拉普拉斯變換及其性質(zhì)

拉普拉斯變換及其性質(zhì)演示文稿目前一頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)5.1拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一個(gè)信號(hào)f(t)滿足狄里赫利條件時(shí)，便可構(gòu)成一對(duì)傅里葉變換式，即

當(dāng)函數(shù)

f

(t)不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，則其傅里葉變換不一定存在。此時(shí)，可采取給f(t)乘以因子e–t(為任意實(shí)常數(shù))的辦法，這樣即得到一個(gè)新的時(shí)間函數(shù)f

(t)e–t，使其滿足條件則函數(shù)

f

(t)e–t

即滿足絕對(duì)可積條件了，因而它的傅里葉變換一定存在?？梢娨蜃觘–t

起著使函數(shù)

f

(t)收斂的作用辦法，故稱e–t為收斂因子。2目前二頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)它是

+j的函數(shù)，可以寫為

設(shè)函數(shù)

f

(t)e–t

滿足狄里赫利條件且絕對(duì)可積(這可通過選取恰當(dāng)?shù)闹祦磉_(dá)到)，根據(jù)傅里葉變換的定義，則有F(

+j)的傅里葉反變換為即5.1拉普拉斯變換3目前三頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)二．拉普拉斯變換的定義s=

+j，s為一復(fù)數(shù)變量，稱為復(fù)頻率。以上兩式分別稱為雙邊拉普拉斯變換和雙邊拉普拉斯反變換。5.1拉普拉斯變換4目前四頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)正變換反變換記作，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)采用系統(tǒng)，相應(yīng)的單邊拉氏變換為考慮到實(shí)際信號(hào)都是有起因信號(hào)所以5.1拉普拉斯變換5目前五頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)三拉氏變換的收斂域

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；5.1拉普拉斯變換6目前六頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)例信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域(即收斂坐標(biāo)0)解:要使該式成立，必須有

>

–

，故其收斂域?yàn)槿玸平面，0=

–

。

>0時(shí)該式成立，故其收斂域?yàn)閟平面的右半開平面，0=

0。

>0時(shí)上式成立，故其收斂域?yàn)閟平面的右半開平面，0=

0。要使該式成立，必須有a+

>

0，即

>

–

a。故其收斂域?yàn)?/p>

–

a以右的開平面，0=

–

a。7目前七頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)四．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂

3.單位沖激信號(hào)8目前八頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)4．冪函數(shù)tnu(t)四．一些常用函數(shù)的拉氏變換9目前九頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)5．正余弦信號(hào)收斂域收斂域四．一些常用函數(shù)的拉氏變換10目前十頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)6．衰減的正余弦信號(hào)收斂域收斂域四．一些常用函數(shù)的拉氏變換11目前十一頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)5.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)延時(shí)特性尺度變換特性復(fù)頻移特性時(shí)域微分定理時(shí)域積分定理頻域微積分定理初值定理和終值定理卷積定理12目前十二頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)一．線性性質(zhì)解：例：已知求的拉普拉斯變換若為常數(shù)則13目前十三頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)二．延時(shí)特性（時(shí)域平移）若則注意：(1)一定是的形式的信號(hào)才能用時(shí)移性質(zhì)(2)信號(hào)一定是右移(3)表達(dá)式等所表示的信號(hào)不能用時(shí)移性質(zhì)14目前十四頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)例：已知求因?yàn)樗越猓憾訒r(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）15目前十五頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)解：4種信號(hào)的波形如圖例：已知單位斜變信號(hào)的拉普拉斯變換為求的拉普拉斯變換二．延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）16目前十六頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)只有信號(hào)可以用延時(shí)性質(zhì)二．延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）17目前十七頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)時(shí)移性質(zhì)的一個(gè)重要應(yīng)用是求單邊周期信號(hào)的拉普拉斯變換。

結(jié)論：?jiǎn)芜呏芷谛盘?hào)的拉普拉斯變換等于第一周期波形的拉普拉斯變換乘以

例：周期沖擊序列的拉氏變換為二．延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）18目前十八頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)例解：已知s)F((ttu(t)f求,1)-=解：例二．延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）19目前十九頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)三．尺度變換時(shí)移和尺度變換都有:若則20目前二十頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)四．復(fù)頻移特性（s域平移）若則例：求的拉氏變換解：21目前二十一頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)五．時(shí)域微分定理推廣：若則22目前二十二頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)六．時(shí)域積分定理①②若則因?yàn)榈谝豁?xiàng)與t無關(guān)，是一個(gè)常數(shù)23目前二十三頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)例：求圖示信號(hào)的拉普拉斯變換

求導(dǎo)得

所以

解：六．時(shí)域積分定理24目前二十四頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)七．s域微積分定理若則取正整數(shù)證明：對(duì)拉普拉斯正變換定義式求導(dǎo)得若則25目前二十五頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)七．s域微積分定理例解：因?yàn)樗?6目前二十六頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)八．初值定理和終值定理若和拉氏變換存在，且則為真分式終值存在的條件:若的拉氏變換存在，且則初值定理

的所有極點(diǎn)有負(fù)實(shí)部終值定理初值存在的條件:當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，且f(t)不包含沖激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)27目前二十七頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)由時(shí)域微分定理可知所以初值定理證明：所以八．初值定理和終值定理28目前二十八頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)終值定理證明根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式八．初值定理和終值定理29目前二十九頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)F(s)為真分式的所有極點(diǎn)有負(fù)實(shí)部八．初值定理和終值定理30目前三十頁\總數(shù)三十二頁\編于六點(diǎn)例：確定下列拉普拉斯變換所對(duì)應(yīng)的時(shí)域因果信號(hào)的初值和終值初值

終值

初值終值

注意應(yīng)用終值定理的條件是滿足的。

解：八．初值定