全國各地高考試題匯編(立體幾何)

2013年金各地高考武題匯編信體幾句

1.門3分)(2013?安徽)如圖，圓錐頂點(diǎn)為0，底面圓七為O,其母線與底面所成的

角為22.5°,用B和CO是底面圓0上的兩條平行的弦，鈿OP與平面約D所成的角

為60°，(1)證明：平面致(2與平面①四的交線平行于底面；

(2)求cos/_CO0-

(1)證明：設(shè)平面致①與平面?如的交線為。OD,為兩平面①Cd「./③

II平面(PC①,：為BU面軟⑶平面期(8與平面(PGD的交線為C,：.A<BIIC

’.?42在底面上，/在底面外.?.「與底面平行；

(2)解：設(shè)如的中點(diǎn)為行，連接OF,eF由圓的性質(zhì)，ZCO?=2ZCOT,&F]_C(D

?.?OP_L底面，C<DU底面，/.OP100,■/OPPOF=0,「.C?J_平面OP1?

?「CDU平面①02),「.平面02個_1_平面①須，.??直線0?在平面宛②上的射影為直線

(PT

」./OPF為OP與平面宛⑦所成的角，由題段，Z(yPT=60°

設(shè)OP=h,OF=OPtanZO^F^h,?:NOC(P=22.5°,：.Q=———=----

Ctan/OCPtan22.5°

tan45°=~，tan23.5----=i,/.tan22.50=y/~2-1

1-tan222.5°

...0C=」-=(揚(yáng)1)h,在3△OCT中，cos/以于=絲=,gh卡-V3

V2-IOC(V2+1)h

.,.cosZCOD=cos(2ZCOF)=2cos2ZCOF-1=17-1272

2.門2分)12013?安徽)如圖，四棱錐①-4BC0的底面/份即是邊長為2的菱形，

Z<2X0=60°，已知(P(B=(PD=2,(PA=4l.

(I)證明：(PC1(B(DCl!J若<E為軟的中點(diǎn)，求三棱錐?-<2CE的體積.

解：(I)連接/C交??亍0,連接①O,二皿名形力BCD是菱形，「.NC1?0,且0

是@D的中點(diǎn):△①?D中，政)=◎B,0為幽中點(diǎn)，/.(PO1(&D

?.?00、/cu平面砌。，＜ponAC=O,二刎，平面期c,.「RCU平面砌。」.宛1?。?/p>

(II)?.?/政中是紀(jì)氏為2的菱形，/協(xié)＜D=60°,：.(BO=±l(B=l,對CM超=2如,可得

2

△么6c的面積為s=Vcx60/，?.?段△砌。中，NO="C=V5，(PA=41，

22

「?①。寸PA2_AC,2心從而得到三棱錐(P~/宛的體積%-夕賬&XS3ocX

3

以。甘X?X?=I

為中點(diǎn)，到平面的距離可得三棱錐的體積XAABC

：EPA...EABCd=lpO=1E-ABCVE.ABC=ASXd=lx

2233

J^X叵工，因此，三棱錐P-BCE的體積VPEBC=VP-ABC-VEABC=』.

“J222

3C率小典共14分)僅073北京.切如HE,在三棱模ABC-4片￡中，胡。0是迎定為4的

正方形.平面ABCJ.平面A41clC,AB=3,BC=5.

(I)求證：A41d.平面ABC；

fnJ求二面角A-BC「4的余弦值；

(I)證明：是正方形，/.///l/C.

X,/平面N(SC1平面//￡C，平面A(BCH平面NN/C/C7C,

:.///J_平面A^C.

(ID解：由/C=4,(BC=5,J4(B=3.

:?月d+月球=0｛，

建元如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:，陽園(0,0,4),(B(0,3,0),(B,(0,3,4),

G(4,0,4),

丁?前1(4,-3,4)，西二(0,-3,4)，函=(0,0,4)?

設(shè)平面為絢的法向量為五=(X],y-Z[)，平面＜8qG的法向量為石=仁，-，z2).

n<,BC,=4xt-3yi+4zi=0

一_.，個y=4,解潺兀=0,z,=3,：,^=(o,4,3)

、?BA[=13y[+4z[=01

-

n9*BC(=4x93y?+4z9=0

______.，令％=3，解潺y=4，Z2=0,「.石二⑶4,o).

n2*BB1=4z2=0

一、■>_%_2_」6=回

cos<n]

n2|五|忘|V25-V2525

二面角A,~<2G-碼的余弦值為日.

4.(13分)(2013*北京)如圖，在四棱錐①-那BOD中，^?//C①，3=2",

平面致(D_L底面/政?2),斂1為D.必和手分為是須和*的中點(diǎn)，求證：

(I)致1度面4(BC?；(TL)@E//平面軟(D；CHIJ平面平面宛D.

B

解：(I)?.?致_LN<D,平面致(Z)_L平面42卬，平面軟on平面為2C?辦<D,

由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可潺政J_平面A(BOD.

(H)'：A(BII02),/(B_L%D,OD=24B,必和F分列是C0和(PC的中點(diǎn)，收四

近形又?E(D為平行四邊形，故有(B<EIIA(D.

X/(2)U平面致(D,也E不在平面軟(0內(nèi)，敢有?E//平面致6

CIED平行四邊形對(&BD中,由/觀L/D可潺，/段XD為矩形，故有<B(E±C?①.

由致_1_平面/800,可潺期_L%2,再由可潺4B_L平面軟0，QD

1平面翅(D,故有如_1_效).再由僅如分列為C0和①C的中點(diǎn),可蹲妍II致),

.?.02)_1_必行②.而<E(F和6石是平面(8<E<F內(nèi)的兩條相交直線，政有函1平面

&EtF.

由于如U平面(PC(D,「.平面?￡?F_L平面<P3

5.(2013大綱版.匆(12分)如圖，四棱錐①-為BOD中，N4SC=N欲<0=90°,(BC=2A(D,

△致(8與△期(D都是邊長為2的等邊三角形.

(I)證明：?B_LC?(II)末點(diǎn)/到平面的距離.

(D證明：取政?的中點(diǎn)正，連接。E,汨為正方形，遼①作①01平面為8劭，

垂足為0,連接。，OB,0?,OE,由△致(B和△期/都是等邊三角形知斂=e232)

/.Q^=OB=OD,即0為正方形為8分D對角線的交點(diǎn)，...0￡_!_頌>,/.eB_LOE

<0是?0的中點(diǎn)，(E是(8。的中點(diǎn)，/.OE//OD,/.(PSlOD;

(II)取致)的中點(diǎn)3,連接0T,mOFII(P(B,由(I)知/.OF1C0,

OD^|BD=V2*OP=7PD2-0D2=^2f「.△奴也為等腰三角形，「.Weo

;eon00=0,/.OF_L平面式?2),?.?方E//D，ODU平面a。。X匐平面舊初，...見E

//平面①Q(mào)D，0到平面(PQD的距離QF就是A到平面(PQD的距離，

?/QF=1PB=1

.??點(diǎn)A到平面PCD的距離為1.

6.(13分)(2013*福建)如圖，在四棱標(biāo)為BOD-凡(B￡孫中,1則棱底面/政?0,

A(BII(DC，X凡=1,/<2=3氐，A(D=4^,(BC=56,<2)C=6氐，C<,>0)

(1)求證：0?_1_平面為。7)/,

(2)若直線_X兒與平面網(wǎng)C所成角的正弦值駕，求女的值

6.(1)證明:取(DC潺中點(diǎn)<E,連接?E,<E(D,/0=?2)=3氐，

/.四紇形久⑥E①是平行四邊形，「.?EII入①,且?E=A<D=43：.(B<E2+(EC2=(4Q2+(3Q

2=(5kJ^(BC2,：.Z(B(EC=90°,：.(B<E1OD>又?：?EII4①,C?_L/(D.

「測棱期」底面/政?0,多，/.。2)_1_平面口。2)/廣

(2)解：以(D為坐標(biāo)原點(diǎn)，X、DCv西的方向?yàn)樨?，y,z車由的正方向建立空間直角

坐標(biāo)系，陽/(42,0,0),C(0,66,0),(B,(4%,3氐，1),洱(4氐,0,1).

?*-AC=(-4k,6k,0)，函二(0,3k,1)，鬲:(0,0,1)?

一fn?AC=_4kx+6ky=0

設(shè)平面AB|C的一個法向量為n=(x,y,z),貝一____，取y=2,則z=-6k,x=3.

n,ABi=3ky+z=0

n=(3,2,-6k)>設(shè)AAi與平面ABC所成角為。，則

sin9=|cos<AAi,n>|=r解得卜=1故所求k=l.

1IAAj||n|V36k^+137

7.112今)(2013*福建)如圖，在四棱標(biāo)e一/政中，西)，平面46OD,免Bll(DC，

/<2_L/<D,(BC=5,(DC=3,又①=4,Z(PA(D=60°.

(I)當(dāng)正規(guī)方向與向量標(biāo)的方向相同時，面曲四棱錐0-4秋初的正規(guī)圖(要求標(biāo)由

尺寸，笄寫畫演算過程入

(II)若%為期的中點(diǎn)，求證：(D%//平面eSC;

(III)末三棱錐(D-屈C的體積.

P

解：(I)在梯形/以冷中，住CE_L/<2,1E為垂足，陽四邊形/(DCE為矩形，/.

月石=OD=3.直角三角形政法中，,/(BC=5,C(E=A(D=4,由句股定理術(shù)潺狽E=3,

「.4S=6.在直角三角形致中，＜/致＜0=60°,J4,（D=4,：.tan60°=外行，

皿棱錐（P-4宛＜D的正視圖如圖所帚：

（II）＜%為致的中點(diǎn)，取eB潺中點(diǎn)為“，陽九舛平行且等于與此再由劭

2

平行且等于干此可得MN和0D平行且相等，故加M%）為平行四紇形，故（DM

IICN.

由于（0%不在平面加。內(nèi)，而CW在平面加。內(nèi)，故①％II平面0BC

（III）二棱，隹④日］體積^）-色。=圖-（S梯形/?c?-S△/硼）

?（PD

=驢粵2_—X6x“X4愿=8后

J乙乙

8.（2013廣東.%）（14分）如圖I,在等腰直角三角形ABC中,NA=9O°,BC=6,0,E分列是

AC,A8上的點(diǎn),CO=BE=&,。為BC的中點(diǎn).將AAOE若DE圻超，將到如圖2所帚的四棱錐

4一88號其中40=6.

圖1圖2

（I）近明:AO,平面8CDE；（H）求二面角A-CD-8的平面角的余弦值.

【解析】（1）在圖1中，筋將OC=3,AC=30,A￡）=2及

連結(jié)OD,OE,在\OCD中,由余弦定理潺8=Joe?+5-200。8s45。=石

由蹣折不變性可知A'D=2A/2，所以A'O2+ODr=A'D2，所以A'O1OD,

理可證A，O_LOE,又OD0￡=0,所以4。_￡平面8。0E.

fn）停就法.?遼。作O”，CO交CD的延長線于“，連結(jié)A'H,

因?yàn)锳'OJ.平面3co&所以A”J.CD,所以NA//O為二面角A'-CD-5的平面角.

結(jié)合圖1可知，H為AC中尻故OH-也，仄而A，H=而赤=叵

22

所以cos〃HO=2L姮，所以二面角A'-C。-8的平面角的余弦值為巫?

A:H5

向it法;以。點(diǎn)為原點(diǎn),建三空間直角坐標(biāo)系如圖所帚,

%4僅,0,V3）,C（0,-3,0）,D（l,-2,0）

所以。4=（0,3,6）,。4=卜1,2,6）

設(shè)〃=（x,y,z）為平面A'CD的法向量，網(wǎng)

，解潺p=r，令x=l,潺〃=

n-DA'=G-x+2y+s/3z=0[z=V3x

由(I；知,。4'=(0,0,6)為平面CDB的一個法向量，

所以/3_巫，即二面角A'-CO-B的平面角的余弦值為巫,

網(wǎng)"Q六麗=5

9.(不小題滿分13分)僅013廣東文)如圖4,在延長為1的等紅三角形ABC中，D,E今

列是AB,AC邊上的點(diǎn)，AD=AE,尸是BC的中點(diǎn)，AF與DE交.于晟G,精■AABF港AF

折起，潺到如圖5所示的三棱錐A-8CE,其中BC=也./\

⑺證明：DE//^^BCF；A”

⑵證明：CF1平面ABF；/\//;二

(3)當(dāng)AO=g時，求三棱錐E-DEG的體積/I\

【解析】(1)在等邊三角形ABC中，AD=AE/1\

AnA17BL-------------p-------------圖5

.??把=把，在折疊后白弓三棱與隹A—BCT中

DBEC圖4

也成立，.-.DE//BC,DE①平面BCF,8Cu平面BCF,;.DE//平面BCF；

(2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn),所以AE,8c①，BF=CF=g.

在三樓京隹A—3CF中，BC=也，BC2=BF2+CF2：.CF±BF?

2

BFcCF=F:.CF±平面ABF；

(3)由(1)可知GEHCF,結(jié)合(2)可潺GE_L平面。FG.

；.VFDEG咻DFG=LL.DGFGGF=￡J_]_Tj_曰173

32-3\3~J,3-324

10.C本小題就分12分)僅073湖北.翼及006,AB是畫。的直及，點(diǎn)C是因。上畀于A、B

的點(diǎn)，直線PC，平面ABC,￡/分為為PAP3的中點(diǎn)

(I)55平面BEF與平面ABC的交線為/，武判斷/號平面PAC的依或關(guān)系，笄加以睨明；

(II)設(shè)(I)中的直線/與函。的分一個交點(diǎn)為。，且點(diǎn)。牖至OQ=4CP,兄直線PQ號

平面48C所成的角冷。，界面直線P。號“所成的銳角為a,二面角E-/-C的大小為",

求證sin。=sinasinp.

10.(%)如圖I,作BD//AC與O相交于點(diǎn)D,易知平面BEF平面ABC=8O=/

?證///平面PAC

第19題解答圖1

⑵(向量溝治口圖2.由PQ=gcP,作。Q//CP,且OQ=gcP,連接

PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)知交線I即為直線BD,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，向量C4,C8,CP所在直線分

列為x,y,z硒，建元如圖所帚的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA=a,CB=b,CP=2c,雙力賀

C(0,0,M)/z(,060,力,，P(0,0,2c),Q(a,h,c),￡(1a,0,c),F(0,0,c)

于是隹=(ga,0,0,),QP="c),BF=(0,-b,c),所以

22

FE-QPa.r--------yjb+C

cosa=7——n——T=,"sina=?1-cosa=-T—

IFE\-\QP\yla2+b2+c2>Ja2+b2+c2

|m-2P|c

乂取平面ABC的一個法向量加=(0,0,1),可潺sinOubn~，=,

|m|.|cP|^a2+b2+c2

.FE-0—ax=()

設(shè)平面BEF的一個法向量為〃=(x,y,z),由(=42取及=(O,c;Z?),亍是

l〃IF=0[-by+cz=o

\m-n\卜i--------c

2

|cos刈==-n——sin/?=71-cosB=

|wj|-|n|yjb~+c~\lb'+c~

J+a’，cc

故sinasin/=,=?/=,=sin。，且I7sin6=sinasin(3.

\la2+b2+c2yjb2+c2y/a2+b2+c2

ii.r不小題滿分13分)僅073湖北,文；

如圖，某地質(zhì)雙目水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探，目A點(diǎn)向下鉆到4處發(fā)

現(xiàn)礦藏,，再繼續(xù)下鉆到4處后下面已無礦，從而蹲到在A處正下方的礦層厚度為

44=4.同樣可蹲在B,c處正下方的礦層厚度分列為用為=4,C￡=4，且4q</,.

i^AB,AC的中點(diǎn)m，N且與直線A4平行的平面戳受面體aac-A/c所潺的我面

力EFG為該多面體的一個中戳面，其面積定為S”，.

（I）證明：中我面DEFG是梯形；

cnJ在AABC中，記BC=a,BC邊上的高為/?,面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域

內(nèi)正下方的礦藏儲量，即受面體ABC-A/C的體積v）時，可用近儂公式

匕古=5中?〃來估算.已知v=g（4+4+4）s,武判斷％,與M的大小關(guān)系:，笄加灰證

明.

Ai

第20題圖

解.CI）儂題意平面4BC，0用2_1_平面力SC，GC2_L平面/0C，

所以/陰2"③/紇"C/Cz，又/*2=4，紇⑥=起，。（2=4，且6<4<4.

因此四江形/淵22紇，/那2c2G均是梯形.

由/幺2//平面M/3N,/凡<=平面AA2（B2（B,且平面見&222n平面加ERNHMB,

可博出2//加￡，即///丘同理可證入閏2H3。，所以在EII￡替

X%,舛分列為用B,NC的中點(diǎn)，

陽①,E,￡g分列老兄紇，凡啊，402,凡G的中點(diǎn)，

即<Z>Ev<FG分列為梯形/42%紇、//2c2G的中伍線.

因此"注?十與，J

2>E=,（AjA2+BJB2（d?+d2），2，=/（dj+d3）

而4<%<4，故在E<&g,所以中我面。E<Fg是梯形；

rn;“估證明：

由凡耳，平面/宛，加忙平面/⑦C，可潺/42_L%W.

而（EMII見聞2,所以同理可蹲3N上MN.

由九舛是△力SC的中伍線，可潺即為梯形dyETG的高，

22

因比5中=5梯%DEFG=1（幺言白夏）?于|（2d1+<i2+d3），

即V估=5中*號（2d[+d2+d3）?兄

界="'’所以丫4（di+dz+d?）（d]+d2+d3）?

-

于是丫-V估二日（d<+d2+d3）-粵（2di+do+d3）[（d2-d1）+（d3di）1?

ii-?b，乙JX，乙jyci乙i,jx

由4<%o,4-4>0,敢"佑

12（不小題滿分12分）（2013湖南.明

如圖，在直棱標(biāo)?！校珹D//BCACVBD,BC=1,

ABCqgCQ,ZBAP=90°,AO=A4t=3

(1)證明:ACLB.D

(2)正直線Bg與平面ACR所成角的正弦值

解析：(1)如圖1因?yàn)開L平面A6CQ,

AB,所以AC_L網(wǎng)

又因?yàn)锳CLBD,所以ACJ_平面而

所以AC，旦。

(2)因?yàn)锽CJ/AD,所以直線耳儲與平面ACR所成的

角等亍直線AQ與平面ACR所成的角(記為6)

如圖1,連接A。，因?yàn)槔忾禔BC。-A4CQ是直棱槎，且/44。1=NBAD=90",所以

A4_L平面AD°A，從而A4,叫，XAD=A4,=3,所以四邊形ADRA是正方形，于

是AO*LA〃，故ADJ平面ABID,于是ADJBQ

由Cl)知，AC1B,D,所以BQ，平面AC。，^ZADBt=90°-0,在直角梯形ABC。中，

因?yàn)锳CL6,所以N3AC=NA1,仄而R自ABCkRt,改—=—,即

DAA

AB=y/DAB^3,連接A與，易知AA8Q是直角三角形，目

2222

8^=8^+BD=BtB+AB+AD=21,即8Q=技

在用AABQ中，cosZAOg=處=/=叵，即cos(90°-6)=叵，Z^r7nsin6?=-

BQV21777

即直線B.C,與平面AC。所成角的正弦值為叵

7

(向量的解法略)。

13.(12^)(2013*湖南)如圖.在直棱槎中，/欷。=90°,A(B=AC=42,

/見=3,0是政？的中京，點(diǎn)石在棱?B1上運(yùn)動.

(1)證明:A(D]_C^

(2)當(dāng)異面直線/C，C/E所成的角為60°時，求三棱錐G-/何生的體積?

解：(1)..?直棱標(biāo)功8。-/限G中，(84_1_平面用BC，4DU平面/(BC，：.JI(D1

(B(Bj

?「△/(BC中，多C,<DXJ(BC中晟,：.A(D]_(BC

K*/(BCv?B]U平面①(B]C￡,(BCn

平面(8%GC，結(jié)合G必U平面(B(B/GC，可蹲/②_1_。乃；

(2)?.?直棱槎/@”凡“中，ACII

；?NEC次】(或其喬角)即為界面直線/C、C處所成的角

丁N欲C=N<2*。=90°,「.耳?！?唐，

*:/兒_1平面/圍如可潺見CJNN/，

」.結(jié)合灰用jCi/J4]=耳1,可博/Qi平面XX陽陽,

?///EU平面/見名用，.?.aa_L//E

A[C1

因此，須△/(/<￡中，Z￡C典=60°可潺cos/.玫次[=---------=A,得C/E=2風(fēng)￡產(chǎn)2如

C]E2

K@C、AIC/+A汽2=2,???劣再]cIE2-BI%2=2

由此…耍"口/心=鏟在*亞義行|

14.(2013江珂(本小題滿分14分)

如圖，在三棱錐S-ABC中，平面S43,平面SBC,

ABLBC,ASAB.遼A作AhS3,垂足為F,點(diǎn)

(第16題)

E,G分列是1則棱SA,SC的中點(diǎn).

求正：(1)平面“G//平面ABC;

(2)BCA.SA.

解：(1)E,G分為是1則棱SA,SC的中點(diǎn)

EG//AC

AC在平面ABC中，EG在平面外

EG〃平面ABC

AS=AB,AF±SB:.F為SB中總

EF//AB

AB在平面ABC中，所在平面外

.?.EE〃平面ABC

EF與EG相交于EEEE在平面EFG中

平面“G//平面ABC

⑵平面SAB,平面SBC,SB為交線

AF在SAB中，AF±SB：.AF±平面SBCAF±BC

8C,48,A尸與AB相交于A,A居A5在平面SAB中

/.BC±平面SABBCLSA

15C率小理褊分12分)僅013江西.寓

如圖，皿桂維P-ABC。中，PA_L平面A3CO,E為8。的中點(diǎn)，G為PO的中點(diǎn)，

3

\DABs\DCB,EA=EB=AB=1,PA=—座接CE并延長交AD”

2

(1)求證：AO_L平面CFG；

(2)末平面BCP與平面。CP的夾角的余弦值

/A

I///

/?

8卜~

解：(1)?.?在△"<2中，￡為效)的中點(diǎn)，<^=<E<2=X<2=；,

可潺/欲(D=2L,且N/?E=N/IE(B=2L

223

△0X<B^A0C?,「.△磔色/△(EC(B,從而蹲到/隹(D=N砂EC=N/fE(B=2L

「.Z隹<D=/尸似=工，可得EF_LW<D,AT=T<D

3

w..△政(o中，(pg=g(D,「.藥是△致②是的中伍線，可將1rg//致

,/政_1_平面力2。0,「.4gi平面/以冷，

?.?/(DU平面/政改)，.*.Tg_\_A(D

義,：石伊、如夕是平面org內(nèi)的相交直線，.../<z)_L平面arg；

(2)以點(diǎn)/為原點(diǎn)，為8、//、致分列為兀硒、)車由、z軸建立如圖直角坐標(biāo)

系，可蹲

月(0,0,0),(B(1,0,0),c也，爽，0),(D(0,如,0),(P(0,0,3；

22

-亞，多，CD=(~立，0)

2222

段平面8。<?的法向量ir=(1,y,z,),貝小

T吟可癡…一亨學(xué)，

設(shè)平面(DGP的法向量三=(1,y2,z2)

解潺）2=\耳，Z2=2,可潺n=（1>V3>2）,

1X1+（一坐）X?4^|X2

oo

COS<IT，

因此平面政??與平面(DGP的夾角的余弦值等亍|cos<rr，n

16.，軍小題謫分12分)(2013江酉?文

如0B,直回梭模ABC。-A4G〃中，AB//CD,AD±AB,AB=2,AD=0,A4,=3,E為C。上

點(diǎn),DE=1,EC=3.

(1)證明：BE工平面BB?C；

(2)求點(diǎn)4到平面E41G的距離

解：(1)迎京(8作翊7_1_即于手點(diǎn)，陽

研=%(0=4^,石生三月0=如=1,rc=2

在位△⑦石手中，?E=gBF2+EF2=V^；在出△（B。?7中，（BC=4BF2+CF

因此，△(BCE中可潺(B(E2+(B(f=9=C(E2

：.zC砒=90°,可得<B(E1(BC，

?:<S<S/_L平面/以應(yīng))，eEU平面/政應(yīng))，

,：(Ba/均是平面(8紇G。內(nèi)的相交直線，???砂E_L平面(8(8?；

(2)?..///1平面4(B￡，潺入凡是三棱錐E-耳紇弓的高線

三棱錐的體積叱=72

3AiBici

在歐△aDG中，/心=在兩2+口|C/=3&

<222=2

同理可潺妁=胃c/+c~彳=3&,^JE=^A1A+AD+DE^

...等腰△//EG的底邊<EC/上的中線等于J(m)2-(如)2=4,

可得'_=-^-X2,\/3X\[15=3\[S

AipLbi2

設(shè)點(diǎn)(Bj到平面班C的距離為d,四三棱錐(Bj-4&￡的體積為

…,*/=娓￡可蹲弧-后d,解之得值叵

3AiEci5

即點(diǎn)⑸到平面。?的距離為平.

17.《12今)(2013*遼寧)如圖，42是圓的直徑，砌垂直圓所在的平面，C是圓上

的點(diǎn).

(I)求正：平面致C_L平面?2C;

(II)若42=2,AC=1.期=1，求證：二面角C-加-/的余弦值.

(I)證明：如圖，

p

由A(B是圓的直徑，i>AC1<sc.

由致_L平面/(BC，(BCU平面/(BC,潺軟_L政?.

X(P^LC\AC=A>政u平面/(SC，/CU平面期C,

所以①C_L平面砌c.

因?yàn)槠矫?p(BC,

所以平面軟C_L平面加C；

rn;解：過c作c%J_/(s于％,

因?yàn)閿縚L平面為8。，C%u平面4BC,所以致_LC%,

故C%_L平面期⑶

過九伯九KLe2亍W,鏈接N&

由三重線定理博CWLLeB.

所以NC5V%為二面角C-的平面角.

在陽△/政？中，由42=2,AC=1.7>BC=V3，,BM=^-

在&△用&P中,由42=2,月①=1,潺PB2/^.

因?yàn)橘応枴靼啖?，所以?.

1V5

政攸24叵

10___

又在你AC州M中，CN*—故cos/CNM等?

所以二面角。-eB-/的余弦值為退.

4

18.僅073遼寧.文；r不小題滿分72分)

如圖，AB是圓弼直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓。上的點(diǎn)

(I)求艇：3C_L平面PAC；

(II)愛8心的中點(diǎn)，G為AAOdl勺重心，求證：QG//平面P8C

/W題思路/(I)由46為直徑條件推的AC,再結(jié)合PA1.面人宛即可證5CL面

軟C。CDJ由重叱想到中點(diǎn)是吳健，由面面平行推曲線面平行是重要方法。

19.(2013大綱版.理乂12分)如圖，四棱錐①一/6劭中，NX(BC=N(B^(D=90°,(BC=2J4(D,

△致(8與△斂②都是等邊三角形.

(I)證明：?S_LC?

(II)求二面角/-。的大小.

解：(I)取(B。的中點(diǎn)正，連接0E,可得四邊形是正方形

迎點(diǎn)①作e0_1_平面/翅??,垂定為0,連接Q?、QB、QD、OE

?.?△致(8與△致②都是等邊三角形，.?.致=(P?=?D,可得8=€XB=00

因此，0是正方形/0E（D的對角線的交點(diǎn)，可潺OE1O?

平面為28，潺直線OS是直線e2在內(nèi)的射影，；.O￡J_eB

?「△（23）中，（E、0分列為（SC、辦D的中點(diǎn)，：.OEllC（D,可薄?S_LC?；

（II）由（D知C<D_L00,CD上0B

'：（P0.eB是平面??D內(nèi)的相交直線，」.C<D1平面e冊

,