07-ARIMA模型、疏系數(shù)模型、季節(jié)模型

第七章

ARIMA模型、疏系數(shù)模型、季節(jié)模型差分運算差分運算的實質(zhì)差分方式的選擇過差分差分運算的實質(zhì)差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運算的實質(zhì)是使用自回歸的方式提取確定性信息

差分方式的選擇序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)

序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響

對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好地提取周期信息

【例】1964年——1999年中國紗年產(chǎn)量序列蘊含著一個近似線性的遞增趨勢。對該序列進行一階差分運算考察差分運算對該序列線性趨勢信息的提取作用

差分前后時序圖原序列時序圖差分后序列時序圖例嘗試提取1950年——1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息差分后序列時序圖一階差分二階差分例差分運算提取1962年1月——1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列中的確定性信息

差分后序列時序圖一階差分1階－12步差分過差分

足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息但過度的差分會造成有用信息的浪費

例假設(shè)序列如下

考察一階差分后序列和二階差分序列的平穩(wěn)性與方差比較一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過差分）平穩(wěn)方差大ARIMA模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)ARIMA模型性質(zhì)ARIMA模型建模ARIMA模型預(yù)測疏系數(shù)模型季節(jié)模型ARIMA模型結(jié)構(gòu)使用場合差分平穩(wěn)序列擬合模型結(jié)構(gòu)ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodelARIMA模型參數(shù)估計方法R語言中，ARIMA模型參數(shù)估計方法有極大似然估計（ML）條件似然估計（CSS）ML-CSS法ARIMA模型的平穩(wěn)性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內(nèi)，d個在單位圓上。所以當時ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn)。例ARIMA(0,1,0)時序圖ARIMA模型的方差齊性時，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性ARIMA模型建模步驟獲得觀察值序列平穩(wěn)性檢驗差分運算YN白噪聲檢驗Y分析結(jié)束N擬合ARMA模型例對1952年——1988年中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列建模

一階差分序列時序圖一階差分序列自相關(guān)圖一階差分后序列白噪聲檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344擬合ARMA模型偏自相關(guān)圖建模定階ARIMA(0,1,1)參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ惋@著參數(shù)顯著例續(xù)：對中國農(nóng)業(yè)實際國民收入指數(shù)序列做為期10年的預(yù)測

疏系數(shù)模型ARIMA(p,d,q)模型是指d階差分后自相關(guān)最高階數(shù)為p，移動平均最高階數(shù)為q的模型，通常它包含p+q個獨立的未知系數(shù)：如果該模型中有部分自相關(guān)系數(shù)或部分移動平滑系數(shù)為零，即原模型中有部分系數(shù)省缺了，那么該模型稱為疏系數(shù)模型。疏系數(shù)模型類型如果只是自相關(guān)部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為為非零自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)如果只是移動平滑部分有省缺系數(shù)，那么該疏系數(shù)模型可以簡記為為非零移動平均系數(shù)的階數(shù)如果自相關(guān)和移動平滑部分都有省缺，可以簡記為季節(jié)模型簡單季節(jié)模型簡單季節(jié)模型通過簡單的趨勢差分、季節(jié)差分之后序列即可轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)，它的模型結(jié)構(gòu)通常如下

例擬合1962——1991年德國工人季度失業(yè)率序列

差分平穩(wěn)對原序列作一階差分消除趨勢，再作4步差分消除季節(jié)效應(yīng)的影響，差分后序列的時序圖如下

白噪聲檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001差分后序列自相關(guān)圖差分后序列偏自相關(guān)圖模型擬合定階ARIMA((1,4),(1,4),0)參數(shù)估計模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值待估參數(shù)統(tǒng)計量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001擬合效果圖復(fù)雜季節(jié)模型使用場合序列的季節(jié)效應(yīng)、長期趨勢效應(yīng)和隨機波動之間有著復(fù)雜地相互關(guān)聯(lián)性，簡單的季節(jié)模型不能充分地提取其中的相關(guān)關(guān)系構(gòu)造原理短期相關(guān)性用低階ARMA(p,q)模型提取季節(jié)相關(guān)性用以周期步長S為單位的ARMA(P,Q)模型提取假設(shè)短期相關(guān)和季節(jié)效應(yīng)之間具有乘積關(guān)系，模型結(jié)構(gòu)如下

例:擬合1948——1981年美國女性月度失業(yè)率序列

差分平穩(wěn)一階、12步差分差分后序列自相關(guān)圖差分后序列偏自相關(guān)圖簡單季節(jié)模型擬合結(jié)果延遲階數(shù)擬合模型殘差白噪聲檢驗AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213結(jié)果擬合模型均不顯著復(fù)雜季節(jié)模型擬合模型定階ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12參數(shù)估計模型檢驗殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗延遲階數(shù)統(tǒng)計量P值待估參數(shù)統(tǒng)計量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001結(jié)果模型顯著參數(shù)均顯著乘積季節(jié)模型擬合效果圖