人教A版必修第二冊6433余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例作業(yè)

課時作業(yè)(十二)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例一、選擇題1．學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30°，那么其跨度AB的長為()A．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)m答案：D解析：由題意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3)(m)．2．如圖，為了測量隧道兩口之間AB的長度，對給出的四組數(shù)據(jù)，要求計算時最簡便，測量時最簡單，應(yīng)當(dāng)采納的一組是()A．a(chǎn)，b，γ B．a(chǎn)，b，αC．a(chǎn)，b，β D．α，β，a答案：A解析：依據(jù)實際狀況，α，β都是不易測量的數(shù)據(jù)，在△ABC中，a，b可以測得，角γ也可測得，依據(jù)余弦定理能直接求出AB的長．應(yīng)選A．3．(多項選擇)一艘客船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°方向，之后它以每小時32nmile的速度連續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時測得客船與燈塔S相距8eq\r(2)nmile，那么燈塔S可能在B處的()A．北偏東75° B．南偏東15°C．東北方向 D．東南方向答案：AB解析：畫出示意圖如圖，客船半小時航行的路程為32×eq\f(1,2)＝16(nmile)，∴AB＝16nmile.又BS＝8eq\r(2)nmile，∠BAS＝30°，∴eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(16,sin∠ASB)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ASB＝45°或∠ASB＝135°.當(dāng)船在B處時，∠ASB＝45°，∠B′BS＝75°；當(dāng)船在B′處時，∠ASB′＝135°，∠AB′S＝15°.綜上，燈塔S在B處的北偏東75°或南偏東15°，應(yīng)選AB．4．某人在C點測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到D，測得塔頂A的仰角為30°，那么塔高為()A．15米 B．5米C．10米 D．12米答案：C解析：如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，那么OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，那么OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．5．設(shè)甲、乙兩樓相距10m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)难鼋菫?0°，那么甲、乙兩樓的高分別是()A．eq\f(10\r(3),3)m，eq\f(40\r(3),3)m B．10eq\r(3)m,20eq\r(3)mC．10(eq\r(3)－eq\r(2))m,20eq\r(3)m D．10eq\r(3)m，eq\f(40\r(3),3)m答案：D解析：設(shè)甲、乙兩樓分別為AB，CD，如圖，由題意可知BC＝10，∠ACB＝60°，∠DAE＝30°.∵tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\r(3)，∴AB＝10eq\r(3)m.由AE＝BC＝10m，tan∠DAE＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(\r(3),3)，得DE＝eq\f(10\r(3),3)m，∴CD＝CE＋DE＝AB＋DE＝eq\f(40\r(3),3)m．應(yīng)選D．6．如圖，在湖面上高為10m處測得天空中一個風(fēng)箏的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，那么風(fēng)箏距湖面的高度為(精確到0.1m，eq\r(3)≈1.732)()A．2.7m B．17.3mC．37.3m D．373m答案：C解析：依據(jù)題圖，由題意知CM＝DM.∴eq\f(CM－10,tan30°)＝eq\f(CM＋10,tan45°)，∴CM＝eq\f(tan45°＋tan30°,tan45°－tan30°)×10≈37.3(m)，應(yīng)選C．二、填空題7．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，那么河流的寬度BC約等于__________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)答案：60解析：依據(jù)的圖形可得AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin30°)＝eq\f(BC,sin37°)，所以BC≈2×eq\f(46,0.92)×0.60＝60(m)．8．一只蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕獲到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕獲到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的動身點，那么x＝________cm.答案：eq\f(10\r(6),3)解析：如下圖，設(shè)蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，那么∠AOB＝60°，由正弦定理知x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3).9.一次機器人足球競賽中，甲隊1號機器人由點A開頭做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)覺足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，如下圖，AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，假設(shè)忽視機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，那么該機器人最快可在距A點________dm的C處截住足球．答案：7解析：設(shè)機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，設(shè)BC＝xdm，由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)或－eq\f(23,3)(dm)(舍去)．∴該機器人最快可在線段AD上距A點7dm的點C處截住足球．10．如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓(xùn)練．點A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了精確?????瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P，需計算由點A觀看點P的仰角θ的大?。僭O(shè)AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，那么tanθ的最大值是________．(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)答案：eq\f(5\r(3),9)解析：如圖，過點P作PO⊥BC于點O，連接AO，那么∠PAO＝θ.設(shè)CO＝xm，那么OP＝eq\f(\r(3),3)xm.在Rt△ABC中，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝20m，所以cos∠BCA＝eq\f(4,5).所以AO＝eq\r(625＋x2－2×25x×\f(4,5))＝eq\r(x2－40x＋625)m.所以tanθ＝eq\f(\f(\r(3),3)x,\r(x2－40x＋625))＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(1－\f(40,x)＋\f(625,x2)))＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,x)－\f(4,5)))2＋\f(9,25))).當(dāng)eq\f(25,x)＝eq\f(4,5)，即x＝eq\f(125,4)時，tanθ取得最大值為eq\f(\f(\r(3),3),\f(3,5))＝eq\f(5\r(3),9).三、解答題11．如圖，A，B，C，D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船在水面A處測得點B和點D的仰角分別為75°，30°，在水面C處測得點B和點D的仰角均為60°，ACB，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D間的距離．(計算結(jié)果精確到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA．在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∠ABC＝75°－60°＝15°，即AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)，因此BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)≈0.33(km)．故B，D間的距離約為0.33km.12．為保障高考的公正性，高考時每個考點都要安裝屏蔽儀，要求在考點四周1km處不能收到信號，檢查員抽查青島市一考點，在考點正西eq\r(3)km有一條北偏東60°方向的大路，在此處檢查員用接通，以每小時12km的速度沿大路行駛，問最長需要多少分鐘檢查員開頭收不到信號，并至少持續(xù)多長時間該考點才算合格？解：如下圖，考點為A，檢查開頭處為B，設(shè)檢查員行駛到大路上C，D兩點之間時收不到信號，即大路上C，D兩點到考點的距離為1km.在△ABC中，AB＝eq\r(3)km，AC＝1km，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝eq\f(sin30°,AC)×AB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合題意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1km.在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴CD＝1km.∵eq\f(BC,12)×60＝5，∴在BC上需5min，CD上需5min.∴最長需要5min檢查員開頭收不到信號，并持續(xù)至少5min才算合格．13．在以速度大小為vkm/h向東航行的科學(xué)探測船上釋放了一個探測熱氣球，熱氣球順風(fēng)與船同向，以2km/h的速度沿與水平方向成60°直線方向向上飄去，2h后測得探測船與熱氣球的距離為2eq\r(7)km，之后熱氣球沿水平方向仍以2km/h的速度飛行1h，其次次測得探測船與熱氣球的距離為skm.(1)求探測船的速度v(km/h)；(2)求其次次測距離時，從探測船位置觀看熱氣球時仰角的正弦值．解：(1)如下圖．由題意，在△ABC中，AB＝4，BC＝2v，∠ABC＝60°，AC＝2eq\r(7).依據(jù)余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos60°，∴28＝16＋4v2－8v，即v2－2v－3＝0，解得v＝3或v＝－1(舍去)，∴探測船的速度為3km/h.(2)過點D作DF平行于AC，交CE于點F.∠DFE＝∠ACE，EF＝CE－CF＝CE－AD＝1，DF＝2eq\r(7).在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝eq\f(36＋28－16,2×6×2\r(7))＝eq\f(2\r(7),7)，∴cos∠DFE＝－eq\f(2\r(7),7).∴sin∠DFE＝eq\r(1－cos2∠DFE)＝eq\f(\r(21),7).在△DEF中，依據(jù)余弦定理，得s＝eq\r(28＋1－2×2\r(7)×1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(7),7))))＝eq\r(37).∵eq\f(s,sin∠DFE)＝eq\f(DF,sin∠DEF)，∴sin∠DEF＝eq\f(2\r(7)×\f(\r(21),7),\r(37))＝eq\f(2\r(111),37).∴其次次測距離時，從探測船觀看熱氣球時仰角的正弦值為eq\f(2\r(111),37).14．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇動身時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．(1)假設(shè)盼望相遇時小艇的航行距離最小，那么小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能到達30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．解：(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，那么S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故當(dāng)t＝eq\f(1,3)時，Smin＝10eq\r(3)，此時v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)(海里/小時)，即小艇以30eq\r(3)海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?2