全國(guó)中考試卷幾何動(dòng)態(tài)題組卷

中考幾何動(dòng)態(tài)題

1.在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE,連接BE、EF.

(1)若E是線段AC的中點(diǎn)，如圖1,易證：BE=EF(不需證明)；

(2)若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3,線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,

直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明.

2.在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,若點(diǎn)D在線段BC上，以AD為邊長(zhǎng)作正方形ADEF,如圖1,易證:

ZAFC=ZACB+ZDAC；

(1)若點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，其他條件不變，寫出NAFC、NACB、NDAC的關(guān)系，并結(jié)合圖2給出證明;

(2)若點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上，其他條件不變，直接寫出NAFC、NACB、NDAC的關(guān)系式.

3.已知四邊形ABCD是正方形，。為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從B開始，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，連接DP,作

CNLDP于點(diǎn)M,且交直線AB于點(diǎn)N,連接OP,ON.(當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1：當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),

如圖2)

(1)請(qǐng)從圖1,圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：①BN=CP；②OP=ON,iLOP±ON；

(2)設(shè)AB=4,BP=x,試確定以0、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系.

圖1圖2

4.探究問(wèn)題：

(1)方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且滿足NEAF=45。，連接EF,求證DE+BF=EF.

感悟解題方法，并完成下列填空：

將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD,BG=DE,N1=N2,ZABG=ND=90",

ZABG+ZABF=90°+90°=180°,

因此，點(diǎn)G,B,F在同一條直線上.

???ZEAF=45".-.Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

Z1=Z2,Z1+Z3=45°.

即NGAF=Z.

又AG=AE,AF=AF

△GAF2.

=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法遷移：

如圖②，將RSABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且NEAF=』NDAB.試猜想

2

DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

(3)問(wèn)題拓展：

如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD,E,F分別為DC,BC上的點(diǎn)，滿足NEAF="|zDAB,試猜想當(dāng)NB與ND

滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF.請(qǐng)直接寫出你的猜想(不必說(shuō)明理由).

5.(1)如圖①，在正方形ABCD中，AAEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CD邊上，高AG與正方形的邊長(zhǎng)相等，求

ZEAF的度數(shù).

(2)如圖②，在RtAABD中，ZBAD=90。，AB=AD,點(diǎn)M,N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且NMAN=45。，將^ABM繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADH位置，連接NH,試判斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)在圖①中，連接BD分別交AE,AF于點(diǎn)M,N,若EG=4,GF=6,BM=3&,求AG,MN的長(zhǎng).

H

E

BMD

（圖①）（圖②）

6.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5,ZDAB=60".將菱形ABCD繞著A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG,設(shè)NEAB=a,且

00<a<90°,連接DG、BE、CE、CF.

(1)如圖(1),求證：AAGD2△AEB；

(2)當(dāng)a=60。時(shí)，在圖(2)中畫出圖形并求出線段CF的長(zhǎng)；

(3)若NCEF=90。，在圖(3)中畫出圖形并求出ACEF的面積.

7.RSABC與RSFED是兩塊全等的含30。、60。角的三角板，按如圖(一)所示拼在一起，CB與DE重合.

(1)求證：四邊形ABFC為平行四邊形；

(2)取BC中點(diǎn)O,將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖(二)中位置，直線BC，與AB、CF分別相

交于P、Q兩點(diǎn)，猜想OQ、OP長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)在(2)的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQB為菱形？(不要求證明)

8.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形

ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：

（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；

②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2,如圖3情形.請(qǐng)你

通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4-6）,且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb（a/b,k＞0）,第（1）題①中得

到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（3）在第（2）題圖5中，連接DG、BE,且a=3,b=2,k=L求BEZ+DG?的值.

2

9.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：

如圖1,在等腰直角△ABC中，AB=AC,NBAC=90。，小敏將一塊三角板中含45。角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開

始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a,其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D,直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)

E.

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M,連接AM,旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分NBAM,則AE也平分NMAC.請(qǐng)你證明

小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）當(dāng)0。＜0（“5。時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段8口、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2=DE2.

同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決;小穎的想法:將4ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF,

連接EF（如圖2）

小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACG,連接EG（如圖3）；

小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45。＜。＜135。且ax90。時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立，先請(qǐng)你繼續(xù)

研究：當(dāng)135。＜。＜180。時(shí)（如圖4）等量關(guān)系BD?+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明

理由.

10.如圖1,在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE_LEF,BE=2.

（1）求EC：CF的值；

（2）延長(zhǎng)EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P（如圖2）,試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）在圖2的AB邊上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

圖1圖2

11.已知，在△ABC中，AB=AC.過(guò)A點(diǎn)的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角。，直

線a交BC邊于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）,△BMN的邊MN始終在直線a上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）,且BM=BN,

連接CN.

⑴當(dāng)NBAC=ZMBN=90°時(shí)，

①如圖a,當(dāng)6=45。時(shí)，NANC的度數(shù)為；

②如圖b,當(dāng)。工45。時(shí)，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由；

（2）如圖c,當(dāng)NBAC=NMBNH90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出NANC與NBAC之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

12.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B）,ZBPE=lzACB,PE交BO

2

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF_LPE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1）.求證：△BOG#△POE；

（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想：里,并結(jié)合圖2證明你的猜想；

PE

（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3）,若NACB=a,求壁的值.（用含a的式子表示）

PE

DDAD

圖1圖2圖3

13.如圖，已知矩形紙片-ABCD,AD=2,AB=4.將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與

AB,CD交于點(diǎn)G,F,AE與FG交于點(diǎn)O.

(1)如圖1,求證：A,G,E,F四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；

(2)如圖2,當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，求折痕FG的長(zhǎng).

14.如圖1,在菱形ABCD中，AC=2,B0=273，AC,BD相交于點(diǎn)0.

(1)求邊AB的長(zhǎng)；

(2)如圖2,將一個(gè)足夠大的直角三角板60。角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角

板60。角的兩邊分別與邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F,連接EF與AC相交于點(diǎn)G.

①判斷AAEF是哪一種特殊三角形，并說(shuō)明理由；

②旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時(shí)(BE>CE),求CG的長(zhǎng).

15.已知△ABC是等邊三角形.

(1)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角9(0。<。<180。)，得到△ADE,BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O.

①如圖a,當(dāng)。=20。時(shí)，△ABD與△ACE是否全等？_____________(填"是"或"否")，ZBOE=____________度；

②當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)，求NBOE的度數(shù)；_

(2)如圖c,在AB和AC上分別截取點(diǎn)B，和CT使AB=J^AB，，AC=J^AC,連接B，C,將△AB，C繞點(diǎn)A逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)角(0°<6<180。)，得到AADE,BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O,請(qǐng)利用圖c探索NBOE的度數(shù)，直接寫

出結(jié)果，不必說(shuō)明理由.

要求證明)

拓展：如圖②，點(diǎn)B、C分別在NMAN的邊AM、AN±,點(diǎn)E、F在NMAN內(nèi)部的射線AD上，Nl、/2分別

是△ABE、ACAF的外角.已知AB=AC,N1=N2=NBAC,求證：△ABEV△CAF.

應(yīng)用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD,點(diǎn)E、F在線段AD上,

Z1=N2=NBAC.若^ABC的面積為9,則4ABE與4CDF的面積之和為.

17.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若NMBN=45。，易證MN=AM+CN

(1)如圖2,在梯形ABCD中，BCIIAD,AB=BC=CD,點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若NMBN=￡ABC,試

2

探究線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明.

(2)如圖3,在四邊形ABCD中，AB=BC,NABC+NADC=180。，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若

ZMBN=AZABC,試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出猜想，不需證明.

18.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3a的正方形，長(zhǎng)方形AEFG的寬AE=』，長(zhǎng)EF=，5.將長(zhǎng)方形AEFG繞點(diǎn)

2N

A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到長(zhǎng)方形AMNH(如圖)，這時(shí)BD與MN相交于點(diǎn)0.

(1)求NDOM的度數(shù)；

(2)在圖中，求D、N兩點(diǎn)間的距離;

（3）若把長(zhǎng)方形AMNH繞點(diǎn)A再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到長(zhǎng)方形ARTZ,請(qǐng)問(wèn)此時(shí)點(diǎn)B在矩形ARTZ的內(nèi)部、外部、

還是邊上？并說(shuō)明理由.

19.（1）如圖，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論；

②將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（（T<a<90。），如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立？

不必說(shuō)明理由.

甲：AB：AC=AD：AE=1,ZBAC=ZDAE#90°；

乙：AB：AC=AD：AEwl,ZBAC=ZDAE=90°；

丙：AB：AC=AD：AE#1,NBAC=NDAEH90°.

20.（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合），連接DC,以DC為邊在BC

上方作等邊ADCF,連接AF.你能發(fā)現(xiàn)線段AF與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

（2）類比猜想：如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊△ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，猜想AF與

BD在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

（3）深入探究:

I.如圖③，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△ABC邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合）連接DC,以DC為邊在BC上方、

下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF,連接AF、BF,探究AF、BF與AB有何數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論.

n.如圖④，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊△邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他作法與圖③相同，I中的結(jié)論是否成立？若不成

立，是否有新的結(jié)論？并證明你得出的結(jié)論.

21.如圖，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以BC為直角頂點(diǎn)的AEAB和AEDC均是等腰三角形，且在BC同側(cè).

(1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為；AE和ED的位置關(guān)系為；

(2)在圖1中，以點(diǎn)E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH,HD.分

別得到圖2和圖3.

①在圖2中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的相似比1：2,H是EC的中點(diǎn).求證：GH=HD,GH±HD.

②在圖3中，點(diǎn)F在的BE延長(zhǎng)線上，AEGF與AEAB的相似比是k：1,若BC=2,請(qǐng)直接寫CH的長(zhǎng)為多少時(shí),

恰好使GH=HD且GH±HD(用含k的代數(shù)式表示).

22.如圖①，有一張矩形紙片，將它沿對(duì)角線AC剪開，得到△ACD和AABC.

(1)如圖②，將△ACD沿邊向上平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，連接AD和BC,四邊形ABCD是

形；

(2)如圖③，將△ACD的頂點(diǎn)A與A，點(diǎn)重合，然后繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A、B在同一直線上，

則旋轉(zhuǎn)角為度；連接CC,四邊形CDBC是形；

(3)如圖④，將AC邊與邊重合，并使頂點(diǎn)B和D在AC邊的同一側(cè)，設(shè)AB、CD相交于E,連接BD,四

邊形ADBC是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

23.如圖，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC=6,D為BC的中點(diǎn).

(1)若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE=CF,求證：△AED"△CFD；

(2)當(dāng)點(diǎn)F、E分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CA、AB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A、B時(shí)停止；設(shè)

△DEF的面積為y,F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)F、E分別沿CA、AB的延長(zhǎng)線繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式.

24.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)

將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.

(1)求證：ZAPB=NBPH；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)S是否存在最小值？若存在，求出這

(備用圖)

25.如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90°,△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜

邊BC的中點(diǎn)重合.將ADEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交

于點(diǎn)Q.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：ABPE2ACQE；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：ABPE-ACEQ；并求當(dāng)BP=a,CQ=.|^t,P、Q兩點(diǎn)間

的距離(用含a的代數(shù)式表示).

26.在銳角△ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45%將AABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到AAiBCi.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)Ci在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求NCC1AI的度數(shù)：

(2)如圖2,連接AAi,CCi.若AABA1的面積為4,求△CBC1的面積；

(3)如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)Pi,求線段EPi長(zhǎng)度的最大值與最小值.

27.如圖1,△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF,BD±CF

成立.

(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3(00<0<90°)時(shí)，如圖2,BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成

立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。時(shí)，如圖3,延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G.

①求證：BD±CF；

②當(dāng)AB=4,AD=加時(shí)，求線段BG的長(zhǎng).

28.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8.把△BCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C處，BC交AD于點(diǎn)

G；E、F分別是CD和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H,把^FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D，處，點(diǎn)D，恰好與

點(diǎn)A重合.

(1)求證：△ABG要ACDG；

(2)求tanNABG的值；

(3)求EF的長(zhǎng).

29.課本中，把長(zhǎng)與寬之比為a的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙.請(qǐng)思考解決下列問(wèn)題：

(1)將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB<BC)對(duì)開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙.請(qǐng)給予證

(2)在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB<BC)進(jìn)行如下操作：

第一步：沿過(guò)A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；

第二步：沿過(guò)D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙)，此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊

上的點(diǎn)M處；

第三步：沿直線DM折疊(如圖2丙)，此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合.

請(qǐng)你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖3一次又一次對(duì)開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙.現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD,

AB=1,BC=、歷，問(wèn)第5次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)是多少？探索直接寫出第2012次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng).

第1把寸開第2次對(duì)開第3次對(duì)開

圖3

2013年全國(guó)中考試卷幾何動(dòng)態(tài)題組卷

參考答案與試題解析

1.(2012?佳木斯)在菱形ABCD中，NABC=60。，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE,

連接BE、EF.

(1)若E是線段AC的中點(diǎn)，如圖1,易證：BE=EF(不需證明)；

(2)若E是線段AC或AC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，如圖2、圖3,線段BE、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,

直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明.

E

圖1圖2圖3

解答：證明：（1）?四邊形ABCD為菱形，

AB=BC,

又;ZABC=60°,

??.△ABC是等邊三角形，

.「E是線段AC的中點(diǎn)，

??.ZCBE=-lzABC=30°,AE=CE,

2

??,AE=CF,

/.CE=CF,

ZF=ZCEF,

*/ZF+NCEF=ZACB=60°,

ZF=30°,

ZCBE=ZF,

??.BE=EF；

（2）圖2：BE=EF....（1分）

圖3：BE=EF....（1分）

圖2證明如下：過(guò)點(diǎn)E作EGIIBC,交AB于點(diǎn)G,

V四邊形ABCD為菱形，

AB=BC,

又ZABC=60°,

△ABC是等邊三角形，

AB=AC,ZACB=60°,...（1分）

又EGIIBC,

ZAGE=NABC=60°,

又丫NBAC=60°,

△AGE是等邊三角形，...（1分）

AG=AE,

BG=CE,...（1分）

又丫CF=AE,

GE=CF,

又ZBGE=ZECF=120°,

△BGE復(fù)△ECF（SAS）,...（2分）

，BE=EF；...（1分）

圖3證明如下：過(guò)點(diǎn)E作EGIIBC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

???四邊形ABCD為菱形，

AB=BC,

又ZABC=60。，

J.△ABC是等邊三角形，

AB=AC,ZACB=60",...（1分）

又EGIIBC,

ZAGE=ZABC=60°,

又NBAC=60°,

:?&AGE是等邊三角形，...（1分）

AG=AE,

BG=CE,...（1分）

又CF=AE,

GE=CF,

又；ZBGE=ZECF=60°,

:&BGE里AECF（SAS）,...（2分）

2.(2012?黑龍江)在△ABC中，ZBAC=90",AB=AC,若點(diǎn)D在線段BC上，以AD為邊長(zhǎng)作正方形ADEF,如

圖1,易證：ZAFC=NACB+ZDAC；

(1)若點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，其他條件不變，寫出NAFC、NACB、NDAC的關(guān)系，并結(jié)合圖2給出證明；

(2)若點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上，其他條件不變，直接寫出NAFC、NACB、NDAC的關(guān)系式.

解答：解：（1）關(guān)系：NAFC=NACB-NDAC,...（2分）

證明：?.,四邊形ADEF為正方形，

AD=AF,ZFAD=90°,

ZBAC=90°,ZFAD=90°,

ZBAC+ZCAD=ZFAD+ZCAD,即NBAD=NCAF,...（3分）

在4ABDACF中，

'AD=AF

■ZDAB=ZFAC，

AB=AC

△ABDS&ACF（SAS）,...（4分）

ZAFC=ZADB,

???ZACB是AACD的一個(gè)外角，

，NACB=NADB+NDAC,...（5分）

ZADB=NACB-ZDAC>

???ZADB=ZAFC,

ZAFC=ZACB-ZDAC；...（6分）

（2）ZAFC,ZACB.NDAC滿足的關(guān)系式為：ZAFC+ZDAC+ZACB=180°,...（8分）

證明：?.,四邊形ADEF為正方形，

ZDAF=90°,AD=AF,

又NBAC=90°,

ZDAF=ZBAC,

ZDAF-ZBAF=ZBAC-ZBAF,即NDAB=ZFAC,

在4ABD^DAACF中，

'AD=AF

<ZDAB=ZFAC，

AB=AC

△ABD"△ACF（SAS）,

ZADB=ZAFC,

在△ADC中，NADB+NACB+NDAC=180。，

貝ijNAFC+ZACB+ZDAC=180".

3.（2012?常德）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從B開始，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，

連接DP,作CN_LDP于點(diǎn)M,且交直線AB于點(diǎn)N,連接OP,ON.（當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1：當(dāng)P在BC

的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2）

（1）請(qǐng)從圖1,圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：①BN=CP；②OP=ON,且OP_LON；

（2）設(shè)AB=4,BP=x,試確定以0、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系.

Mp

ANBAB

圖1圖2

解答：（1）證明：如圖1,

V四邊形ABCD為正方形，

/.OC=OB,DC=BC,ZDCB=ZCBA=90°,ZOCB=ZOBA=45°,ZDOC=90°,DCIIAB,

???DP_LCN,

ZCMD=ZDOC=90°,

ZBCN+ZCPD=90°,ZPCN+ZDCN=90°,

ZCPD=ZCNB,

---DCIIAB,

/.ZDCN=ZCNB=ZCPD,

???在4DCP和^CBN中

'/DCB=/CBN

<NCPD=NBNC，

,DC=BC

ADCP2△CBN(AAS),

CP=BN,

在^OBN和4OCP中

rOB=OC

,Z0CP=Z0BN>

,CP=BN

AOBN空AOCP(SAS),

ON=OP,ZBON=/COP,

ZBON+ZBOP=ZCOP+ZBOP,

即NNOP=ZBOC=90",

ON±OP,

即ON=OP,ON±OP.

(2)解：?；AB=4,四邊形ABCD是正方形，

O到BC邊的距離是2,

圖1中，S四邊彩OPBN=SAOBN+SABOP)

=L(4-x)x2+-lxxx2,

22

=4(0<x<4),

圖2中，S四邊形OBNP=SAPOB+SAPBN

=LXX2+L(x-4)xx

22

=ix2-x(x>4),

2

"y=4(0<x<4)

即以0、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系是：J12

月x-x(x>4)

4.(2011?永州)探究問(wèn)題：

(1)方法感悟：

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且滿足NEAF=45。，連接EF,求證DE+BF=EF.

感悟解題方法，并完成下列填空：

將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：

AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ND=90",

ZABG+ZABF=900+90°=180°,

因此，點(diǎn)G,B,F在同一條直線上.

???ZEAF=45".-.Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90--45°=45°.

Z1=Z2,Z1+Z3=45°.

即NGAF=ZFAE.

又AG=AE,AF=AF

.1.&GAF^AEAF.

二GF=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法遷移:

如圖②，將RSABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且NEAF=aNDAB.試猜想

DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）問(wèn)題拓展:

如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD,E,F分別為DC,BC上的點(diǎn)，滿足NEAF=《ZDAB,試猜想當(dāng)NB與ND

滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF.請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說(shuō)明理由）.

解答：解：（1）根據(jù)等量代換得出NGAF=ZFAE,

利用SAS得出△GAa△EAF,

GF=EF,

故答案為：FAE；△EAF；GF；

(2)證明：延長(zhǎng)CF,作N4=N1,

,將RtAABC沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且NEAF=」NDAB,

2

Z1+Z2=Z3+Z5,

Z2+Z3=N1+Z5,

Z4=Z1,

Z2+Z3=N4+Z5,

ZGAF=ZFAE,

在4AGB和^AED中，

'/4=N1

<AB=AD，

ABG=NADE

AAGB要AAED(ASA),

AG=AE,BG=DE,

在4AGF^tlAAEF中，

'AG=AE

,NGAF=NEAF，

AF=AF

△AGF合△AEF(SAS),

GF=EF,

DE+BF=EF；

(3)當(dāng)NB與ND滿足NB+ZD=180。時(shí)，可使得DE+BF=EF.

5.（2011?咸寧）（1）如圖①，在正方形ABCD中，AAEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CD邊上，高AG與正方形的

邊長(zhǎng)相等，求NEAF的度數(shù).

（2）如圖②，在RIAABD中，ZBAD=90°,AB=AD,點(diǎn)M,N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且NMAN=45。，將4ABM

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADH位置，連接NH,試判斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）在圖①中,連接BD分別交AE,AF于點(diǎn)M,N,若EG=4,GF=6,BM=3&,求AG,MN的長(zhǎng).

（圖②）

解答：解：（1）在RsABE和RsAGE中，AB=AG,AE=AE,

RtAABETRtAAGE（HL）.

ZBAE=ZGAE.（1分）

同理，/GAF=ZDAF.

ZEAF=^ZBAD=45°?（2分）

（2）MN2=ND2+DH2.（3分）

???ZBAM=ZDAH,ZBAM+ZDAN=45°,

ZHAN=ZDAH+ZDAN=45°.

ZHAN=NMAN.

又,.,AM=AH,AN=AN,

△AMN2AAHN.

MN=HN.（5分）

???ZBAD=90°,AB=AD,

ZABD=ZADB=45°.

ZHDN=NHDA+ZADB=90°.

NH2=ND2+DH2.

MN2=ND2+DH2.（6分）

（3）由（1）知，BE=EG,DF=FG.

設(shè)AG=x,貝iJCE=x-4,CF=x-6.

在RlACEF中，

CE2+CF2=EF2,

（x-4）2+（x-6）2=102.

解這個(gè)方程，得xi=12,X2=-2（舍去負(fù)根）.

即AG=12.（8分）

在RtAABD中，

BD=YAB2+AD2T2AG2=12M

在（2）中，MN2=ND2+DH2,BM=DH,

MN2=ND2+BM2.（9分）

設(shè)MN=a,則屋=（12^-372-a）2+（3^）2

即a2=（9&-a）2+（3近）2,

a=W^即MN=5a?（10分）

6.(2011?盤錦)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5,ZDAB=60".將菱形ABCD繞著A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG,設(shè)

NEAB=a,且0°<a<90°,連接DG、BE、CE、CF.

(1)如圖(1),求證：△AGD合AAEB；

(2)當(dāng)a=60。時(shí)，在圖(2)中畫出圖形并求出線段CF的長(zhǎng)；

(3)若NCEF=90。，在圖(3)中畫出圖形并求出△CEF的面積.

解答：解：(1)?.?菱形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG,

AG=AD,AE=AB,ZGAD=ZEAB=a.

???四邊形AEFG是菱形，

AD=AB.

AG=AE.

△AGD空△AEB.(3分)

(2)解法一：如圖(1),當(dāng)a=60。時(shí)，AE與AD重合，(4分)

作DH_LCF于H.由已知可得NCDF=120。，DF=DC=5.

ZCDH=izCDF=60°,CH=lcF.

22

在RSCDH中，

CH=DCsin600=5（6分）

_22

CF=2CH=5A/3.（7分）

解法二：如圖（1）,當(dāng)a=60。時(shí)，AE與AD重合，（4分）

連接AF、AC>BD、AC與BD交于點(diǎn)0.

由題意,知AF=AC,ZFAC=60°.

：.xAFC是等邊三角形.

FC=AC.

由已知，ZDAO=AZBAD=30°,AC±BD,

2

AO=ADcos30°=-^Zs.（6分）

_2

AC=2AO=5-^3-

,FC=AC=5而（7分）

（3）如圖（2）,當(dāng)NCEF=90。時(shí)，（8分）

延長(zhǎng)CE交AG于M,連接AC.

?；四邊形AEFG是菱形，

「?EFIIAG.

??,ZCEF=90°,

/.ZGME=90°.

/.ZAME=90°.（9分）

在RtAAME中，AE=5,ZMAE=60°,

AM=AEcos60°=旦EM=AEsin60°=-^l.

22

在Rt^AMC中，易求AC=5jV，

'1?MC=.AC2_AM

EC=MC-ME=-^SI-^3,

22

=至（VTT-V3）.（ii分）

2

.c1????25（V11~V3）,4、

..SACEF=-eEC*EF=-------^=--（127T）

24

7.（2011?湘潭）RSABC與RSFED是兩塊全等的含30。、60。角的三角板，按如圖（一）所示拼在一起，CB與

DE重合.

（1）求證：四邊形ABFC為平行四邊形；

（2）取BC中點(diǎn)O,將△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)到如圖（二）中位置，直線BC，與AB、CF分別相

交于P、Q兩點(diǎn)，猜想OQ、OP長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）在（2）的條件下，指出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角至少為多少度時(shí)，四邊形PCQB為菱形？（不要求證明）

解答：（1）證明：；AABC2AFCB,（1分）

AB=CF,AC=BF.（2分）

J.四邊形ABFC為平行四邊形.（3分）

（用其它判定方法也可）

（2）解：OP=OQ,（4分）

理由如下：,.,OC=OB,ZCOQ=ZBOP,ZOCQ=ZPBO,

ACOQ合ABOP.（6分）

OQ=OP.（7分）

（用平行四邊形對(duì)稱性證明也可）

（3）解：90°.

理由：,.OP=OQ,OC=OB,

四邊形PCQB為平行四邊形，

???BC_LPQ,

二四邊形PCQB為菱形.（8分）

8.（2011?義烏市）如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為

一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在

直線的位置關(guān)系：

（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；

②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2,如圖3情形.請(qǐng)你

通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4-6）,且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb（awb,k>0）,第（1）題①中得

到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

(3)在第(2)題圖5中,連接DG、BE,且a=3,b=2,k=l,求BE2+DG2的值.

2

解答：解：(1)①BG=DE,

BG±DE.

②BG=DE,

BG,DE仍然成立.

在圖(2)中證明如下

1?四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，

BC=CD,CG=CE,ZBCD=ZECG=90。，

ZBCG=NDCE(1分)，

在^BCG與△DCE中，

'BC=CD

-ZBCG=ZDCE，

CG=CE

△BCG2&DCE(SAS),

/.BG=DE,ZCBG=ZCDE,

又「ZBHC=ZDHO,ZCBG+ZBHC=90°,

ZCDE+ZDHO=90°,

ZDOH=90°,

BG-LDE.

(2)BG_LDE成立，BG二DE不成立.

簡(jiǎn)要說(shuō)明如下：

???四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形，

且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a*b,k>0),

zBCD=zECG=90°.

DCCE-a

ZBCG=ZDCE,

△BCG~△DCE,

ZCBG=ZCDE,

又??,ZBHC=ZDHO,ZCBG+ZBHC=90°,

ZCDE+ZDHO=90°,

ZDOH=90°,

BGJ_DE.

(3)BG±DE,

OB2+OD2=BD2,OE2+OG2=GE2,OB2+OE2=BE2,OG2+OD2=DG2,

BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2,

又