基礎(chǔ)講義考研幫學(xué)堂配套電子概率論與數(shù)理統(tǒng)計

課程配套講義是學(xué)習(xí)的必備資源，幫幫為大家精心整理了高質(zhì)量的配套講多造最科學(xué)、最高效、最自由的學(xué)臺：第一章隨機與概 1.1、樣本空間、間的關(guān)系與運 隨機試驗與樣本空間的定 隨機的定 間的關(guān) 的運算性 文氏 概 概率的公理化定 概率的性 等可能概 古典概 條件概率及其有關(guān)的三個概率的獨立 的獨立性的定 相互獨立的性 典型例 第二章隨量及其分 隨量及其分布函 隨量的定 隨量的分布函 隨量分布函數(shù)的性 離散型隨量及其分布 離散型隨 離散型隨量的分布律及分布函 離散型隨量的分布律的性 二項分 幾何分 超幾何分 泊松分 連續(xù)型隨量及其概率密 連續(xù)型隨量的定 概率密度的性 均勻分 指數(shù)分 正態(tài)分 隨量的函數(shù)的分 離散型隨量的函數(shù)分布的求 連續(xù)型隨量的函數(shù)分布的求 試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個結(jié)果用e表示，稱為樣本空間中的樣本點，記作{e}．卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機(簡稱)．通常把必然(記作與不可能(記作看作特殊的隨機若AB則稱B包含A，指A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生若BA且AB，即AB，則稱A和B相AB{xxA或xB}稱為A與B的和，指當(dāng)且僅當(dāng)A，BAB{xxA且xB}稱為A與B的積，指當(dāng)A，B同時發(fā)(4)的AB{xxA且xB}稱為A與B的差，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)若AB，則稱A與B是互不相容的，或互斥的，指A與不能同時發(fā)生，基本是兩兩互不相容的。注：一次試驗中的基本都是兩兩互斥的。(6)對立ABS且AB，則稱A與B互為逆，又稱A生。A的對立記為ASA。交換律ABB ABB結(jié)合律(AB)CA(B (AB)CA(B分配律A（BC）(AB)(A A(BC)(AB)(A—徳律ABAB，ABA概率的公理化定義——設(shè)為樣本空間，A為，對每一個A都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：非負(fù)性：對于每一個A有0P(A)規(guī)范性：對于必然有P() ，有P(Ak)P(Ak （n可以取則稱P(A)為A的概率（1）P() ，則有P(Ak)P(Ak)（n可 取設(shè)A，B是兩個,若AB，則P(BA)P(B)P(A)，P(B)對于任意A，0P(A)P(A)1P( （逆的概率對于任意A、B有，P(AB)P(A)P(B)當(dāng)A、B為互斥時，P(AB)0,P(AB)P(A)P(ABC)P(AP(BP(CP(ACP(ABP(BC減法：P(AB)P(AB)P(A)BAPABPAAP(B)1P({e1})P({e2})P({en})若A包含k個基 ，即A{ei}{ei}{ei}這里i1,i2,,ik

P(A) 中基 的總

P(A) （PA3PA 2.nN(Nn個盒子中去，試求每個盒子至多有一個球的NAnN(kab). a

（2）P(B) a例4若在區(qū)間01上隨機地取兩個數(shù)uv，則關(guān)于x的醫(yī)院二次方程x22vxu03 ，且P(A)0，稱P(B|A)P(AB) P(非負(fù)性：對于某一B，有P(B|A)規(guī)范性：對于必然S，P(S|A) P(BiA)P(Bi 3PA0,則PABPA)P(B 2.r只紅球，t只白球。每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放【答案】ta rarrt3art2artart破的概率為9/10，試求透鏡落下三次而未打破的概率.【答案】n如果Ai,AiAj(ij),P(Ai)0，則對任 nBnP(B)P(Ai)P(BAin如果Ai,AiAj(ij),P(Ai)0,則對任 P(A|B)P(Aj)P(B|Aj),(j1,2,, P(Ai)P(B|Ai123設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志廠，需求出此次三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少.試求這些概率..例5.據(jù)的一份資料，在總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群【答案】例6.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷的試驗具有如下的效果：若以A表示“試驗反應(yīng)為陽性”，以C表示“被診斷者患有”，則有PAC)0.95PAC)0.95,現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗的人患有【答案】1.5的獨立兩個的獨立設(shè)A、B滿足P(AB)P(A)P(B),則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立（2）n（n2）個的相互獨設(shè)n個A1,A2,An（n2如果其中任意2個，任意3個，，任意PA0,P(B0,A、BA、B— 之，若A1,A2,An兩兩相互獨立，則A1,A2,An不一定相互獨立。成它們各自對立，所得的n個仍相互獨立。（A）AB相互獨立（B）AB（C）AB互不相容（D）AB（（A）ABC（B）ABAC（C）ABAC獨立（D）ABAC設(shè)隨機試驗的樣本空間為Se}.XX(e是定義在樣本空間S數(shù)，稱XX(e)為隨量設(shè)X是一個隨量，x是任意實數(shù)，函F(x)P{X -x隨量分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)F(x)具有以下性質(zhì)：)0F(x)1，且F()limF(x)0F()limF(x) F(x0)F(x),即F(x)注：對任意的x1x2，有P{x1Xx2F(x2F(x1；對任意的xP{XxF(xF(x0)例1.下列函數(shù)中，可以做隨量的分布函數(shù)的是（ （B）Fx31arctan1 0,x F(x)x,x （D）Fxarctanx【答案】2.F1xF2x分別為隨機變量為X1X2的分布函數(shù).為使 （A）a3,b （C）a1,b

（B）a2,b a1,b 【答案】

（k=1,2，...，即{Xxk}的概率，為P{Xxk}pk,k xk（i）pk0,kpk5例1.已知離散型隨量X的可能取值為2,0, 51,3a

5,4a

,P

2X0為 （A）21（B）22 【答案】X23111424XPX1P3X5P2X 2 0,xF(x41x23,2x 1,xPX11,P3X51,P2X324 24 例3.一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)靶上任一同心圓盤上的點的概率與X表示彈著點與圓心的距離.試求隨量X的分布函數(shù).

,0xP(Xk)k1-p1-k，k0,1（0p1)X01p（1）n重試驗定義這種試驗稱為概型，或稱為n重試驗A發(fā)生的概率P(A)p(0p1)，則在n次獨立重復(fù)試驗中，隨量X有分nP(Xk)Ckpkqn-k，k0,1,nX~B（n,p【答案】P(Xk)qk1p,k其中0p1，q1pXpX.224個球直到現(xiàn)出現(xiàn)2個白球2個黑球為止用X表示抽取次數(shù)則 4k17【答案】 7

7CkCnPXk) CnN 量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為Hn,N,MP(Xk)

ke-,k0,1,2 其中0X服從參數(shù)為的泊松分布，記為注：泊松定理——λ>0是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)npnk，有l(wèi)imCkpk(1p n

ke-k6.假設(shè)一個設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λt的泊（A）0（B）λt（C）et（D）1【答案】xxF(x)-fx則稱x為連續(xù)型隨 （1）f(x)0（2）

f(x)dxXx)

f(x)dx1 1f(xxF(xf P{aXb}P{aXb}P{aXkx,0x 2f(x)2 ,3x2 k（2）F(x)（3）

PX721 21

0,x

12,0x

（3） 32xx2,3x

，ax若連續(xù)性 量X具有概率密度f(x)b- 上服從均勻分布.記為X~U（a，b）。

x

bF(x)xa,ab b及R落在9501050的概率.1,900r

，x若連續(xù)性 量X的概率密度為f(x)X服從參數(shù)的指數(shù)分布。記作X~E（）。設(shè)X~E（），則X的分布函數(shù)為

，x

其中01ex,xF(x)

注：設(shè)X~E（）

xP{Xt}etdtet,t0tP{Xts}e(ts)

P{XtsXs}

P{X

P{Xt},ts0數(shù)分布具有“無性”27，則λ＝82 (f(x) 22-xX~N（，F(xiàn)(x)

(t 2 2特別，當(dāng)0，1時稱 量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其概率密度(x)

1e2-x其分布函數(shù)為(x1

x

2dtX

~N(0,1)

x2 x1 （2）P(x1Xx2) f(x)x對稱，(x是偶函數(shù)；設(shè)X~N（0,1），則有（1）(x)1(x),(0)12（2）P{4.

a}2(a)XN,2,則隨的增大,PX【答案】x，有（ 【答案】例6.一工廠生產(chǎn)的電子管的