初等數(shù)論不定方程

1、什么是不定方程？顧名思義即方程的解不定.一般地有第二章不定方程定義：不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，或未知數(shù)受到某種限制(如整數(shù)，正整數(shù)等）的方程和方程組。2、主要研究問題

a.不定方程有解的條件

b.有解的情況下，解的個(gè)數(shù)

c.有解的情況下，如何解3、本章學(xué)習(xí)內(nèi)容(1）二元一次不定方程（2）多元一次不定方程（3）勾股數(shù)組（4)費(fèi)馬大定理簡介(5)幾類特殊的不定方程§1二元一次不定方程定義：形如其中()a,b,c為整數(shù)的方程稱為二元一次不定方程。例：2X+3Y=55U+6V=21定理：有解的充要條件是(a,b)|c證：設(shè)方程有解則有因?yàn)椋╝,b)|a,(a,b)|b,因而(a,b)|c反之，設(shè)(a,b)|c,則由最大公因數(shù)的性質(zhì)存在s,t使得as+bt=(a,b)令即為方程的解3、二元一次不定方程有解的情況下解的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)是方程的一組解，則不定方程有無窮解，其一切解可表示成

其中證：把代入不定方程成立，所以是方程的解。又設(shè)是不定方程的任一解，又因?yàn)槭且惶亟鈩t有,即有有因?yàn)榱罴吹玫搅朔匠痰慕狻７匠逃薪馇闆r下不定方程的解法（1）觀察法：當(dāng)a,b的絕對(duì)值較小時(shí)可直接觀察不定方程的一組特解，然后用得到其所有解。2、公式法：當(dāng)a,b的絕對(duì)值較小時(shí)，可用公式得到特解然后用公式寫出一切解。為a,b作輾轉(zhuǎn)相除時(shí)不完全商(見書)3、整數(shù)分離法：當(dāng)a,b中系數(shù)不同時(shí)，用絕對(duì)值較小的系數(shù)后的變量表示另一個(gè)變量，通過變量替換得到一個(gè)新的不定方程。如此反復(fù)，直到一個(gè)參數(shù)的系數(shù)為1.從而得到不定方程的解。4、化為同余方程（同余方程中再講）注:方法(1)(3)(4)用得較多,(2)不太實(shí)用.例1：求解不定方程解：因?yàn)椋?，21）=3，3|144所以有解；化簡得考慮,有解所以原方程的特解為，所以方程的解為注：解的表達(dá)式是不惟一的例2、用整數(shù)分離法解解：因?yàn)椋?07，37）=1，所以有解；故

故

§2多元一次不定方程2.1定義：形如的不定方程多元一次不定方程。2.2定理有解的充要條件是證：必要性，若不定方程有解,則有由。充分性：用數(shù)學(xué)歸納法(n=2）時(shí)已證假設(shè)對(duì)n-1時(shí)條件是充分的，令則方程有解，設(shè)解為又有解，設(shè)為,這樣就是方程的解。注：從證明過程也提供了方程的解法。則等價(jià)于方程組設(shè)先解最后一個(gè)方程的解，得然后把其代入倒數(shù)第二個(gè)方程求得一切解，如此向上重復(fù)進(jìn)行，求得所有方程的解。例1：求不定方程的整數(shù)解.解因?yàn)椋?5，13）=1，（1，7）=1|4，所以方程有解我們將它分為兩個(gè)二元一次不定方程來求解25x+13y=t,t+7z=4.先求t+7z=4的解為t=4-7u，z=u。因?yàn)?5*(-1)+13*2=1，所以25x+13y=1的特解為=-1，=2故25x+13y=t的解為x=-t-13v，y=2t+25v所以的解為x=-4+7u-13v，y=8-16u+25v，z=u.u，v為整數(shù)。§3勾股數(shù)定義：一鏡般地側(cè)稱x2+y2=z2的正挖整數(shù)掘解為督勾股軟數(shù)例（3，4，5），鵲（5，12，13）（8，15向,1歉7）規(guī)為勾丘股數(shù)x2+y2=z2方程損解的彈分析（1）若x，y，z是方殘程解爐，則dx，dy，dz也是朽方評(píng)程解（2）由剛（1）只掀要考調(diào)慮（x，y，z）=1的解掃即可粒，而紹實(shí)際兇上只古要納（x，y）=1即可塘，假餅設(shè)（x，y）=d，則d|剩x，d|良y，則有d|眨z（3）由（2）可尤設(shè)（x，y）=1，則x，y為讀一奇餃一偶囑。若x，y都為重奇數(shù)揉，則z為偶壤數(shù)，段則方詠程左公邊為4K怒+2，右邊鬧為4K，矛盾溝。所親以x，y為一交奇一披偶。由上奮分析錯(cuò)，我義們對(duì)炭（x字,y）作了瞎一些惱限制炊，而杠這些怨限制聾并不存影響蟲其一柔般性步。即可往假設(shè)炎在x>抬0，y>匙0，z>趙0，（x，y）=1，2∣凳x的條禍件下卵給出x2+y2=z2的通返解公打式。定理：在譯條件x>濕0，y>卻0，z>脆0，（x，y）=1，2∣撐x的條呆件下x2+y2=z2的通蓄解公般式為x=店2a徹b，y=干a2-b2，z2=a2+b2，a>日b>肉0漂,速(a站,堡b)事=1，a器,b一奇燦一偶夾。為了匪證明丘定理乘的結(jié)梨論，若先給投出下沈面引臉理。引理：設(shè)u>毀0，v>閱0，（u塞,v）=1，則貞不定傍方程uv=w2的解妻為u=卸a2，v=允b2，w=ab其中a>謎0，b>欄0，（a擋,b）=1。證：境設(shè)u，v，w是方自程的糞解，傲令不含多平方箱數(shù)，又（u，v）=1，不能挪被衫整味除.故所以u(píng)=孟a2，v=怖b2，w=ab。a>記0，b>捉0，（a壤,b）=1下面位進(jìn)行技定理受的證貿(mào)明.定理究的證傅明：x=藝2a咳b，y=灰a2-b2，z2=a2+b2，a>儲(chǔ)b>沙0堂,勁(a工,尚b)懸=1，a電,b一奇牧一偶那。顯充然是維方程x2+y2=z2的解灘，滿濤足x>專0，y>增0，z>孟0，2∣往x，且設(shè)（x，y）=d，則有由（a，b）=1，有d=廁1，或d=犬2,又由y為奇掃數(shù)，煮所以d=燙1。設(shè)x，y，z是滿白足條類件的術(shù)一組廚解，希由2|駱x，及（x，y）=1知y，z是單慕數(shù)，植有執(zhí)且因?yàn)榻蛟O(shè)絕則有d|王z，d|記y，因而偷有d|等x，所以d=影1于是珠由引庸理令于是文有x=咐2a酷b，y=拘a2-b2，z2=a2+b2，a>啞0,橡b>況0,左(a映,b厲)=卸1由y>旺0,知a>惠b>拼0種,又y單，殊所以a畝,b一奇膀一偶敏。推論：單糟位圓生上的尋有理覽點(diǎn)可似寫成證：逗由卻兩邊劣同除有歇，令所以灘有抬即為揚(yáng)單位拿圓的勉方程而有頌理點(diǎn)輔的坐央標(biāo)都今是有亞理數(shù)芹，即鄭為可張約分鐮數(shù)的山形式掘，分淚數(shù)的櫻分子具正好秘為x2+y2=z2的x和y分母疊為z，且正凈負(fù)都烘可，崗又可湊交換男即有例1：勾股桃數(shù)的礎(chǔ)勾股抄中至洽少有賓一個(gè)帥是3的倍六數(shù)。證：捷設(shè)N=婚3m階1，（m為整芬數(shù)）鈔，則=3賀k+純1設(shè)響中，孔若x，y都不遣是3的倍揉數(shù)，都是3K史+1，則其連和為3k癥+2。不可莖能是餡平方軍數(shù)，秧所以煌是抱不甘可能濫的。§4費(fèi)爾隊(duì)馬大談定理舒和無剛窮遞仰降法1、費(fèi)爾刷馬大圣定理：不吼定方陵程xn+yn=zn，n≥塘3無正燭整數(shù)擱解。由于抬一個(gè)陜大于2的整愈數(shù)n，當(dāng)n是偶助數(shù)時(shí)癢，必門為4的倍行數(shù)或萌為某芝個(gè)奇茅質(zhì)數(shù)銳的偶郵數(shù)倍鍬，當(dāng)n是奇響數(shù)時(shí)舉，必休是一渠個(gè)奇閥質(zhì)數(shù)p的倍蚊數(shù)。福因此廈，實(shí)息際上用只需益證明趕和（p為奇墳質(zhì)數(shù)袍）都換沒有惕正整活數(shù)解遞就可歇以了西。對(duì)鮮可用蒼無窮拖遞降吃法證防明，屈而無正庭整數(shù)怒解的潔證明扔是非煉常困鹿難的。2、無頸窮遞書降法盈的渴邏輯虜步驟（1）若臭一個(gè)叮關(guān)于安正整林?jǐn)?shù)的彎命題P（n）對(duì)若齊干正沿整數(shù)n是下塞正確垂的，畢則在晚所有n中一齒定有誘最小怖者。（2）若甘正確少，則火有芳使佩正確楚。由（1）（2），餅則P（n）不能閉成立撲。例2:證明熊是無抓理數(shù)證：長假設(shè)臨是有透理數(shù)表，則易有欠正整莖數(shù)解.設(shè)自島然數(shù)(a,炒b)所有墳解中畜使得a最小頓一組劣解.即有獨(dú)容易盒知道a是偶勾數(shù)，孫設(shè)a=2a1，代入皆又得導(dǎo)到b為偶類數(shù)，脾設(shè)則,即也是損方程無的解,這里這與a的最平小性沖矛盾.∴無理狐數(shù)。例2:證明呈是無丸理數(shù)證：懸假設(shè)迫是有役理數(shù)溝，則柴存在榨自然收數(shù)a,乎b使得捐滿足來，即春容夫易知糾道a是偶纏數(shù)，斜設(shè)a=2a1，代入皺又得絮到b為偶濱數(shù)，娘設(shè),則,這里這樣亡可以盟進(jìn)一森步求反得a2，b2…且有a>值b>想a1>b1>a2>b2>…但是偽自然洪數(shù)無案窮遞定降是傻不可塊能的恩，于岔是產(chǎn)赴生了青矛盾朋，∴無理共數(shù)。幾個(gè)架特殊聾的不崖定方鑄程的肺初等榨解法1、奇睬偶分羊析法例：求不幫定方緩程加的正榮整數(shù)歇解解：硬因?yàn)?2爪8為偶校數(shù)，順即左烘邊為書偶數(shù)建，x，y的奇種偶性素相同冶，不改妨設(shè)x>際y設(shè)則有…同理肚有一奇鏡一偶,則亭得解進(jìn)一扭步有所發(fā)懲原方摧程的跳解為(2漏,1諒8)和(1客8,涂2)2、利鞠用特把殊模備的余姨數(shù)例2：證貸明恨無整皇數(shù)解舌。證：扒由求逃根公劑式得原方朱程要盛有整而數(shù)解原則樂為完疾全平漫方而出所以音有不可斥能為嫌平方惰數(shù)。所以陸原方繩程無培整數(shù)蹄解。3、數(shù)觸與式萄的分拘解例3：求否的整訓(xùn)數(shù)解蕩。解：艇原方紡程通看過變手形得則有從而揪原方凡程的仁解為4、不件等分染析法例4：求威的感正整央數(shù)解青。解：直因繩所也以又因?qū)榻闉槔媾紨?shù)乖，所室以丈只能餡為4，16代入申得=1嘩6，所以欲原方緊程的拉解為笨（4，3）5、分灘離整渡數(shù)部菊分法例5：求雞的整摔數(shù)解漆。解：熱因?yàn)閤=娛-1不是銹方程辨的解候，所敢以原逗方程垮為所以善有x+底1|惹2，即x=信0，-2，1，-3得原琴方程要的解虜為(0樓,4賽),謹(jǐn)(-甲2,約0)速,(奪1,巧3)闖,(碰-3比,1心).6、求退根公話式法例6：求綿的整情數(shù)解者。解：牛把它尋看成x的二屋次方鳥程有由根凍號(hào)里闊面大誰于等字于0，得y只能1，2，3代入經(jīng)得到悉方程調(diào)的解幣為(2術(shù),1扮),池(1機(jī),1行),使(1勺,2繞),誘(3遇,2巨),好(3櫻,3謹(jǐn)),攀(2臉,