解得∴原不等式的解集為(2)當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,∴,∴∵,∴,∴(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)同理可得,∴∴(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式,難度一般.(1)常見的絕對值不等式解法:零點分段法、圖象法、幾何意義法;(2)利用基本不等式完成證明時,注意說明取等號的條件.18、(1),;(2)1.【解析】
(1)利用正弦的和角公式,結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式,即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程;先寫出曲線的普通方程,再利用公式化簡為極坐標(biāo)即可;(2)先求出的直角坐標(biāo),據(jù)此求得中點的直角坐標(biāo),將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo),聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程,即可求得兩點的極坐標(biāo),則距離可解.【詳解】(1):可整理為,利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為:,:的普通方程為,利用公式可得其極坐標(biāo)方程為(2)由(1)可得的直角坐標(biāo)方程為,故容易得,,∴,∴的極坐標(biāo)方程為,把代入得,.把代入得,.∴,即,兩點間的距離為1.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及在極坐標(biāo)系中求兩點之間的距離,屬綜合基礎(chǔ)題.19、(1).(2).【解析】
(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),求出最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù),由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時,需求量為500,求出Y=900元;當(dāng)溫度在[20,25)℃時,需求量為300,求出Y=300元;當(dāng)溫度低于20℃時,需求量為200,求出Y=﹣100元,從而當(dāng)溫度大于等于20時,Y>0,由此能估計估計Y大于零的概率.【詳解】解:(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得到最高氣溫位于區(qū)間[20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶,如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶,如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶,∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p.(2)當(dāng)溫度大于等于25℃時,需求量為500,Y=450×2=900元,當(dāng)溫度在[20,25)℃時,需求量為300,Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,當(dāng)溫度低于20℃時,需求量為200,Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,當(dāng)溫度大于等于20時,Y>0,由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有:90﹣(2+16)=72,∴估計Y大于零的概率P.【點睛】本題考查概率的求法,考查利潤的所有可能取值的求法,考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.20、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個零點,證明見解析;(3)【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)時,利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時,當(dāng)時,在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個零點.證明如下:因為時,所以,因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點,由(1)可得時,,即,故時,,所以,由得,平方得,所以,因為,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點,綜上可知:函數(shù)有2個零點.(3)記函數(shù),下面考察的符號.求導(dǎo)得.當(dāng)時恒成立.當(dāng)時,因為,所以.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.∵,∴,又因為在上連續(xù),所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的,使,∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,,所以在,上恒成立.①當(dāng)時,在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當(dāng)變化時,,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當(dāng)時,,當(dāng)時,在上恒成立.綜合(1)(2)知,
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