不等式證明教學(xué)設(shè)計(jì)(陳頻)

《不等式的證明》的教學(xué)設(shè)計(jì)上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)陳頻一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是上海教育出版社出版的數(shù)學(xué)教材高一年級(jí)第一學(xué)期第二章第五節(jié)的“不等式的證明”，在復(fù)習(xí)并深化學(xué)習(xí)了“比較法”之后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式證明的“分析法”與“綜合法”．“比較法”、“分析法”與“綜合法”都屬于程序性知識(shí)．在數(shù)學(xué)證明（包括不等式證明）中，最關(guān)鍵的是通過思考去尋求證明的途徑；而根據(jù)思維路徑的順逆有“綜合法”與“分析法”之分．分析法是執(zhí)果索因，方向明確，思維較為自然，其缺點(diǎn)是敘述不方便，表述較繁瑣.綜合法是由因?qū)Ч樌沓烧?，表述?jiǎn)明，其缺點(diǎn)是一因多果，有時(shí)不易找到導(dǎo)出結(jié)論的思路.因此，在遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)，通常把分析法與綜合法結(jié)合起來(lái)使用，先用分析法探求解題途徑，打開思維通道，再用綜合法進(jìn)行表述，它們珠聯(lián)璧合，相得益彰．“證明”學(xué)生從初中起就逐步接觸了，只是一直沒有概括提煉出證明的方法，高中數(shù)學(xué)除了它的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性外，在促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展、形成理性思維等方面具有獨(dú)特的重要作用．本課學(xué)習(xí)主要是促進(jìn)學(xué)生對(duì)推理證明方法的認(rèn)識(shí)與理解，能更規(guī)范、準(zhǔn)確地運(yùn)用這些方法解決數(shù)學(xué)問題．二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為：1．進(jìn)一步掌握比較法，經(jīng)歷分析法與綜合法習(xí)得的過程，并會(huì)運(yùn)用其證明簡(jiǎn)單不等式；2．體會(huì)分析法、綜合法在證明中的作用，理解執(zhí)果索因、由因?qū)Ч乃季S路徑；3．通過教學(xué)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，提升思維品質(zhì)，培育邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)：理解比較法、分析法與綜合法的基本思路，并會(huì)運(yùn)用它們證明簡(jiǎn)單的不等式．教學(xué)難點(diǎn)：證明不等式時(shí)，如何尋找思維的突破口，選擇合適的方法．三、學(xué)生學(xué)情分析由于本節(jié)課是上海市的決賽課，是借班上課，且課前沒有接觸過學(xué)生．學(xué)生為上海市實(shí)驗(yàn)性示范性高中的高一學(xué)生，已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合與命題、不等式的基本性質(zhì)、不等式的解法、基本不等式及其應(yīng)用等知識(shí)，這都為這節(jié)課的學(xué)習(xí)作了知識(shí)、方法與能力上的準(zhǔn)備．但不等式證明對(duì)思維的靈活性、深刻性，以及數(shù)學(xué)表達(dá)，均有較高的要求，這都需教師立足于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和認(rèn)知能力，通過啟發(fā)、引導(dǎo)、評(píng)價(jià)、激勵(lì)學(xué)生，突破思維的障礙．四、教學(xué)策略分析為了更好地突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課采取了如下策略：1．創(chuàng)設(shè)情境、引發(fā)思考【視頻1】通過“糖水甜度”的引例，引發(fā)學(xué)生積極思考，并通過數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模，得到相關(guān)的不等式；在復(fù)習(xí)回顧證明不等式的比較法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考其它的證明方法．2．思維碰撞，探索方法【視頻2】通過教師展示一種證明方法，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考去揭開這種方法的神秘面紗，在此，引導(dǎo)學(xué)生從不等式證明的結(jié)論出發(fā)，探求使其成立的條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，這樣就可得到一種新的證明方法，指導(dǎo)學(xué)生分析這種方法的思維過程，并給出其名稱——“分析法”．有了分析法之后，分析其思維路徑，得出相反的思維路徑的“綜合法”，就是開始展示的證明方法．這樣就自然而然地習(xí)得了證明不等式的“分析法”與“綜合法”，還可感受到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新方法的喜悅！3．典型例題，領(lǐng)會(huì)方法【視頻3】習(xí)得了證明不等式的分析法與綜合法之后，分析其各自的思維特征，再通過典型例題，運(yùn)用這兩種方法進(jìn)行證明不等式的訓(xùn)練．這里設(shè)置的3個(gè)例題，其思維層次分明，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且能引起思維碰撞；它們?yōu)橹鸩筋I(lǐng)會(huì)分析法與綜合法證明不等式的要領(lǐng)起到了良好的作用．課堂上，適時(shí)對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，對(duì)學(xué)習(xí)遇到困難的學(xué)生予以幫助，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解與數(shù)學(xué)思維水平的發(fā)展．4．總結(jié)反思，思維升華【視頻4】這節(jié)課中，通過引例及3個(gè)例題中一些不等式的證明，學(xué)生已對(duì)如何運(yùn)用分析法與綜合法證明不等式有了較好的領(lǐng)會(huì)．這里從解題策略、思維方法、數(shù)學(xué)思想等方面對(duì)整節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行感悟與總結(jié)，可以將課堂學(xué)習(xí)推向高潮，促進(jìn)學(xué)生思維的升華，培育學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．5．課后練習(xí)，拓展延伸【視頻5】本節(jié)課的引例中，在條件“a,b,meR+,且b>a”下，我們證明了不等式“竺m>a”，b+mb由于a為真分?jǐn)?shù)，我們通常稱之為“真分?jǐn)?shù)不等式”.請(qǐng)同學(xué)改變條件，建立一個(gè)與之類似的b“假分?jǐn)?shù)不等式”并證明之.例1中的不等式(a+b)b+c)C+a)>8abc為3個(gè)字母的對(duì)稱輪換不等式，請(qǐng)同學(xué)猜想并證明n個(gè)字母的對(duì)稱輪換不等式.將課堂例題變式為課后練習(xí)，將課堂學(xué)習(xí)延后到課后思考，并培養(yǎng)同學(xué)們的大膽猜想、小心論證的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境、引發(fā)思考弓I例.已知b克糖水中含有a克糖（b>a），再將m克糖溶入糖水中，仍未達(dá)飽和，試問糖水會(huì)變得更甜嗎？請(qǐng)將上述事實(shí)用一個(gè)不等式進(jìn)行描述，并證明這個(gè)不等式．（學(xué)生思考，建立不等式：已知a,b,meR+,且b>a，求證：竺m>a.）b+mb（二）思維碰撞、探索方法（先復(fù)習(xí)證明不等式的比較法，再讓學(xué)生思考其它的證明方法，并啟發(fā)、弓導(dǎo)學(xué)生從不等式出發(fā)，探求使其成立的條件，弓出新的證明方法——“分析法”，分析新方法的思維路徑，得出相反的思維路徑的“綜合法”）（三）典型例題領(lǐng)會(huì)方法例1.已知a,b,ceR+，求證：（a+b）b+c）c+a）>8abc.例2.已知a>1,求證：aa—1+va+1<27a.例3.已知a,b,c,deR,試用兩種方法證明：（a2+b2X2+d2）>（ac+bd）2.（學(xué)生分析、思考，進(jìn)行證明；教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生有疑難，適時(shí)啟發(fā)、點(diǎn)撥；展示學(xué)生的證明過程，或請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行板演，教師點(diǎn)評(píng)）（四）總結(jié)反思、思維升華（師生合作完成：學(xué)生先談對(duì)證明不等式的“分析法”與“綜合法”的認(rèn)識(shí)與理解，然后教師進(jìn)行歸納、提煉、提升）大數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾說“數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的對(duì)象，而在于它的方法.”革命導(dǎo)師恩格斯曾說“沒有分析就沒有綜合”，分析與綜合是密切聯(lián)系在一起的，分析是為了綜合，綜合需要分析.有副數(shù)學(xué)對(duì)聯(lián)是這樣寫的：上聯(lián)：由因?qū)Ч樚倜希ňC合法）下聯(lián)：執(zhí)果索因逆推探源（分析法）橫批：得心應(yīng)手（五）課后練習(xí)、任務(wù)后延.本節(jié)課的引例中，在條件“a,b,meR+,且b>a”下，我們證明了不等式“竺m>a”，b+mb

由于巴為真分?jǐn)?shù)，我們通常稱之為“真分?jǐn)?shù)不等式”.請(qǐng)你改變條件，建立一個(gè)與之類似的“假b分?jǐn)?shù)不等式”，并證明之..已知,aeR+,且〃eN*,〃N2,求證：123 n-1n(a+a)G+a)G+a)---G+a)G+a)>2^