波動方程疊前深度偏移原理DOC

3波動方程法疊前深度偏移常用的疊前深度偏移方法包括射線法和波動方程法。射線法主要指基于繞射旅行時計算的Kirchhoff積分法，在繞射旅行時計算方法上可以采用基于函程方程的變速射線追蹤法、基于費馬原理的二維有限差分法和穩(wěn)健高效的三維迎風有限差分法；而波動方程疊前深度偏移是復雜介質成像的有效手段，能夠解決強橫向變速條件下復雜地質體的地震波成像問題。基于共炮集的波動方程疊前深度偏移的基本思路是，首先對每一炮進行單炮偏移成像，然后再把各炮成像結果在對應地下位置上疊加，從而得到整個剖面成像。從計算角度而言，成像過程是很簡單的步驟，波場外推算子決定了偏移方法的效率、成像精度及其適應范圍。一般要求偏移算子能夠適應陡傾角反射的成像及劇烈的橫向速度變化，同時具有較高的計算效率。3.1波動方程疊前深度偏移的基本思路基于共炮集的波動方程疊前深度偏移的基本思路是，首先對每一炮進行單炮偏移成像，然后再把各炮成像結果在對應地下位置上疊加，從而得到整個成像剖面。對于每一炮，標準的波動方程疊前深度偏移可以分為三步：震源波場的正向延拓、炮集記錄波場的反向延拓和應用成像條件求取成像值(Clearbout,1971)。為了方便敘述基于共炮集的波動方程疊前深度偏移的基本過程，我們引入基于單程波方程的波場傳播算子(Berkhout,1987)，并以頻率域二維波場為例加以說明。對震源波場u(尤,z;?)和炮集記錄波場v(x,ze)做如下定義：u(x,0e):它是炮點S處頻譜為f(?)的點源激發(fā)產生的震源波場，有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"u(x,0;s)=8(x-s)f(s) (4-1)七(x,0;s):它是點s處激發(fā)，排列接收到的記錄波場，該波場可以寫成：v(x,0;s)=jv(x,0;s)dr (4-2)其中，vsr(x,0;s)含有一非零道，即在接收點r處的記錄道，它滿足：\o"CurrentDocument"v(x,0;s)=8(x-r)v(x,0;s) (4-3)u(x,z；3):它表示在深度z>0處的正向延拓波場，如果引入表征波場從地面?zhèn)鞑サ缴疃葄的傳播算子w(0-Z)，則有：u(x,z；①)=W(0—z)u(x,0;①) (4-4)七，(x,z；s):它表示記錄波場七,(x,0;①)在深度z的反向延拓波場：v(x,z；s)=W(z—0)Lv(x,0；s) (4-5)其中，W(z-0)L為記錄波場的反向傳播算子。因為波場傳播算子W(zT0)描述上行波從深度z到地面的傳播過程，故W(z-0)L描述了(向上傳播的)記錄波場從地面到深度z的反向延拓過程(Berkhout,1987)。W(0—z)和W(z-0】1分別稱為下行波和上行波的深度外推算子。實際計算過程中，逐層實現(xiàn)上、下行波的波場延拓和求取成像值。層(z,z+Az)內波場延拓如圖4-1所示。us(x,z；s) vsr(x,z;s)us(x,z+Az;s)vsr(x,z+Az;s)圖4-1疊前深度偏移波場延拓示意圖其中，波場深度外推算子W(z-z+Az)和W(z+Az-z)L分別表征下行波從深度z到深度z+Az的正向延拓過程和上行波從深度z到深度z+Az的反向延拓過程。注意到所有波場空間上離散分布在采樣間隔為Ar的地震道上，故空間5函數(shù)可以用長度為Ar、振幅為1/Ar的加窗函數(shù)表示，而且以上公式中的積分可以用離散求和替代。用傳統(tǒng)的偏移公式，我們可以得到對點s處震源在r處的單一記錄道的疊前深度偏移結果具有如下形式:m3,m3,z)=u3,z；o)V3,z；s)]s s,r(4-6)式中*表示復共軛，沉表示取復數(shù)的實部。這種頻率域的成像公式相當于時間域震源波場正向延拓值與記錄波場反向延拓值的互相關。由（4-6）式，可以得到共炮集數(shù)據(jù)的疊前深度偏移成像公式：m3,z）=/ZZu（x,z；o）V（x,z；o）1 （4-7）rO如果采用的是有限差分算法進行波場延拓計算，則上式中關于r的求和并非是顯式的，它一般在對整個單炮記錄波場的反向延拓中自動實現(xiàn)。因而，共炮集記錄疊前深度偏移公式可表述為：（4-8）m（x,z）=/Zu（x,z；o）V（x,z；o）］（4-8）o其中，vs（x,z；o）為炮s整個記錄波場的反向延拓波場值。從計算角度而言，成像過程是很簡單的步驟，波場外推算子的數(shù)學形式和計算實現(xiàn)才是地震波偏移成像的核心。目前常用的地震成像的方法主要有：Kirchhhoff積分法偏移技術、有限差分偏移技術、f-k域偏移技術和t-p域偏移技術等。但各種方法都有其適用范圍和限制條件：對于起伏地表條件下的疊前深度偏移，Kirchhoff積分法可以靈活地處理起伏的地表條件，但它需要利用射線追蹤技術計算偏移成像所需要的旅行時，這樣在處理地下復雜構造時，多路徑問題經(jīng)常使射線追蹤不能獲得準確的旅行時，導致對復雜構造成像的精度較低，效果不理想；有限差分法直接求解函數(shù)方程的Kirchhoff積分偏移方法，一般也僅能計算初至旅行時，無法處理在復雜地質體的成像效果?；诓▌臃匠滩▓鐾馔评碚摰姆椒茌^好的解決多路徑問題，使成像結果更精確。目前所有基于波動方程的波場延拓算子有波動方程有限差分波場延拓算子和Fourier波場延拓算子。前一類算子既可以在時間-空間域又可以在頻率-空間域用有限差分方法實現(xiàn)波場延拓計算，只是波動方程在頻率-空間域的形式更簡單，差分計算和成像更方便。頻率-空間域波場延拓算子屬于這一類。后一類算子有分步Fourier方法、Fourier有限差分方法、廣義屏方法，還有最熟悉也是最簡單的要數(shù)相移算子，它在頻率-波數(shù)域計算實現(xiàn)。然而，當速度橫向變化時，關于空間坐標的Fourier變換不再成立，這迫使我們在處理橫向變速介質中的波的傳播和成像問題時退回到空間域。因此，在解決這些問題時，一般基于速度場分裂，對背景場和擾動場分開處理，在頻率-波數(shù)域和頻率-空間域交替進行波場延拓計算。早在二十世紀90年代初，馬在田院士就指出波動方程的發(fā)展方向之一就是必須使用更精確的或很接近準確的波動方程，能適應速度的復雜變化，而任意差分精細積分逆時偏移就是在此基礎上提出的。由于此方法使用的是全波動方程，沒有對方程進行近似，避免了對方程的近似，同時沒有對速度的限制，因此可以偏移任意傾角的界面，適用于層間參數(shù)強烈間斷的情況，實踐證明該偏移方法可用于二維和三維任意復雜的地質構造。3.2頻率-空間域有限差分（FXFD）法疊前深度偏移疊前深度偏移是一種對復雜地質構造成像的重要的和有效的工具。已有的方法不是在時間域就是在頻率域進行。頻率域算法的波場延拓既可以在波數(shù)域進行，也可以在波數(shù)域和空間域交替及逆行。一種比較典型的在時間域進行的疊前深度偏移偏移算法是波動方程逆時偏移方法（E.GChang&McMechan1990），它一般通過有限差分法實現(xiàn)波場延拓。另一種在時間域進行的算法是基于射線追蹤的Kirchhoff積分方法（E.G.Hu&McMechan,1986）。Gazdag（1978）提出的頻率-波數(shù)域相移法具有方便快捷的優(yōu)點，但它是基于層內常速假設的，不適應介質速度的橫向變化。Stoffa（1990）在速度場分裂思想的基礎上，提出了分步Fourier疊后偏移方法。隨后，該方法又推廣到疊前情況，對較強的速度橫向變化都可適應。Ristow（1994）也是基于速度場分裂，在分步Fourier方法的基礎上，增加了對介質速度的二階以上擾動的校正處理。該算法稱為Fourier有限差分方法，被公認對復雜地質體具有較好的成像效果。Wu.R.S.,Huang.L.J.和JinS.W.（1992,1996,1998）提出的基于散射理論的廣義屏或相屏方法也對強變速介質具有非常好的成像效果，但不管是基于deWolf近似還是Born近似或Rytov近似，要么假設散射場相對于入射場較小，要么假設場的變化較小。顯然，這些假設條件就相當于限定速度場變化不能任意復雜。加之多數(shù)屏方法在復雜介質條件下，并非絕對可靠，并受其穩(wěn)定條件限制。本節(jié)給出的頻率■空間域有限差分（FXFD）算法（程玖兵,2000）首先從計算成本上考慮，以單程波方程作為波場延拓算子，

但同時又對單程波方程進行有理分式逼近(王華忠，1997),使其在垂向附近較大角度范圍內能盡量準確地描述地震波的傳播特征，即盡量提高方程的偏移傾角。由于采用的隱式差分格式是無條件穩(wěn)定的，故該算法對任何頻率成分及延拓步長都不受限制。有限差分波場延拓算法的優(yōu)勢在于對速度的橫向變化有較強的適應能力。另外，我們在頻率域進行波場延拓，可以使差分方程簡單化，方便計算，也便于求取成像值。還可僅對有限頻帶范圍內的地震信號進行波場延拓和成像。下面這個流程圖(圖4-2)直觀地反映了頻率-空間域有限差分法單炮疊前深關于t關于t做FFT變換得到d(x,y,z=0,w)關于t做FFT變換得到u(x,y,z=0,w)層(層(z,z+Az)內層(z,z+Az)內下行波有限差分處理上行波有限差分處理圖3-2下行波有限差分處理上行波有限差分處理圖3-2頻率-空間域有限差分法單炮疊前深度偏移偏移流程3.2.1算法脈沖響應測試首先，對比該偏移算子在常速介質和不同速度擾動程度的介質(p=c/V取不同的值)中的脈沖響應曲線。脈沖放置在x=1000.0m，t=420ms處。以下各圖中虛線表示理想的脈沖響應曲線，為一半圓，實線為實際介質中的脈沖響應曲線。下面所有情況的介質速度都為v=2000.0m/s，參考速度c取不同值，可以反映不同的速度擾動程度。它們的脈沖響應曲線可以反映算子適應橫向速度變化的能力。如圖4-3a所示，當取c=2000.0m/s時，參考速度與實際速度相同，即為均勻常速介質，此時的脈沖響應曲線與理論曲線在大約60。以內的傳播角度范圍重合得較好，然后隨著傳播角度增大，實際響應曲線開始內收，且頻散也隨之增大。當方程系數(shù)為優(yōu)化值時，常速脈沖響應如圖4-3b所示。易于發(fā)現(xiàn)該脈沖曲線與理論曲線的重合程度比優(yōu)化處理前要好，這時最大偏移傾角大約為70。。如果取c=1000.0m/s，即p=0.5時，速度的擾動程度非常強，達到100%，這時方程系數(shù)優(yōu)化前的脈沖響應曲線如圖4-3c所示，它和相應的常速介質中的響應曲線(圖4-3a)基本一樣。而優(yōu)化系數(shù)的方程的變速脈沖響應曲線如圖4-3d所示，它和圖4-3b幾乎不存在差異，但與與圖4-3c相比，其偏移傾角明顯提高了。由此我們可以得出如下兩條結論：一是優(yōu)化旁軸近似方程的系數(shù)，可以提高算子的偏移傾角；二是變速脈沖響應與常速脈沖響應曲線一樣，這表明頻率-空間域的有限差分算子能自動適應速度場任意的橫向變化。我們采用的是隱式差分格式，是無條件穩(wěn)定的。但正如大家所知，該方法與常規(guī)單程波方程有限差分法偏移一樣，存在角度限制和頻散影響。(a)常速(a)常速FXFD法(p=c/V=1.0)(b)優(yōu)化系數(shù)的常速FXFD法(p=c/V=1.0)'■- h"■■■■■'■■-… m W 七卜.!th(c)變速FXFD法(〃=c/v=°?5) (d)優(yōu)化系數(shù)的變速FXFD法(〃=c/v=°?5)圖4-3頻率-空間域有限差分算子在常速和劇烈變速介質中的脈沖響應3.2.2結論與討論從頻率-空間域有限差分偏移方法的基本原理和脈沖響應試驗結果可表明：波動方程有限差分法偏移能自動適應速度場縱橫向的任意變化。這一點是當前所有Fourier偏移方法，如分步Fourier法、Fourier有限差分法和廣義屏方法所不具備的。從各種脈沖響應曲線看出，本節(jié)給出的偏移算子在約70以內的傳播角度上具有較高的成像精度。速度橫向變化劇烈的凹陷模型偏移取得了非常好的成像效果，Marmousi模型偏移結果表明該算法無論在構造成像，還是在振幅保持上都非?？煽?。該方法可進一步在方程形式、差分格式等方面加以改進，以減少頻散和提高成像精度。3.3分步Fourier法波動方程疊前深度偏移在相移偏移方法的基礎上，把速度場分解為常速背景和變速擾動兩部分：對常速背景在頻率-波數(shù)域采用相移處理；對層內的變速擾動，在頻率-空間域采用時移校正(第二次相移)。該偏移方法稱為分步Fourier(SSF)方法。該算法在數(shù)值上通過了脈沖響應測試說明它在較復雜地質條件下是一種穩(wěn)定快速的疊前深度偏移算法，并可用做偏移速度分析。3.3.1概述偏移方法由于波場延拓不同而相互區(qū)別。為了利用Fourier偏移方法的優(yōu)勢，進一步提高偏移方法適應速度橫向變化的能力，Stoffa(1990)在相移偏移的基礎上，提出一種新的深度偏移方法，即分步Fourier法。該方法基于速度場分裂的思想，把整個速度場視為常速背景和變速擾動的疊加。在逐層波場延拓時，針對常速背景采用相移處理，即在頻率-波數(shù)域實現(xiàn)，針對層內的變速擾動，在頻率-空間域采用時移校正。該方法繼承了相移法的優(yōu)點，同時也能適應速度場的

中等程度的橫向變化。且與相移法深度偏移比較，每層在計算上僅多出一次反Fourier變換和一次時移校正，在計算量上比“相移加內插”法要節(jié)省得多?；诠诩寞B前深度偏移是對每一炮分別成像，然后把所有炮的成像值在相應的空間位置疊加，最后得到整個地下的成像剖面。對某一炮，在每一步深度延拓過程中，先分別對震源模擬記錄和當前炮集記錄按各自的延拓公式計算，然后依據(jù)兩種延拓波場按成像公式求取成像值。接著以延拓后的輸出波場作為下一層延拓的輸入初值，進行同樣的延拓和成像計算。單炮記錄的分步Fourier深度偏移過程的流程圖(圖4-15)如下圖所示：3.3.2算子的相對誤差分析頻率-空間域下行波正向傳播方程可以表示為：a — 、(4-84)一u3,y,z;①)=iQu(x,y,z;①)az(4-84)其中，平方根算子Q定義為：(4-85), a2 ar(4-85)Q= 2s2(x,y,z)+ )ax2ay2這里?為圓頻率，s(x,y,z)為介質慢度。由(4-84)式可得到如下波場延拓式子：(4-86)u(x,y,z+Az；①)=ei&Qu(x,y,z；(4-86)在分步Fourier傳播算子中，平方根算子Q由下式近似表示：,七，、，a2 a2、(4-87)Q-Q=,kj(z)+(—+—)+?Is(x,y,z)—s0(4-87)式中，s(z)為參考慢度，k(z)三①/v(z)=3s(z)是背景介質的波數(shù)。為了評0 0 0 0價上面平方根算子近似處理的誤差，特假設介質為均勻常速介質。若將(4-87)式轉入波數(shù)域，并令(4-88)p(x,y,z)三v/v=s/s(4-88)則有:

FFT變換到頻率域

d(x,y,z=0,w)4FFT變換到頻率-波數(shù)域d(k,k,z,w)FFT變換到頻率-波數(shù)域u(k,k,z,w)層(z,z+Az)內下行波相移處理d0(k,k,z+Az,w)上行波相移處理u(k,層(z,z+Az)內下行波相移處理d0(k,k,z+Az,w)上行波相移處理u(k,k,z+Az,w)0xyIFFT變換到頻率-空間域

d(x,y,z+Az,w)

0IFFT變換到頻率-空間域u0(x,y,z+Az),w)層(z,z+Az)內層(z,z+Az)內下行波時移處理上行波時移處理d(x,y,z+Az,w)u(x,y,z+Az,w)按疊前成像條件，由延拓后的頻率域上下波場相關求和，得到深度域的成像值圖4-15分步Fourier法單炮疊前深度偏移流程圖?.Q'=k?.Q'=k:―-(與)2+1(P-1)\P2kp(4-89)式中，波數(shù)k=①/v=仙，且kT= +ky為其橫向分量（水平分量）。（4-85）式同樣可表示為：~,I/k、Q=k.1—（寸）2 （4-90）Vk對以Z軸呈0角的平面波，有:（4-91）（4-92）（4-91）（4-92）k則（4-90）式成為:~Q=kcoso且（4-89）式成為:Q=Q=k|J二-眼。+P(P-1)（4-93）對于單程波的傳播和偏移問題，角度0滿足:0<0<90因此若①。0，總有Q‘>0。則相對誤差可定義為:(4-94)(4-95)Q'-Q(4-94)(4-95)~Q則有:n:r1 八 I -sin20+一(p-1)-cos0cos0yp2 p（4-95）式表明，當0=0或p=1時，E/O。這意味著傳播角度較小或橫向速度變化非常小時，所導出的分步Fourier算子是較精確的。該算子關于傳播角度0及其相對誤差的曲線如圖4-14所示。從圖中我們可以看出，隨著傳播角度的增大，相對誤差也隨之增大。p值越接近于1，即橫向速度變化越小，算子的相對誤差也就越小。若以10%為允許的相對誤差限，分步Fourier算子的最大偏移傾角平均約為30。-40。。另外，高波數(shù)成分（對應陡傾地層）除相位上誤差較大外，振幅也會存在嚴重的失真。綜上可見，分步Fourier偏移方法雖然具備一定的處理速度橫向變化的能力，但在復雜地質體成像問題上仍然有局限。圖4-14分步Fourier算子傳播角度與相對誤差關系曲線圖3.3.3脈沖響應測試首先，對比分步Fourier深度偏移算子在常速介質和不同速度擾動程度的介質（P=c/v）中的脈沖響應曲線。脈沖放置在X=l000.Om，t=420ms處，所有情況的介質速度都為v=2000.0m/s。如圖4-16a所示，當c=v=2000.0m/s時，參考速度與實際速度相同，即為均勻常速介質，此時的脈沖響應曲線與理論曲線完全重合。這正如我們所料，當速度不存在擾動時，分步Fourier深度偏移算子的最大偏移傾角可達90。。然而，當速度存在微小擾動，如我們取c=0.9v=1800.0m/s時，其脈沖響應曲線如圖4-16b所示?？梢娫趥鞑ソ嵌容^?。s40。）時，實際脈沖響應曲線與理論曲線吻合得較好，隨著傳播角度的增大，二者開始偏離。如速度擾動進一步增強，當c=0.75v=150O.Om/s時，算子的脈沖響應曲線如圖4-16c所示，可見最大偏移傾角進一步減小。當c=0.5v=1000.Om/s時，速度的擾動程度非常強，這時的脈沖響應曲線（如圖4-16d所示）的兩翼與理想的半圓就存在較大的偏差了。從以上各種速度擾動情況下的脈沖響應曲線可以看出：分步Fourier深度偏移算子在速度場的橫向變化不是非常劇烈時是較精確的，而且脈沖波形圓滑，不存在頻散。HeirImiM]口I HcriiqiMlDliiaiKe*]iVi1r=vLwRwprfl55(D=vi+4* +*=5F[^iilsn阮：咿氾徐涌(a)常速SSF法(p=clv=1.0) (b)變速SSF法(p=clv=0.9)Hoflzatj]DL±Ltf>：fk]iki Rcf-LzarA-3JDL^tance*li>i…r ，.--… …..?-?，心一心：?：：(c)變速SSF法(p=clv=0.75) (d)變速SSF法(p=clv=0.5)圖4-16分步Fourier算子的脈沖響應3.3.4結論與討論分步Fourier偏移算法基于速度場分裂思想，在常速背景下做相移處理，針對變速擾動做時移校正（相當于第二次相移）。這樣它既可對付適度的速度橫向變化，又保證了非常高的計算效率，是目前最快的波動方程疊前深度偏移算法。該方法除了具有計算效率高的特點，而且還是絕對穩(wěn)定的。由于它忽略了高階的速度擾動，在高波數(shù)成分（陡傾角）成像時相位誤差大，振幅也存在問題，所以，對復雜地質體很難精確成像，但它可以用作前期的疊前深度偏移處理或速度分析。3.4Fourier有限差分法波動方程疊前深度偏移從速度場分解的思想出發(fā)，由單程波方程頻散關系與相移偏移頻散關系的差異研究，得到對相移偏移算法加以校正和補償?shù)腇ourier有限差分（FFD）偏移算法。該算法兼具有限差分算法和相移算法的優(yōu)點。

3.4.1概述相移法偏移（Gazdag,1978）在對速度僅隨深度變化的地層成像時，既高效又精確，計算效率非常高；加之波動方程中的整個算子推導過程中不存在近似處理，因此該算子具有較高的精度，原則上可處理傾角高達90的陡傾地層。但是，頻率-波數(shù)域偏移方法在處理速度場的橫向變化時存在明顯的不足。為了克服這一困難，Gazdag&Sguazzero（1984）提出了"相移加插值”偏移方法。他們首先在每層內用多個不同的常速度作為參考速度，而每個參考速度按相移法延拓，得到各自的延拓結果；然后依據(jù)實際速度與這些參考速度的關系函數(shù)，進行插值計算，得到實際的延拓波場。實踐證明該方法能處理一些橫向變速不太劇烈的地層成像問題。但對復雜地質體（如超覆、逆掩斷層、鹽丘和巖脈等），其內部速度場橫向變化非常劇烈，由于分步Fourier方法沒有考慮速度場二階以上的擾動，因此，它很難使復雜地質體正確成像。基于對相移處理和差分處理方法的優(yōu)缺點的認識和理解，Ristow&Ruhi（1994）提出的Fourier有限差分法偏移融合了上述兩種方法的優(yōu)點。該方法是在分步Fourier偏移方法的基礎上發(fā)展起來的。在分步Fourier法偏移中，為了便于處理，在波場延拓算子的推導過程中丟棄了二階以上的速度擾動項。Fourier有限差分法偏移考慮了速度場的二階擾動項，它在分步Fourier算子的基礎上，增加了關于二階擾動處理的補償項，這一項是通過頻率-空間域的有限差分計算得到的。各種數(shù)值試算表明：該方法對復雜地質體具有相當好的成像效果。其單炮成像流程如圖3-4所示。3.4.2算子的相對誤差分析公式如下:du ?du ?dzi竺+±_u+濯M)u+售(1-c)

\c2dx2 vcvv蘭竺①2dx2 v2d2a+b一k①2dx2J(4-130)這里，若設。為傳播角度，則有:圖4-25Fourier有限差分法疊前深度偏移單炮成像流程示意圖(4-131)假定介質為常速，在頻率-波數(shù)域中，容易得到我們推導的算子滿足:(4-132)P\：1-r2總1-p2r2+(p-1)-p(1-p)(4-132)v a-br2且a=2.0，b=0.5(p2+p+1)我們首先計算(4-132)式這種近似引起的誤差:￡=pt'1—sin20-\：1一p2sin20一(p—1)+p(1—p)sin20

a—bsin20(4-133)然后定義算子的相對誤差為:(4-134)￡

pv1—sin20(4-134)由(4-133)式和(4-134)式即可評價Fourier有限差分偏移算子的精度。Ofwe(a)分步Fourier算子(b)Fourier有限差分算子圖Ofwe(a)分步Fourier算子(b)Fourier有限差分算子圖4-23偏移算子最大偏移傾角與相對誤差關系曲線圖401M*為了直觀地了解Fourier有限差分偏移算子的相對誤差情況，特取不同的p值，按b=0.5(p2+p+1)求得該算子的傳播角度與相對誤差的關系曲線。如圖4-23所示，圖4-23a為分步Fourier算子的傳播角度與相對誤差關系曲線；圖4-23b為Fourier有限差分算子的傳播角度與相對誤差的關系曲線。從圖中可以得出如下結論：分步Fourier算子與Fourier有限差分算子的相對誤差均隨著傳播傾角的增大而增大；若以10%為相對誤差限，前者的最大偏移傾角平均為30。到40。而后者的最大偏移傾角可達到50。左右；在同等誤差限制下，F(xiàn)ourier有限差分偏移算子在對速度橫向變化的適應性上要好于分步Fourier算子。3.4.3有限差分補償項系數(shù)的優(yōu)化處理我們注意到在求解(4-105)式和(4-110)式中的系數(shù)時，采用的是泰勒展開逼近。事實上，這并非最好的逼近方式，我們可以用優(yōu)化手段求得方程的系數(shù)。本文注意到算子的相對誤差與b(p)存在聯(lián)系，故采用對不同的p進行掃描，以同等偏移傾角能力，相對誤差最小為原則，得到最優(yōu)系數(shù)b。偏移過程中針對不同的介質條件對差分補償項采用最優(yōu)系數(shù)，這樣可以進一步提高Fourier有限差分算子的偏移精度。如圖4-24所示，其中圖4-24a為常規(guī)處理方法得到的傳播角度與相對誤差的關系曲線；圖4-24b為優(yōu)化系數(shù)曲線b=b(p)；圖4-24c為優(yōu)化系數(shù)后的傳播角度與相對誤差的關系曲線。可見在相對誤差限為10%時，最大偏移傾角由原來的50。提高到60。左右。圖4-24d為不同系數(shù)b對應的有限差分算子的速度擾動程度與最大偏移傾角的關系曲線。b=0.0時，微分項為標準的15。方程；b=0.5時為標準的45。方程；b=0.5(p**2+p+1)時對應常規(guī)Fourier有限差分算子；最上面的曲線對應優(yōu)化系數(shù)的Fourier有限差分算子?？梢娝鼈兊钠菩阅苁沁f增的。MDlpmsie圖4-24Fourier有限差分算子的微分項系數(shù)與相對誤差和最大偏移傾角的關系曲線(a)常規(guī)處理方法得到的傳播角度與相對誤差的關系曲線；(b)優(yōu)化系數(shù)曲線bMDlpmsie圖4-24Fourier有限差分算子的微分項系數(shù)與相對誤差和最大偏移傾角的關系曲線(a)常規(guī)處理方法得到的傳播角度與相對誤差的關系曲線；(b)優(yōu)化系數(shù)曲線b=b(p)；(c)優(yōu)化系數(shù)后的傳播角度與相對誤差的關系曲線；(d)不同系數(shù)b對應的有限差分算子的速度擾動程度與最大偏移傾角的關系曲線wuo3.4.4脈沖響應測試首先，對比Fourier有限差分深度偏移算子在常速介質和不同速度擾動程度的介質(p=c/v)中的脈沖響應曲線。如圖4-26a所示，當c=v=2000.0m/s時，參考速度與實際速度相同，即為均勻常速介質，此時的脈沖響應曲線與理論曲線完全重合。這正如我們所料，當速度不存在擾動時，F(xiàn)ourier有限差分深度偏移算子的最大偏移傾角可達到90。。當速度存在微小擾動，如我們取c=0.9v=1800.0m/s時，其脈沖響應曲線如圖4-26b所示。可見實際的脈沖響應曲線幾乎仍然和理論曲線重合，只是在傳播角度約大于80。時才存在偏差。如速度擾動進一步增強，當c=0.75v=1500.0m/s時，算子的脈沖響應曲線如圖4-26c

所示，可見傳播角度在70。以下時，該算子還是相當精確的。當速度的擾動程度非常劇烈，如c=0.5v=1000.0m/s時，擾動程度達到100%，這時的脈沖響應曲線（見圖4-26d）仍然在較大的傳播角度范圍內（約60。）與理論曲線重合。從以上各種速度擾動情況下的脈沖響應曲線可以看出：Fourier有限差分深度偏移算子由于引入了對高階速度擾動的差分項處理，它在速度橫向變化非常劇烈的情況下，最大偏移傾角還很大，即對陡傾地層的偏移歸位處理比較準確。當然，由于引入差分計算，脈沖響應曲線存在頻散，介質條件越復雜，頻散越嚴重。(b)變速FFD法((b)變速FFD法(p=c/v=0.9)(a)常速FFD法(p=c/v=L°)(c)變速(c)變速FFD法(P=c/v=°.75)(d)變速FFD法(p=c/v=0.5)圖4-26Fourier有限差分算子的脈沖響應3.4.5結論與討論Fourier有限差分偏移方法是一種非常典型的雙域偏移算法。在分步Fourier偏移的基礎上，增加了對速度場橫向變化的有限差分補償校正。由于它兼具有限差分偏移方法和Fourier偏移方法的優(yōu)點，因此，既可適應速度場的劇烈變化，又可保證對陡傾地層的成像效果，而且這種偏移方法的振幅保真度也很高，這為后續(xù)的巖性研究打下了基礎。如果速度場非常復雜，還可增加用于補償?shù)挠邢薏罘址匠痰捻棓?shù)。理論上和實際數(shù)值試算都表明該偏移算法是目前成像精度最高的疊前深度偏移方法。3.5幾種波動方程疊前深度偏移算子的比較盡管本章中的幾種波動方程疊前深度偏移方法在Kirchhoff-Helmholtz積分意義下是可以聯(lián)系起來的，但它們還是存在許多差異，這些差異決定這些方法各有特點。波動方程有限差分偏移中波場正向傳播和反向傳播的矩陣隨層內橫向速度的變化而調整，因此該類算法能自動適應速度場的任意變化。但通常用做波場延拓算子的單程波方程總是存在偏移傾角限制。為了改善這類算子的精度，即使所用的單程波方程在垂向附近較大角度內能夠較準確地描述地震波的傳播特征，通常采用的辦法是采用優(yōu)化系數(shù)的單程波方程，使其階數(shù)盡量低，偏移傾角又盡量高。Fourier類偏移方法的優(yōu)勢在于無偏移傾角限制，計算效率高。但為了提高其適應速度場橫向變化的能力，通常是把速度場分解為常速背景和橫向變速擾動，在頻率-波數(shù)域相移處理（針對常速背景）的基礎上增加對速度擾動的校正處理。由于速度橫向變化在空間坐標中才能直觀地反映出來，因此對擾動的補償處理一般在空間域實現(xiàn)。由此發(fā)展出來了一系列雙域偏移算法，如分步Fourier偏移、Fourier有限差分偏移和廣義屏偏移等。分步Fourier算法（或相屏算法）作為廣義屏算法的一種小角度近似，從理論上講，在較小的傳播角度范圍內才是準確的，但這種方法比較穩(wěn)健，計算方便，而且可以解決大多數(shù)地質體的成像問題。Fourier有限差分偏移算法結合了相移偏移和有限差分偏移方法的優(yōu)點，對復雜地質體成像具有非常好的效果。幾種波動方程疊前深度偏移算子的脈沖響應比較為了直觀地比較以上幾種偏移算法，我們把這些算法各自的脈沖響應（常速和變速）放在一起。圖4-47為背景速度和介質速度相等的常速情況，圖（a）、（b）、（c）和（d）分別對應常規(guī)45。方程有限差分偏移算子、優(yōu)化系數(shù)的45。方程有限差分偏移算子、Fourier有限差分偏移算子和分步Fourier偏移算子的常速脈沖響應。從圖中（a）、（b）對比可以發(fā)現(xiàn)：優(yōu)化系數(shù)處理可以提高有限差分偏移算子的偏移傾角；圖3）和（d）形狀特征幾乎完全一樣，說明Fourier有限差分偏移算子和分步Fourier偏移算子在常速介質條件下是等價的。有限差分偏移算

子的脈沖響應與另外幾種算子的脈沖響應相比較，明顯存在頻散問題和偏移傾角限制。W jW L邪??JFDI中l(wèi)ist 仲W jW L邪??JFDI中l(wèi)ist 仲r*：c：=ygB(a)常規(guī)45。方程FXFD法（b）優(yōu)化45。方程FXFD法HCi'lUVAl& SQ m 質3FFDrnfulin .況THCi'lUVAl& SQ m 質3FFDrnfulin .況T?g(c)FFD法(d)SSF法印網(wǎng)lapUaS圖4-47幾種波動方程疊前深度偏移算子的常速脈沖響應變速的脈沖響應如圖4-48所示，此時c0.75v，擾動程度為5。％，圖（a）、（b）、（c）和（d）分別對應常規(guī)45。方程有限差分偏移算子、優(yōu)化系數(shù)的45。方程有限差分偏移算子、Fourier有限差分偏移算子和分步Fourier偏移算子的變速脈沖響應。與圖4-47相比較，除了圖4-47a、圖4-47b分別與圖4-48a、圖4-48b基本相同外，圖4-48的其它脈沖響應與圖4-47的對應脈沖響應存在明顯差異。這說明有限差分偏移算子能夠自動適應速度的橫向變化。從這一點上講，有限差分方法具有其它方法所不具備的優(yōu)勢。而從圖4-48c和4-48d可以發(fā)現(xiàn)：在變速條件下，分步Fourier偏移算子（相屏偏移算子）的精度不及Fourier有限差分偏移算子。Fourier有限差分算子是相移算子加上有限差分補償項，其脈沖響應的特性比圖4-48b還好。

**<rtFUKpMx ■ ■ Ejpt.iy］M［I［年vise網(wǎng)叩(H閥gc/VF.S：?(a)常規(guī)45。方程FXFD法 (b)優(yōu)化45。方程FXFD法HarLic<it占］DHMnc±*lr? 七菱］Iw+h^Lth ?,_<+fFD］呻1電亭R^p^TTHNgOLTS：'**- 塵牙Inpjl3BK^ap0niB<E/M-Q^7h?（c）FFD法 （d）SSF法圖4-48幾種波動方程疊前深度偏移算子的常速脈沖響應（c/V °.75）從計算效率的角度來看，分步Fourier偏移算子（相屏偏移算子）、有限差分偏移算子、擴展的局部Born近似的廣義屏偏移算子和Fourier有限差分偏移算子的運行速度是遞減的。本節(jié)統(tǒng)計了幾種偏移方法在計算同等條件下的變速脈沖響應的CPU時間，如表4-1所示。表4-1幾種偏移算法變速脈沖響應測試所耗CPU時間偏移方法FXFDSSF(PS)FFDGS(ELBF)脈沖響應的CPU時間（秒）312860482.幾種波動方程疊前深度偏移算法的Marmousi模型偏移試驗下面是各種波動方程疊前深度偏移算法的Marmousi模型偏移結果，這里把它們放在一起，以方便對比。圖4-52（a）、（b）和3）依次為頻率-空間域優(yōu)化系數(shù)的單程波方程有限差分偏移、Fourier有限差分偏移和分步Fourier（相屏）偏移的結果。總體看來，幾種偏移方法在構造成像方面都基本達到了預期的效果。頻率-空間域有限差分法與Fourier有限差分法偏移對振幅的保持做得較好。但有限差分偏移剖面的信噪比較其它剖面要低，這主要受制于旁軸近似方程的精度和

差分頻散等因素的影響。在數(shù)值試算中Fourier有限差分偏移對復雜地質體的成像效果最好。(a)頻率-空間域有限差分法疊前深度偏移結果(b)Fourier有限差分法疊前深度偏移結果(a)頻率-空間域有限差分法疊前深度偏移結果(b)Fourier有限差分法疊前深度偏移結果□0 ICO 150 200(c)分步Fourier法疊前深度偏移結果圖4-52幾種偏移方法Marmousi模型的疊前深度偏移剖面3.6任意差分精細積分逆時深度偏移此方法解偏微分方程具有很高的精度，同時穩(wěn)定性域較傳統(tǒng)有限差分相比也更高，同時逆時偏移的過程正是正演的逆過程，因此想到可以把任意差分精細積分方法引入雙程波動方程逆時偏移的求解過程中。以二維聲波模擬疊后資料為例，有d2ud2u 192u(3-4) + = (3-4)9x29z2 V2912其給出的T時刻的初始條件為：u(x,z,T)=中1(x,z)其中除了在(x,z=0)的點上有波場值u(x,z=0,T)=91(x)外，認為其他(x,z)點上的波場值為零，即u(x,z衛(wèi)0,T)=0。邊界條件為：u(x,z=0,t)=92(x,t)92(x,t)就是地面數(shù)據(jù)得到的疊加剖面或零炮檢距剖面。對于單炮地震記錄道集而言就是地面接收的炮記錄。將(2-4)式對空間得導數(shù)離散化，有192u 92u 92u|V2912 9x2 9z2(x,z)=(xj,zj)式中，(0<=j<=J),J是總離散點數(shù) 9 2u 上式的右端項——j可用任意差分的方法求得，即將u在j點的x鄰域作Taylor9x2展開:TOC\o"1-5"\h\z對1 9、u=u+￡ (Ax一)kuI +O[(Ax)m+1]\o"CurrentDocument"k=1 ? j上式中，Axi=x,-xj，i是j的x鄰域內的任意點，對上式移項并加權得:&.(u.—u)=&.(工1(Ax—)kuI +O[(Ax)m+1])iiji k! i9x x=xj ii=1 i=1 k=1其中a是加權系數(shù)，m原則上可任意選取，但m>n使下式的方程組成為矛盾方程i組，m<n使下式的方程組為欠定的，在此一般取m=n，從而得到一個關于a,的m維線性方程組

無aAx=0 ,無a(Ax)2=2TOC\o"1-5"\h\zii iii=1 i=1￡a(Ax)3=0,￡a(Ax)4=0

ii iii=1 i=1無a(Ax)m=0iii=無a(Ax)m=0iii=1i、 *1i=i解之可求出加權系數(shù)a。則iUa(Ua(u—u)=i=1d2u jdx2將u在j點的z鄰域作Taylor展開:a將u在j點的z鄰域作Taylor展開:同理，―卜也可以這樣處理dz2m1a _=u+*—(Az—)kuI +O[(Az)m+1]J k=1k!paz 『 p上式中，AZp=z「z,，p是j的z鄰域內的任意點，對上式移項并加權:￡a￡a(ui=1P—u)=￡a(￡—(Ax—)kuI +O[(Ax)m+1])p=1 k=1? '其中a是加權系數(shù)其中a是加權系數(shù)ap的求取與a‘步驟相同。于是可得寸/、a2u

￡a(u—u)= 對