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文檔簡介

吉林市長春汽車經(jīng)濟開發(fā)區(qū)第六中學2023屆高三階段測試(三)數(shù)學試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一袋中裝有個紅球和個黑球(除顏色外無區(qū)別),任取球,記其中黑球數(shù)為,則為()A. B. C. D.2.若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.3.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交5.展開項中的常數(shù)項為A.1 B.11 C.-19 D.516.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱;③若在上恰有7個零點,則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.47.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.若時,,則的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項和,,則()A.7 B.14 C.28 D.8410.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.12.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦至少有2個陽爻的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.數(shù)列滿足遞推公式,且,則___________.14.已知數(shù)列為正項等比數(shù)列,,則的最小值為________.15.過直線上一動點向圓引兩條切線MA,MB,切點為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.16.設(shè)滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為_.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),且.(1)若,求的最小值,并求此時的值;(2)若,求證:.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線上的點M對應的參數(shù),射線與曲線交于點.(1)求曲線,的直角坐標方程;(2)若點A,B為曲線上的兩個點且,求的值.19.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設(shè)點在上,點在上,求的最小值以及此時的直角坐標.20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1},求實數(shù)a的值;(2)證明:f(x).21.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.22.(10分)已知橢圓的焦距為2,且過點.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為的左焦點,點為直線上任意一點,過點作的垂線交于兩點,(?。┳C明:平分線段(其中為坐標原點);(ⅱ)當取最小值時,求點的坐標.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,計算出隨機變量在不同取值下的概率,進而可求得隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,則,,,.因此,隨機變量的數(shù)學期望為.故選:A.【點睛】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

把已知等式變形,利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,再由復數(shù)模的計算公式求解.【詳解】解:由,得,∴.故選C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.3、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查對數(shù)式比較大小,屬于中檔題.4、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯誤,故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.5、B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項,有3種情況:(1)5個括號都出1,即;(2)兩個括號出,兩個括號出,一個括號出1,即;(3)一個括號出,一個括號出,三個括號出1,即;所以展開項中的常數(shù)項為,故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.6、B【解析】

對函數(shù)化簡可得,進而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性及平移變換,對四個命題逐個分析,可選出答案.【詳解】因為,所以周期.對于①,因為,所以,即,故①錯誤;對于②,函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對稱,則,解得,故對任意整數(shù),,所以②錯誤;對于③,令,可得,則,因為,所以在上第1個零點,且,所以第7個零點,若存在第8個零點,則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因為,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點、對稱性,考查學生的計算求解能力與推理能力,屬于中檔題.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,排除錯誤選項,從而得出正確選項.【詳解】因為,所以是偶函數(shù),排除C和D.當時,,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.8、D【解析】

由題得對恒成立,令,然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對恒成立,令,在單調(diào)遞減,且,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,又在單調(diào)遞增,,的取值范圍為.故選:D【點睛】本題主要考查了不等式恒成立問題,導數(shù)的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題,可采用參變量分離法去求解.9、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式和等差中項,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.10、D【解析】

先判斷函數(shù)在時的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時的單調(diào)性,比較出三個數(shù)的大小.【詳解】當時,,函數(shù)在時,是增函數(shù).因為,所以函數(shù)是奇函數(shù),所以有,因為,函數(shù)在時,是增函數(shù),所以,故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過變形求解出的周期,進而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻(即6個全部是陰爻)的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選:C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2020【解析】

可對左右兩端同乘以得,依次寫出,,,,累加可得,再由得,代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有,從而,,,,將以上式子累加得.由得.令,有.故答案為:2020【點睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應用,屬于基礎(chǔ)題14、27【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當且僅當時取得最小值.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的下標和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.15、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時最小為圓心到直線的距離,此時,因為,所以,所以的概率為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.16、【解析】

根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)最小值為,此時;(2)見解析【解析】

(1)由已知得,法一:,,根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得;法二:運用基本不等式構(gòu)造,可得最值;法三:運用柯西不等式得:,可得最值;(2)由絕對值不等式得,,又,可得證.【詳解】(1),法一:,,的最小值為,此時;法二:,,即的最小值為,此時;法三:由柯西不等式得:,,即的最小值為,此時;(2),,又,.【點睛】本題考查運用基本不等式,柯西不等式,絕對值不等式進行不等式的證明和求解函數(shù)的最值,屬于中檔題.18、(1)..(2)【解析】

(1)先求解a,b,消去參數(shù),即得曲線的直角坐標方程;再求解,利用極坐標和直角坐標的互化公式,即得曲線的直角坐標方程;(2)由于,可設(shè),,代入曲線直角坐標方程,可得的關(guān)系,轉(zhuǎn)化,可得解.【詳解】(1)將及對應的參數(shù),代入得,即,所以曲線的方程為,為參數(shù),所以曲線的直角坐標方程為.設(shè)圓的半徑為R,由題意,圓的極坐標方程為(或),將點代入,得,即,所以曲線的極坐標方程為,所以曲線的直角坐標方程為.(2)由于,故可設(shè),代入曲線直角坐標方程,可得,,所以.【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標,參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標的幾何意義的應用,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.19、(1):,:;(2),此時.【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為;(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標為到的距離當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為.(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.考點:坐標系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當?shù)南麉⒎椒ǎR姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當選取參數(shù);二是確?;セ昂蠓匠痰牡葍r性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.20、(1)a=1;(2)見解析【解析】

(1)由題意可得|x﹣a|≥4x,分類討論去掉絕對值,分別求得x的范圍即可求出a的值.(2)由條件利用絕對值三角不等式,基本不等式證得f(x)≥2..【詳解】(1)由f(x)﹣|x|≥4x,可得|x﹣a|≥4x,(a>0),當x≥a時,x﹣a≥4x,解得x,這與x≥a>0矛盾,故不成立,當x<a時,a﹣x≥4x,解得x,又不等式的解集是{x|x≤1},故1,解得a=1.(2)證明:f(x)=|x﹣a|+|x||x﹣a﹣(x)|=|a|,∵a>0,∴|a|=a22,當且僅當a時取等號,故f(x).【點睛】本題主要考查絕對值三角不

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