高三數(shù)學(xué)黃金考點(diǎn)匯編函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性奇偶性周期性)理(含解析)

考點(diǎn)05函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)

【考點(diǎn)分類】

熱點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性

1.12014高考北京版理第2題】下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)為增函數(shù)的是()

2x

A.y=Jx+1B.y-(x-1)C.y-2~D.y=log05(x+l)

【答案】A

【解析】

試題分析：對(duì)A,函數(shù)1=歷1在［-［十工)上為噌函數(shù)，符令要求；對(duì)B,1=0-1)：在(01)上為被函

數(shù)，不符合題意；對(duì)C,j=L為(TCTX)上的活丁二不符合題意；對(duì)D,j=log”(x+l)在(T+x)

上為減函數(shù)，不符合題意.故選A.

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性，容易題.

2.【2014高考福建卷第4題】若函數(shù)y=log“x(a〉0,且aH1)的圖像如右圖所示，則下列

函數(shù)圖像正確的是()

BCD

【答案】B

【解析】

試題分析：由題意學(xué)科可得log)3=L；.a=3.所以函數(shù)j=3-x是遞減的即A選項(xiàng)不正確.B正

確.j=(-1)'是遞城，所以C不正確.，:一關(guān)(-工)圖象與j=logmX關(guān)于y軸對(duì)稱，所以D不正

確.故選B.

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象及其單調(diào)性.

3.12014浙江高考理第7題】在同意直角坐標(biāo)系中，函數(shù)/(x)=x〃(xNO),g(x)=log“x的

圖像可能是()

答案：D

s

解析：函數(shù)y=d（X20］，與y=logax|-x01,答案A沒kX函數(shù)圖像，答案Bj=x（X20i中a>1,

j=log"Xl：x>01中0<a<1,不符合，答案C=/（X20］中0<a<1,j=log^x（*〉0）中

a>1?不符合，答案Dj=x，（x201中0<-1,j=log，x{x>01中0<av1,符合，故選D

考點(diǎn)t函數(shù)圖像及其單調(diào)性.

-111

4.12014遼寧高考理第3題】已知a=23,Z?=log-,c=log,-,則（）

23a3

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD,c>b>a

【答案】C

【解析】

1

~TA11

試題分析，0<^=2"<2=l.b-10j2;、一r<c二Joqs工—r=loqg一、3>1?.所以c>々>6,故選C.

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、時(shí)數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)匕R調(diào)性的同用.

5.12014陜西高考理第7題】下列函數(shù)中，滿足“/(x+y)=/(x)/(y)”的單調(diào)遞增函

數(shù)是()

(力)(6)/(x)=x39(〃)/(%)=3、

【答案】D

【解析】

-:11

試題分析：a選項(xiàng)：由/'(x+J)=(X+FJ?,f|xIf('!■I=x-y:=(.n.):/(x+y)*/(x)/(yI.

所以H錯(cuò)誤；3選項(xiàng)：由〃x+j)=[x：,f,x}f(y'j=x''y:=(AJ)'?得〃x+J[H，

所以5錯(cuò)誤；。選項(xiàng)：函數(shù)〃xi=L；是定義在：…施函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由“x+ji=31,

、7[2J

/(x)/(y)=33：-3-1=3^,得〃”又函數(shù)〃xj=3"是定義在R上噌函數(shù)，

所以。正確.故選。

考點(diǎn)：函數(shù)求值；函數(shù)的單調(diào)性.

6.【2014天津高考理第4題】函數(shù)/(x)=log,(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間是

2

()

(A)(0,+￥)(B)(-￥,0)(C)(2,+￥)(D)(-?,2)

1答案】D.

【解析】函數(shù)〃刃=1%1(/-4|的定義域?yàn)?—工廠口52'I.由于外層函數(shù)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性可知，只要求“田=/-4的單調(diào)哇瀛區(qū)間，結(jié)合函數(shù)八xl=logj/-4|的定義域，

得-印二儂日/一川單調(diào)遞增區(qū)間為Jr故選D.

【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間'

7.12014高考湖南卷第10題】已知函數(shù)/(x)=爐+"一；(尤＜0)與g(x)=Y+m(x+。)圖

象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A?(-°o,-y=)B.(—oo,y[e)C.(—)D.(—y/~ey—=)

\eyleyje

【答案】B

【解析】由題可得存在三e(-x,Oi滿足f("|=3(一七|n石，/一：=(一七『+1口(一.+々)

=>e~--In(-xc,+aI=0.令72(x)=e"—Inl'-x+al-g,因?yàn)楹瘮?shù)j=/和j=-ln[-x+al在定義

域內(nèi)都是單調(diào)遞噌的，所以函數(shù)必藉=/-111(-\+疳-1在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，又因?yàn)閤趨

近于-工時(shí)，函數(shù)〃(x)<0且，“x|=0在i-x1?:/；解:即函數(shù)”x：l有零點(diǎn)),

所以〃(0i=e--In(0+#-3>0=111a.m正=。v“，的電3.

【考點(diǎn)定位】指對(duì)數(shù)函數(shù)、方程、單調(diào)性.

(x-a),x<0,

8.【2014高考上海理科第18題】/(x)=(1若/(0)是/(x)的最小值，則。的

xH---Fa,x>0,

.X

取值范圍為()

(A)[-l,2](B)[-l,0](C)[l,2](D)[0,2]

【答案】D

【解析】由于當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=x+—+aSX=1時(shí)取得最，卜宜2+a,由題意當(dāng)x<0W,f(.x)=(x-a):

x

應(yīng)該是遞減的，則a20,此時(shí)最小值為/(0)=i因此M^a+3解得0WaW2,選D.

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的單調(diào)性與最值問題.

【方法規(guī)律】

1.對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：

(1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解.

(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之.但是，對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進(jìn)行.

2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致.

(1)利用己知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.

(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義確定單調(diào)區(qū)間.

(3)圖象法：如果/Xx)是以圖象形式給出的，或者/Xx)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫

出它的單調(diào)區(qū)間.

(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：F(x)在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性，則『(幻<『(七)=

A^)-AX2)<0,若函數(shù)是增函數(shù)，則水如函數(shù)不等式(或方程)的求解，總

是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式（或方程）求解，但無論如何都必須在定義

域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】

誤區(qū)1.用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，錯(cuò)用“自己證明自己”而致錯(cuò)（循環(huán)論證）.

［例1］（2014廣州琮合測試）證明：函土r（x）=$工［0,+.：/上是增函數(shù).

【錯(cuò)證】設(shè)0為<x：,則f（xi）-依）=正反，%以血<東,所以f（Xi）-恥）v0,即煙）v&X：）.故

函數(shù)f（x）在［Q,+幻上是增函數(shù).

【剖析】該證法犯了邏輯上的循環(huán)論證的錯(cuò)堤三三要證明f（x、在W,+句上是增函數(shù),可在曰xi〈x:得到

血時(shí),就用到了f（x）在［0,+工）上函數(shù)的結(jié)論,犯下了冶己證明自己”的錯(cuò)謖.

誤區(qū)2.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，忽視函數(shù)的定義域而致錯(cuò)

【例2】（2014浙江寧波十校聯(lián)考）求丫=4六一4x—12的單調(diào)區(qū)間.

【錯(cuò)解】令t=x2—4x—12,則t=d-4x-12在（-8,2］上遞減，在［2,+8）上遞增，又

y=/是增函數(shù)，所以y="x2—4x—12的單調(diào)區(qū)間是（-8,2］與［2,+8）,其中在（一8,

2］上遞減，在［2,+8）上遞增.

【剖析】上述解答錯(cuò)誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域{x|x〈一2或x26}.

【正解】由x'一4x—1220,得xW—2或x26,令t=x’一4x—42,則t=（x—2）'—16在（一

8,2］上是減函數(shù)，在［2,+8）上是增函數(shù).又y=#是增函數(shù)，所以匚后二正的單

調(diào)區(qū)間是（一8,—2］與［6,+8）,其中在（-8,—2］上遞減，在［6,+8）上遞增.

【點(diǎn)撥】求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題，必須考慮函數(shù)的定義域，建立“定義域優(yōu)先”意識(shí).

誤區(qū)3.忽視隱含條件致誤

［—+4a,x<1,

【例3】已知f（x）=,、是（一8,十8）上的減函數(shù)，那么a的取值

［10g?X,X^l

范圍是（）

A.（0,1）B.（0,；）C.1）I）.［1,1）

【錯(cuò)解】誤選B項(xiàng)的原因只是考慮到了使得各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為減函數(shù)的條件，要知

道函數(shù)在R上為減函數(shù)，還需使得f（x）=（3a—l）x+4a在xVl上的最小值不小于f（x）=log.x

在x2l上的最大值，多數(shù)考生易漏掉這一限制條件而造成失誤.

3a—1<0,

【正解】據(jù)題意使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，只需滿足：

+4a》logJ

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】一般地，若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b)上為增函數(shù)，在區(qū)間［b,c］上為增函數(shù)，則不一

定說明函數(shù)f(x)在［a,c］為增函數(shù)，如圖(1),由圖像可知函數(shù)f(x)在［a,c］上整體不呈上

升趨勢，故此時(shí)不能說f(x)在［a,c］上為增函數(shù)，若圖象滿足如圖(2),即可說明函數(shù)在［a,

c］上為增函數(shù)，即只需f(x)在［a,b)上的最大值不大于f(x)在［b,c］上的最小值即可，同理

減函數(shù)的情況依據(jù)上述思路也可推得相應(yīng)結(jié)論.

需注意以下兩點(diǎn)：

(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，如果一個(gè)函數(shù)在其定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)

(或減函數(shù))，不能認(rèn)為這個(gè)函數(shù)在其定義域上就是增函數(shù)(或減函數(shù))，例如函數(shù)f(x)=,在(一

X

°°10)上是減函數(shù)，在(0,+8)上也是減函數(shù)，但不能說f(X)=,在(-8,0)U(0,+°°)

x

上是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)xi=—l,Xz=l時(shí)，有f(xi)=—IVf(X2)=1不滿足減函數(shù)的定義.

(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個(gè)時(shí)，一般不能直接用“U”將它們連接起來，例如:

函數(shù)

y=x，-3x的單調(diào)增區(qū)間有兩個(gè)：(一8,—1)和(1,+8)不能寫成(一8,-1)u(1,+8).

熱點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性

1.【2014高考湖北卷理第10題】已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)X2O時(shí)，

f(x)=^\x-a2\+\x-2a2\-3a2),若VxeR,/(x-l)</(x),則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為()

r游V6,

B.

【答案】B

【解析】

-xE0<x<a"

試題分析:當(dāng)X20時(shí)，/(X)='.<2J，吃f(x)是三曲數(shù),可作出/&)的圖像,如下圖所示.又

x-3a\x>3a:

因?yàn)門xwK,/(.v-1)</(x),所以f(x-l)的圖像恒在/'(x)照像的下方，即將f(x)的圖像往右平移一

個(gè)單位后恒在f(x)圖像的下方，所以-3萬.l>3a:,輝得aE.故選B.

考點(diǎn)：函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)、最值及恒成立，難度中等.

2.【2014高考湖南卷第3題】已知/(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

/U)-g(x)=?+x2+l,貝丫⑴+g⑴=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】分別令x=1和x=-1可得/⑴-g⑴=3和/(-I)-(-11=1>因?yàn)楹瘮?shù)f(x\g(x)分別是定

義在五上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(一1)=-11---?(1),即=l

==貝/""一0"=3=11n.，l+gUl=l,故選c.

|/(1)+^(1)=1⑼1)=T

【考點(diǎn)定位】奇偶性.

3.【2014全國1高考理第3題】設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且/(x)是奇函數(shù)，g(無)

是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()

A./(x)g(x)是偶函數(shù)B."(x)|g(x)是奇函數(shù)

C./O)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

【答案】C

【解析】

試題分析：設(shè)H(x)=F(x)|g(x)|,則目(--1=八-切「-。|，因?yàn)?(X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，故

H(-x)=-/(x)|g(x)|=-H(x),即/(x)|?是航照G選C.

【考點(diǎn)定位】函數(shù)的奇偶性.

4.12014四川高考理第9題】己知/(x)=ln(l+x)—ln(l—x),xe(-l,l).現(xiàn)有下列命題：

2九

①/(_》)=一/5)；②/(——)=2/(x)；③|/(x)|N2|x|.其中的所有正確命題的序號(hào)

+1

是()

A.①②③B.②③C.①③D.①②

【答案】A

【解析】

試題分析：對(duì)①，/(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)=-/(x))成立；

對(duì)②，左邊的x可以取除±1之外的任意值?而右邊的故不成立；

注：/(^y)=ln(l+-ln(l-=In'J—￡-In=2ln(l+x)-2ln(l-x)=2f(x).

當(dāng)xw(-：U)時(shí)成立.

11

對(duì)③，fXx)=—+—=>o/(O)=2所以/Xx)在r-LD內(nèi)單調(diào)遞增，且在x=0處的切線

1+x1-x1-Xx:

為J=2x.作出圖易知③成立

法二、根據(jù)圖象的時(shí)稱性，可只考慮x20的情況.xZO時(shí)，^Y)=/(X)-2X,則

112xz

g'(x)=---+-----2=-->0,所以g(X)2g(0)=0,二/⑺22X,所以③成立.

1+x1-x1-x*

標(biāo)準(zhǔn)答案選A，筆者認(rèn)為有錯(cuò)，應(yīng)該選C.

【考點(diǎn)定位】1、函數(shù)的奇偶性；2、對(duì)數(shù)運(yùn)算；3、函數(shù)與不等式.

5.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)理】定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y=/,

),=2、，y=Y+i,y=2sinx中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】奇函數(shù)的為y=與y=2sinx,y=d+1和y=2"為非奇非偶函數(shù)，故選C.

6.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)】已知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)尤>0

時(shí)，/(x)=x2+p,則/(一1)=()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

【解析I/(-1)--/(1)=-(12+1)=-2.

7.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(上海卷)理】設(shè)。為實(shí)常數(shù)，y=/(x)是定義

2

在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=9x+—+7,若/(x)2a+l對(duì)一切xNO成立，則。

X

的取值范圍為.

【答案】a<-^

t解析】『(0)=0,故02a+l=aV-l；當(dāng)“3時(shí)，/(x)=9x+—-7>a+1

X

即6a+又々￡一1,故一二.

8.12014高考上海理科第20題】設(shè)常數(shù)函|數(shù)/(》)=1一

(1)若。=4,求函數(shù)y=/(九)的反函數(shù)y=7-'(x)；

(2)根據(jù)。的不同取值，討論函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并說明理由.

J_1

【答案】(l)/-1(x)=2+log；—'=(-x.-l)J(l+T\(2)4=1時(shí))，=/(*)為奇函數(shù)，當(dāng)a=0

*;\x—1/s

時(shí)J=/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)a10且。=1時(shí)j=f(x)為非奇非偶函數(shù)?

【解析】

7X-L4

試題分析：<1)求反函數(shù)，就是把函數(shù)式>=三;:飛天于X的方程，解出X,得x=fi。)，再把此

_--i

式中的工J互換，即得反函數(shù)的解析式，還要注意的是一般要求出原函數(shù)的值域，即為反函數(shù)的定義域；(2)

討論函數(shù)的奇偶性，我們可以根據(jù)奇偶性的定義求解，在a=0,a=1這兩種情況下，由奇偶性的定義可

知函數(shù)/(x)具有奇偶性，在a聲0且4工1時(shí)，函數(shù)的定義域是XHlog：a，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)既

不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

試題解析：(1)由丁=三七，解得/=士山:，從而j〈-l或J>1,x=l°g、―辿，

2*-4v-1y-1

/~1(x)=log,4(x+1\x€(-x,-l)U(l,+x).

?x-1

(2)/(.v)==W且a20,...①生」=0時(shí)，,(x)=1;w出，...對(duì)任意的xeR都有/(x)=/(-x),

2*-a

y=/(x)為偶函數(shù)。

②當(dāng)a=l時(shí)，f(x)==+1.XH0,~——二=1+-..對(duì)任意的XHO且xeR都有

2X-12--11-2

/(X)=-/(-x)?1=/(x)為奇函打

③當(dāng)awO且axl時(shí)，定義域?yàn)閮?，...定或不關(guān)于原定對(duì)稱，二j=f(x)為非奇非偶

函數(shù)

【考點(diǎn)】反函數(shù)，函數(shù)奇偶性.

【方法規(guī)律】

1.判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)定義法

一般地，對(duì)于較簡單的函數(shù)解析式，可通過定義直接作出判斷；對(duì)于較復(fù)雜的解析式，可先

對(duì)其進(jìn)行化簡，再利用定義進(jìn)行判斷.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

⑵圖象法

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱.因此要證函數(shù)的圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，只需證明此函數(shù)是奇函數(shù)即可；要證函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，只需證明此

函數(shù)是偶函數(shù)即可.反之，也可利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性.

(3)組合函數(shù)奇偶性的判定方法

①兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和、差還是奇(偶)函數(shù)，一奇一偶之和為非奇非偶函數(shù).

②奇偶性相同的兩函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)，奇偶性不同的兩函數(shù)之積(商)(分母不為0)為奇函

數(shù).

③復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”.

(4)分段函數(shù)的奇偶性判定

分段函數(shù)應(yīng)分段討論，注意奇偶函數(shù)的整體性質(zhì)，要避免分段下結(jié)論，如典例1(3)只有得到

當(dāng)xWO時(shí)都有/—x)=f(x)才能給出偶函數(shù)的結(jié)論.

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用技巧

(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于/Xx)的方程，從

而可得f(x)的解析式.

(2)己知帶有字母參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)

常常采用待定系數(shù)法，利用/?(x)±f(—x)=0得到關(guān)于x的恒等式，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得

字母的值.

(3)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)

在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)，其定義中要求f(x)和f(-x)必須同時(shí)存在，所

以函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提.如果某一個(gè)函數(shù)的定義域不

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它一定是非奇非偶函數(shù).

誤區(qū).不明分段函數(shù)奇偶性概念致錯(cuò)

fx2+2x+3,x<0,

【例1】(2014北京東城期末)判斷f(x)=?3,x=0,

的奇偶性.

〔一x'+2x—3,x>0,

【錯(cuò)解】當(dāng)x>0時(shí),—x<0,f(―x)=(-x)"+2(—x)+3=—(―x2+2x—3)=-f(x).

當(dāng)xVO時(shí),—x>0,f(_x)=—(―x)2+2(—x)—3=—(X2+2X+3)=—f(x).所以f(x)是

奇函數(shù).

【剖析】漏x=0情況.

【正解】盡管對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)不為零的x,都有f(—x)=—f(x)成立，但當(dāng)x=0時(shí)，

f(0)=3#—f(0),所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

熱點(diǎn)三函數(shù)的周期性

1.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)文科】x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過X的

最大整數(shù)，則函數(shù)/(x)=x-[幻在R上為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)

【答案】D

【解析】設(shè)(X)為X的小皴部分，所以/1(x)=x-[x]=[.Y]+(X)-[X]=(.v),

/(x+T)=x+T-[x+T]=Lx+T]+rx-r)-[x+T]=(x+T)=(x),

所以/(.Y+T)=/(.Y),故/(.V)為周期函數(shù).

2.12014四川高考理第12題】設(shè)/(九)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí),

-4X2+2,—1<x<0,3

/(x)=，則/($=

x,O<x<1,

【答案】1

【解析】

試題分析：f(,)=/「?=Tk1,=1.

，.?

【考點(diǎn)定位】周期函數(shù)及￡,父函數(shù).

3.【2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國文科】設(shè)/(X)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)

xe[l,3)時(shí)，/(%)=

【答案】-1

【解析】是以2為周期的函數(shù)，目：-1時(shí)，/(x)=x-2,則

/(-1)=/(-1+2)=/(1)=1-2=-1.

【方法規(guī)律】

1.(1)對(duì)于函數(shù)/Xx),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有

f(x+T)="X),那么函數(shù)/U)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7叫/Xx)的周期.如果所有的周期

中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫Ax)的最小正周期.

(2)周期函數(shù)不一定有最小正周期，若7W0是f(x)的周期，則依1々ez)(AHO)也一定是Ax)

的周期，周期函數(shù)的定義域無上、下界.

2.函數(shù)周期性的相關(guān)結(jié)論.

設(shè)a是非零常數(shù)，若對(duì)/"(X)定義域內(nèi)的任意x,恒有下列條件之一成立：①/Xx+a)=-f(x)：

②f(x+a)=/J、；③/'(x+a)=一八「、；④f(x+a)=f(x—a),則f(x)是周期函數(shù)，2\a\

fI\x)

是它的一個(gè)周期.(以上各式中分母均不為零).

【解題技巧】

求函數(shù)周期的方法

求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y=/sin(3x+。)，用公式7=號(hào)計(jì)算.遞推

法：若f(x+a)=—『(*),則f(x+2a)=/[(x+a)+a]=-F(x+a)=F(x),所以周期T=2a.換

元法：若f(x+a)=f(x—a),令x—a=t,x—t+a,則/1(t)=f(￡+2a),所以周期7=2a.

熱點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

1.12014高考福建卷第7題】已知函數(shù)/(x)=<'則下列結(jié)論正確的是()

[cosX,x<0

A./(X)是偶函數(shù)B./(尤)是增函數(shù)C./(X)是周期函數(shù)D./(X)的值域?yàn)閇-1,+00)

【答案】D

【解析】

試題分析：由于分段函數(shù)的左右兩邊的函沌圖象不關(guān)于面?j稱，所以A不正確.由于圖象左邊不單調(diào),

所以B不正確.由于圖象x>0部分的圖象不尸及日用期性，所以。不正確.故選D.

考點(diǎn)：1.分段函數(shù).2.函數(shù)的性質(zhì).

2.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)理科】設(shè)函數(shù)/(x)=Je'+x—a

(aeR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若曲線y=sinx上存在點(diǎn)(玉),%)使/(/(%))=%,則a

的取值范圍是()

(A)[l,e](B)(C)[l,e+l](D)[e-'-l,e+l]

【答案】A

【解析】丁f(x)=萩+x-a在定義域上單調(diào)遞噌?「.3j.6[-11],使得

/%(I/"(jJ)=J,=三J)?[。』，使得f(j：)=Jy即等價(jià)一方程f(x)=》在[0』有解，于是

4=/+》一工：在[0』有解，所以4的取值范圍m一巖匕0)=。;:+*-/,*式0』的值域，：

/(.*)=產(chǎn)+1-2》在[0/恒為正，，函數(shù)引力在。1]上單調(diào)述噌，所以g(x)e[Le],故a的取值范圍

是[Le],選A.

3.【2014全國2高考理第15題】已知偶函數(shù)/(x)在[0,+8)單調(diào)遞減，"2)=0.若

則x的取值范圍是,

【答案】(-L3)

【解析】因?yàn)?(X)是偶函數(shù)，所以不等式f(x-l)>0=/0Y-l|)>/(2),又因?yàn)?(X)在[0：+H)上單

調(diào)遞高所以|x-l|<2,解得-lvx<3.

【考點(diǎn)】本小題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查絕對(duì)值不等式的解法，熟練基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵.

【方法規(guī)律】

1.解這類綜合題的一般方法

在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖，根據(jù)簡圖進(jìn)一步研究

函數(shù)的性質(zhì)，就可以把抽象問題變的直觀形象、復(fù)雜問題變得簡單明了，對(duì)問題的解決有很

大的幫助.

(1)一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)

整正負(fù)號(hào)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。?/p>

(2)畫函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置，然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖

象，再利用奇偶性確定對(duì)稱區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.

2.函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性之間內(nèi)在聯(lián)系

若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸(或兩個(gè)對(duì)稱中心，或一對(duì)稱軸一對(duì)稱中心)，則該函數(shù)必是周期函數(shù).特

別地，有以下結(jié)論(其中ar0)：

若f(x)有對(duì)稱軸*=4且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為2a；

若f(x)有對(duì)稱軸犬=@,且是奇函數(shù)，則/Xx)的周期為4a；

若/Xx)有對(duì)稱中心(a,0),且是偶函數(shù)，則/Xx)的周期為4a；

若/'(x)有對(duì)稱中心(a,0),且是奇函數(shù)，則/Xx)的周期為2a.

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】

誤區(qū)1.函數(shù)的性質(zhì)挖掘不全致誤

【例1】奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T>0,恒有f(x+T)=f(x),則在區(qū)間［0,2T］上,

方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)至少有

()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【錯(cuò)解】由f(x)是R上的奇函數(shù)，得f(0)=0=xi=0.再由f(x+T)=f(x)得f(2T)=f(T)

=f(0)=0=X2=T,X3—2T.即在區(qū)間［0,2T］上，方程f(x)=0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè).

——①

【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯.即,解時(shí)要

=+②

把抽象性質(zhì)用足，不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程，還要注意方程①和②互動(dòng).

【正解】由方程①得f(0)=0=xi=0.再由方程②得f(2T)=f(T)=f(0)=0=Xz=T,X3=2T.

又■(x—J)=f(x+1),令x=0得f(一：)=錯(cuò)).又f(-1)=一錯(cuò))，f(1)=0,X4=］再

乙乙乙乙乙乙乙乙

由②得f(］T+T)=0=X5=號(hào)3T，故方程f(x)=0至少有5個(gè)實(shí)數(shù)根.故選C.

誤區(qū)2.忽視隱含條件的挖掘致誤

【例2】(2014江蘇模擬)設(shè)f(x)是定義在A上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1,1］上,

ax+1,—lWxVO,

fd)=<bx+2人)―其中a,b《R.若f(1)=f('),貝iJa+36的值為________

j~,0WxW1,//

x+1

【錯(cuò)解】因?yàn)閒(x)的周期為2,所以r(|)=f(|—2)=/?(一》,即f(卞=/"(一》.又因?yàn)锳-

L1b+4,所以一1@+1=耳4,A3a+2Z?=—2.

5)=三+1,

1一3

2+1

【剖析】

(1)轉(zhuǎn)化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來；(2)挖掘不出f(-l)=f(D,從而無法求

出a、b的值.

【正解】因?yàn)閒(x)的周期為2,所以fq3)=f13_2)=f(_1?,即f(］1)=f(一/I又因?yàn)?/p>

f(―=—1a+l,f(|)=1=葉之所以一1a+l=￥二.整理，得a=—<(b+l).①

乙乙L,O乙OJ

2+1

又因?yàn)閒(—l)=f(l),所以一a+l=詈，即b=-2a.②

將②代入①，得a=2,b=-4.所以a+3b=2+3X(—4)=一10.

【考點(diǎn)剖析】

最新考試說明：

1.理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明函數(shù)的單調(diào)性.

2.理解函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性.

3.利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值.

二.命題方向預(yù)測：

1.利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱

點(diǎn).

2.函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點(diǎn).

3.函數(shù)奇偶性的判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點(diǎn)解決相關(guān)問題、利用函數(shù)奇偶性、周期性求函

數(shù)值及求參數(shù)值等問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).

3.題型以選擇題和填空題為主，函數(shù)性質(zhì)其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題.

三.課本結(jié)論總結(jié)：

1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.注意：確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)

定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法、性質(zhì)法等.

2.若奇函數(shù)定義域中有0,則必有/(0)=0.即Oe/(x)的定義域時(shí)，/(0)=0是/,(X)為

奇函數(shù)的必要非充分條件.對(duì)于偶函數(shù)而言有：/(—x)=f(x)=/(|x|).

3.確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、導(dǎo)數(shù)法;

在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

4.若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則〃力可以表示為

/(x)=l[/(x)+/(-x)]+l[/(x)-/(-x)].該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函

數(shù)的和.

5.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)(/(x)=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集).

6.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同增異減”；復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同

外”.復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化(即復(fù)合有意義).

7.函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于直線X=0(y軸)對(duì)稱.

推廣一：如果函數(shù)y=/(x)對(duì)于一切xeR,都有y(a+x)=/(力—x)成立，那么y=/(x)的

圖像關(guān)于直線x="2(由"X和的■-半X=m+')：?一')確定”)對(duì)稱.

22

推廣二：函數(shù)y=/(a+x),y=/(b—x)的圖像關(guān)于直線x=2/(由a+x=b-尤確定)

對(duì)稱.

8.函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(x)的圖像關(guān)于直線y=0(x軸)對(duì)稱.

推廣：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=A—/(x)的圖像關(guān)于直線y=?對(duì)稱(由“丁和的一半

y="@+"⑼確定，)

9.函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(-X)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.

推廣：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(〃-*)的圖像關(guān)于點(diǎn)號(hào)號(hào))中心對(duì)稱.

10.函數(shù)y=優(yōu)與函數(shù)y=log,,x(a>0,aH1)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

推廣：曲線/(無,y)=0關(guān)于直線y=x+。的對(duì)稱曲線是+=0；曲線f(x,j)=0

關(guān)于直線y=-x+b的對(duì)稱曲線是/(—y+b,—x+h)=0.

11.曲線/(x,y)=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,所得曲線是/(y,-x)=0(逆時(shí)針橫變?cè)俳?/p>

換).特別：y=/(x)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得—x=/(歷，若丁=/(x)有反函數(shù)丁=/一|(?，

則得y=

曲線/(x,y)=0繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,所得曲線是/(-y,x)=0(順時(shí)針縱變?cè)俳粨Q).特

別：y=/(x)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得x=/(—y),若y=/(x)有反函數(shù)y=/之幻，則

得y=一尸(江

12.類比“三角函數(shù)圖像”得:

若y=/(x)圖像有兩條對(duì)稱軸x=a,x=仇awb),則y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為

T=2\a-b\.

若)=/")圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心A(a,0),33,0)(。力與，則。=/(x)是周期函數(shù)，且一周期

為7=2|。-。|.

如果函數(shù)丫=/(x)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱中心4a,0)和一條對(duì)稱軸x=A(a=6),則函數(shù)

y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T=4|a-切.

如果y=/(x)是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為T,那么/(X±〃T)=/(%)(〃eZ).

特別：若/(x+a)=—/(x)(aw0)恒成立，則T=2a.

若/5+。)=」一(4X0)恒成立，則T=2a.若/(x+a)=-一匚(。#0)恒成立，則

/(x)/(x)

T=2a.

如果y=/'(>)是周期函數(shù)，那么y=/(x)的定義域“無界”.

四、名師二級(jí)結(jié)論：

一個(gè)防范

函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.例如函數(shù)y=［分別在(-8,0),

(0,+8)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個(gè)定義域即(—8,o)U(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,o)和(0,+8),不能用“u”連接.

一條規(guī)律

函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

注意：分段函數(shù)判斷奇偶性應(yīng)分段分別證明f(-x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱的兩段上都滿

足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性.

兩個(gè)應(yīng)用

1.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式.

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從

而可得f(x)的解析式.

2.已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù).

常常采用待定系數(shù)法：利用『(X)土/"(-x)=0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性可得

知字母的值.

三種方法

判斷函數(shù)單調(diào)性的三種方法方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法.

判斷函數(shù)的奇偶性的三種方法：(1)定義法：(2)圖象法：(3)性質(zhì)法.

在判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，為了便于判斷，有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡，或應(yīng)用定義的變

通形式：

f(-x)

f{—x)=±f(x)Qf(-x)±f(x)=0=萬'=±1>f(X)#0.

四條性質(zhì)

1.若奇函數(shù)F(x)在x=0處有定義，則/'(O)：。.

2.設(shè)/Xx),g(x)的定義域分別是"，氏，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇X奇

=偶，偶+偶=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇.

3.奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性.

4.若f(x)是偶函數(shù)，則有/1(-x)=F(x)=F(|x|).

五、課本經(jīng)典習(xí)題：

(1)新課標(biāo)人教A版必修一第36頁練習(xí)第1(3)題

V-2I1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：/(x)=上士.

X

【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行多角度變式.

丫2I1

變式題：關(guān)于函數(shù)/?(》)=1g卡(X?0),有下列命題：①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②當(dāng)x>0時(shí)，

是增函數(shù)；當(dāng)x<0時(shí)，/(x)是減函數(shù)；③/(X)的最小值是lg2；④/(x)在區(qū)間

(-1,0),(2,+8)上是增函數(shù)；⑤“X)無最大值，也無最小值.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)

是.

觸/1x，=l.￡；x=C為俾函數(shù)故①正確令=則當(dāng)x>0元u『=x—L在(0.1)上遞

IM,blx

就在[L+X)上道旭二②⑤錯(cuò)誤.③售正汾m③④

(2)新課標(biāo)人教A版必修一第44頁復(fù)習(xí)參考題A組第八題

]+y~1

設(shè)f(x)=產(chǎn),求證：(1)/(-%)=/(%)；(2)/(-)=-/(%).

1-x-X

【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展.

改編：設(shè)定在R上的函數(shù)/(x)滿足：/(tanx)=—?jiǎng)t

cos2x

/(2)+/(3)++/(2012)+/(1)+/(1)++/(志)=.

解：由/(tanx)=—=cos：x+sin：x=1+tan：x得.由所求式子特征考查：

cos2xcos-x-sm~x1-tan"x\-x~

1

][-A-2]+2iii

〃冗)+/(一)=—+T=0...J(2)+〃3)+4-/(2012)+/(-)+/(-)++/(-)=0.

xl-x~11232012

⑶新課標(biāo)人教A版必修一第83頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-F7T(a?R)?

(1)探索函數(shù)〃x)的單調(diào)性；(2)是否存在實(shí)數(shù)a使/(x)為奇函數(shù)？

【經(jīng)典理由】典型的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展.

改編對(duì)于函數(shù)〃x)=。+R).(1)用定義證明：/*)在R上是單調(diào)減函數(shù)；(2)

若/")是奇函數(shù)，求a值；(3)在(2)的條件下，解不等式f(2t+l)+f(t-5)WO.

22_2血_2*

證明：(1)設(shè)龍|<%2，貝！Jf(玉)-f(々——-

2X2+r(2V|+l)(2A2+l)

V2X2-2X,>0,2為+1>0,2X2+1>0,即f(西)-f(々)>0-(X)在R上是單調(diào)減

函數(shù)

(2)???/(*)是奇函數(shù)，(0)=0=a=T.

(3)由(1)(2)可得/(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)，，f(2t+l)+f(t-5)WO.轉(zhuǎn)