固體物理中科大

第六章能帶理論能帶論是目前研究固體中的電子狀態(tài)，說明固體性質(zhì)最重要的理論基礎(chǔ)。它的出現(xiàn)是量子力學(xué)與量子統(tǒng)計在固體中的應(yīng)用的最直接、最重要的結(jié)果。能帶論成功地解決了Sommerfeld自由電子論處理金屬問題時所遺留下來的許多問題，并為其后固體物理學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

能帶論的基本出發(fā)點是認為固體中的電子不再是完全被束縛在某個原子周圍，而是可以在整個固體中運動的，稱之為共有化電子。但電子在運動過程中并也不像自由電子那樣，完全不受任何力的作用，電子在運動過程中受到晶格原子勢場的作用。能帶論的兩個基本假設(shè)：

Born－Oppenheimer絕熱近似：所有原子核都周期性

地靜止排列在其格點位置上，因而忽略了電子與聲子

的碰撞。

Hatree－Fock平均場近似：忽略電子與電子間的相互

作用，用平均場代替電子與電子間的相互作用。即假

設(shè)每個電子所處的勢場完全相同，電子的勢能只與該

電子的位置有關(guān)，而與其他電子的位置無關(guān)。由于以上兩個基本假設(shè)，每個電子都處在完全相同的嚴格周期性勢場中運動，因此每個電子的運動都可以單獨考慮，稱為單電子近似。所以，能帶論是單電子近似的理論。用這種方法求出的電子能量狀態(tài)將不再是分立的能級，而是由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶，所以這種理論稱為能帶論?！?.1Bloch定理一、周期場模型考慮一理想完整晶體，所有的原子實都周期性地靜止排列在其平衡位置上，每一個電子都處在除其自身外其他電子的平均勢場和原子實的周期場中運動，這樣的模型稱為周期場模型。二、Bloch定理在周期場中，描述電子運動的Schr?dinger方程為其中，U(r)=U(r+Rl)為周期性勢場，Rl=l1a1+l2a2+l3a3為格矢，方程的解為：這里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl為周期的周期函數(shù)。這個結(jié)果稱為Bloch定理。——Bloch函數(shù)證明：由于勢場的周期性反映了晶格的平移對稱性，可定義一個平移算符T，使得對于任意函數(shù)f(r)有這里，a，＝1,2,3是晶格的三個基矢。而因為f(r)是任意函數(shù)，所以，TT－TT=0，即T和T可對易。又因為f(r)是任意函數(shù)，所以，T與H也可對易，

即：TH－HT＝0根據(jù)量子力學(xué)可知，T和H有共同本征態(tài)。設(shè)(r)為其共同本征態(tài)，有{＝1,2,3其中是平移算符T的本征值。為了確定平移算符的本征值，引入周期性邊界條件。設(shè)晶體為一平行六面體，其棱邊沿三個基矢方向，N1，N2和N3分別是沿a1，a2和a3方向的原胞數(shù)，，即晶體的總原胞數(shù)為N＝N1N2N3。（設(shè)為非簡并）周期性邊界條件：而得h＝整數(shù)，＝1,2,3所以引入矢量這里b1，b2和b3為倒格子基矢，于是有定義一個新函數(shù)：這表明uk(r)是以格矢Rl為周期的周期函數(shù)。證畢二、幾點討論1.關(guān)于布里淵區(qū)波矢量k是對應(yīng)于平移算符本征值的量子數(shù)，其物理意義表示不同原胞間電子波函數(shù)的位相變化。如1反映的是沿a1方向，相鄰兩個原胞中周期對應(yīng)的兩點之間電子波函數(shù)的位相變化。不同的波矢量k表示原胞間的位相差不同，即描述晶體中電子不同的運動狀態(tài)。但是，如果兩個波矢量k和k’相差一個倒格矢Gn，可以證明，這兩個波矢所對應(yīng)的平移算符本征值相同。對于k：對于k’＝k+Gn：＝1,2,3這表明，這兩個波矢量k和k’＝k＋Gn所描述的電子在晶體中的運動狀態(tài)相同。因此，為了使k和平移算符的本征值一一對應(yīng)，k必須限制在一定范圍內(nèi)，使之既能概括所有不同的的取值，同時又沒有兩個波矢k相差一個倒格矢Gn。與討論晶格振動的情況相似，通常將k取在由各個倒格矢的垂直平分面所圍成的包含原點在內(nèi)的最小封閉體積，即簡約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。若將k限制在簡約區(qū)中取值，則稱為簡約波矢，若k在整個k空間中取值，則稱為廣延波矢。由于h1，h2和h3為整數(shù)，所以，k的取值不連續(xù)，在k空間中，k的取值構(gòu)成一個空間點陣，稱為態(tài)空間點陣。每一個量子態(tài)k在k空間中所占的體積為在k空間中，波矢k的分布密度為在簡約區(qū)中，波矢k的取值總數(shù)為2.Bloch函數(shù)的性質(zhì)Bloch函數(shù)行進波因子表明在晶體中運動的電子已不再局域于某個原子周圍，而是可以在整個晶體中運動的，這種電子稱為共有化電子。它的運動具有類似行進平面波的形式。那么，周期函數(shù)的作用則是對這個波的振幅進行調(diào)制，使它從一個原胞到下一個原胞作周期性振蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進波的特性。晶體中電子：自由電子：孤立原子：可以看出，在晶體中運動電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合。如果晶體中電子的運動完全自由，則；若電子完全被束縛在某個原子周圍，則。但實際上晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有

的形式。周期函數(shù)的性質(zhì)就反映了電子與晶格相互作用的強弱。可以認為，Bloch函數(shù)中，行進波因子描述晶體中電子的共有化運動，即電子可以在整個晶體中運動；而周期函數(shù)因子則描述電子的原子內(nèi)運動，取決于原子內(nèi)電子的勢場。從能量的角度看，如果電子只有原子內(nèi)運動（孤立原子情況），電子的能量取分立的能級；若電子只有共有化運動（自由電子情況），電子的能量連續(xù)取值。由于晶體中電子的運動介于自由電子與孤立原子之間，既有共有化運動也有原子內(nèi)運動，因此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。

需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢場中推導(dǎo)出來的，這是由于人們對固體性質(zhì)的研究首先是從晶態(tài)固體開始的。而周期性勢場的引入也使問題得以簡化，從而使理論研究工作容易進行。所以，晶態(tài)固體一直是固體物理的主要研究對象。然而，周期性勢場并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件，現(xiàn)已證實，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。

電子能帶的形成是由于當原子與原子結(jié)合成固體時，原子之間存在相互作用的結(jié)果，而并不取決于原子聚集在一起是晶態(tài)還是非晶態(tài)，即原子的排列是否具有平移對稱性并不是形成能帶的必要條件。

§6墓.2一維評周期跪場中寺電子凳運動抬的近吵自由疾電子貌近似一、近自惜由電排子近可似在周冰期場到中，搭若電體子的昌勢能蜻隨位學(xué)置的處變化廉（起閥伏）戶比較與小，煎而電牲子的元平均竄動能干要比浸其勢暗能的堅絕對巨值大鳥得多蜘，這椅樣，士電子朝的運瀉動幾另乎是錄自由店的。語因此蘋，我筋們可井以把位自由障電子壁看成陜是它犁的零伐級近起似，丸而將餃周期被場的哨影響鑄看成礦小的摩微擾揪。二、到運動度方程劇與微秋擾計會算Sc淚hr?d妙in蓮ge醒r方程蘿：周期尺性勢遭場：a為晶艦格常秧數(shù)作F香ou濟ri傻er閥展開憶：其中——至勢退能平域均值根據(jù)勿近自譽由電孤子模投型，Un為微邁小量喘。電子州勢能稍為實敢數(shù)，U(x)=U*(x)，盡得Un*=U-n灶。1.份非烘簡并暢微擾這里零級點近似微擾帖項分別依對電獻子能奮量E(k)和影波函扶數(shù)(k)展童開將以繳上各胖展開堅式代更入S驕ch謎r?d妄in詞ge老r方程萄中，夕得零級喬近似側(cè)方程侄：能量好本征罵值：相應(yīng)歸一化波函數(shù)：正交歸一性：一級微擾方程：令代入歌上式兩邊攪同左豪乘補并處積分倡得當k’蔽=k時，當k’k時，由于澡一級嚼微擾攻能量Ek(1驗)＝0濟，所武以還喝需用籃二級邀微擾娃方程抓來求練出二興級微酷擾能質(zhì)量，弄方法外同上活。令代入二級微擾方程中可求得二級撞微擾醉能量貿(mào)：這里＝{Un當k’＝k+2n/a0當k’k+2n/a于是誓，求慈得電管子的缺能量賢為電子孫波函勞數(shù)為其中容易洗證明uk(x)＝uk(x+狹a)，拼是以a為周則期的殼周期蘿函數(shù)圾。可礦見，個將勢服能隨僑位置過變化戒的部滿分當失作微光擾而娘求出斃的近傷似波貨函數(shù)客的確喪滿足雖Bl扎oc榜h定姜理。序這種物波函胳數(shù)由桃兩部治分組成：謹?shù)谝恢鸩糠指笔遣ń輸?shù)為k的行啦進平貫面波第二花部分胞是該螺平面造波受四周期公場的俱影響珍而產(chǎn)貞生的散射釣波。因子是波保數(shù)為k’＝k+2n/a的散靠射波預(yù)的振臥幅。在一渴般情堆況下識，由駁各原孟子產(chǎn)亮生的猶散射秋波的牙位相億各不采相同（k'≠k），因筍而彼蓄此相重互抵遼消，鍬周期楚場對銀行進守平面灶波的諷影響棵不大彎，散彈射波估中各神成分顯的振托幅均助較小取，可惕以用雄微擾熱法處絡(luò)理。但是仁，如尿果由城相鄰瞧原子流所產(chǎn)峽生的滿散射煙波（刊即反王射波野）成偵分有貴相同秧的位域相，趣如行進稍平面江波的波浙長＝斷2唐/壁k番正好燃滿足往條件急2a＝n時保，相乏鄰兩倦原子剪的反它射波經(jīng)就會弱有相紋同的查位相兔，它泊們將軌相互伏加強乞，從蒸而使祥行進賢的平跟面波貨受到磚很大洽干涉卵。這鄙時，貧周期潑場的性影響墻就不夫能當懶作微長擾了當時，即散射輩波中殊，這諒種成躍分的粉振幅鏡變得失無限獅大，牽一級賴修正召項太大以，微剪擾不匹適用健了。課由上裝式可罰求得或這實膠際上輔是B供ra泥gg刻反射都條件裂2asi鍬n＝n久在正餅入射悼情況喬（si毯n＝1細）映的結(jié)棕果。2.漆簡衡并微昨擾當時，非簡并微擾已不適用。這正架是布殿里淵杏區(qū)邊休界方透程。布也就詠是說辛，在現(xiàn)布里景淵區(qū)待邊界擦上這時猜，這元兩個厭態(tài)的弓能量陰相等瓣，為沫簡并耽態(tài)。梯必須傷用簡轟并微少擾來湖處理乎?？山镆哉J璃為和互為儀行進選波和摧反射厚波，良因此纖零級拼近似控的波綠函數(shù)坊是這路兩個剃波的尼線性炊組合萄。實膚際上灶，在k和k’接嗽近布領(lǐng)里淵媽區(qū)邊接界時暈，即{時，卡散射本波已腹經(jīng)相致當強擠了，法因此稻，零市級近襖似的膠波函斃數(shù)也癥必須軋寫成代入針Sc屯hr?d綢in臘ge彎r方程利用和得{由于{上式電分別父左乘k(0愉)*或k’(0薦)*，并透積分評得解得這里方程燦組有仙非零棚解的來條件襪，即踐久期兔方程遮為(1)這表服示k和k’離很布里拜淵區(qū)柜邊界絮還較某遠，挺因而k態(tài)和k’態(tài)姓的能遲量還旅有較遼大的具差別脆，這腹時將語上式熊作T預(yù)ay樓lo異r展遷開得能：{（設(shè)>0）對應(yīng)繡于Ek’(0腹)>Ek(0漫)的情圍況，娘上式旦的結(jié)擠果與具前面露所討宇論的村非簡疲并微嶺擾計需算的鍛結(jié)果必相似化，只欲不過蒜當行忘進波內(nèi)為k態(tài)時危，在輛所產(chǎn)走生的押散射宜波中咐只保冒留了k’態(tài)且的影松響；隔而當至行進蕩波為k’態(tài)朵時，運只保恰留了k態(tài)的狡影響枝。即責(zé)只考飽慮k和k’在嗎微擾滅中的旺相互折影響位，而凝將影唱響小偏的其舉他散節(jié)射波壞忽略效不計娛了。捉影響擠的結(jié)菜果是立使原講來能永量較喜高的k’態(tài)臺能量逐升高餅，而纏能量較低包的k態(tài)的似能量莊降低尺，即叉微擾端的結(jié)懶果使k態(tài)和k’態(tài)的匠能量匪差進探一步犁加大唐。(2)這表播示k和k’很接久近布精里淵斑區(qū)邊駱界的國情況杜，將E±展開碑得由和其中欲為味在布六里淵捎區(qū)邊桿界處自由輛電子案的動舅能。得{以上障的結(jié)雪果表彎明，爽兩個決相互趁影響餃的態(tài)k和k’，儉微擾互后的藥能量銀分別該為E＋和E－，當爬>尚0時歷，k’態(tài)己的能采量比k態(tài)高效，微椒擾后敘使k’態(tài)蜜的能眾量升倉高，棟而k態(tài)的擺能量羞降低烏。當榆0哲時，E分別便以拋題物線給的方河式趨李于TnUn。對于話<碰0，k態(tài)的少能量和比k’態(tài)高陸，微持擾的恐結(jié)果旅使k態(tài)的堂能量疏升高博，而k’態(tài)的脖能量辦降低家。從以駱上的昨分析邊說明燒，由菌于周樂期場賄的微格擾，冰E(吩k)懷函數(shù)怒將在撤布里蛾淵區(qū)吃邊界k=n/a處出復(fù)現(xiàn)不品連續(xù)巧，能勿量的乘突變寸為這個耀能量膛突變怕稱為帝能隙奪，即桶禁帶開寬度錘，這六是周蠢期場貍作用刃的結(jié)圖果。袖而在律離布搬里淵渣區(qū)邊胡界較利遠處湯，電奶子的西能量祥近似市等于覺自由犧電子虜?shù)哪苎浚蚯沂莐的連企續(xù)函糟數(shù)，級這時勁周期邀場對聰電子扶運動箏的影彎響很報小，帖電子殖的運州動性扮質(zhì)與翁自由柱電子展基本竟相同權(quán)。Ek’(0混)Ek(0妖)E－E＋TnTn§6注.3三維丑周期幼場中薄電子谷運動專的近著自由瞇電子堅近似一、否方程妹與微辭擾計恰算方程：周期場：為格矢Fourier展開：勢能函數(shù)的平均值微小量零級近似：微擾項：可由溉自由輝電子餅求出檢零級流近似蠅的歸朗一化拜波函潮數(shù)和蜓能量歌本征挺值與一啄維情銳況類震似，華一級撞微擾真能量侵為一級漏修正更的波梯函數(shù)升和二秤級微糞擾能叮量分捕別為其中＝{當k’＝k＋Gn當k’k＋Gn當k離布柿里淵傲區(qū)邊鑼界較耳遠時黨，由毯于周塔期場乓的影卡響而鳥產(chǎn)生聞的各愿散射廉波成彼分的透振幅椅都很恨小，法可以浩看成雷小的構(gòu)微擾球。但詢是，鹿在布炊里淵進區(qū)邊屈界面家上或弊其附擾近時排，即度當k2(k+Gn)2時，扮這時渡相應(yīng)佩的散詢射波俊成分詞的振族幅變僵得很煮大，政不能踐當作毛小的鼻微擾剖來處羨理，退而要龜用簡錢并微絲式擾來為處理頭。零級稼近似償?shù)牟ㄋ瘮?shù)紗由相志互作疾用強耕的幾鑒個態(tài)值的線憐性組爭合來皇組成殃，由貌此可姑解得臂在布糧里淵各區(qū)邊撤界面傲上簡摟并分劍裂后薄的能故量為需要足指出革的是漿，在賢三維愚情況架下，序在布揚里淵咳區(qū)邊撐界面案上的舍一般摟位置旁，電負子的穩(wěn)能量懸是二煩重簡歲并的夫，即堅有兩區(qū)個態(tài)母的相拳互作陳用強顫，其占零級培近似雷的波趁函數(shù)咸就由布這兩乎個態(tài)謹?shù)木€閃性組系合組敵成；愈而在補布里節(jié)淵區(qū)級邊界鐵的棱蜜邊上暑或頂庫點上哨，則磁可能柴出現(xiàn)蟻能量科多重搶簡并挑的情獲況。春對于勝g重拋簡并范，即贏有g(shù)欠個態(tài)蛾的相雖互作殊用強禿，因犁而，鋼其零唇級近沒似的碌波函突數(shù)就塑需由表這g筒個相味互作甲用強傅的態(tài)貍的線叫性組拆合組乖成，雪由此軋解出品簡并違分裂貨后的陡g個衛(wèi)能量秒值。kk1k2k3kk3k2k1k4k5k6k7kxky二、膠布里罰淵區(qū)唉與能敞帶引入初周期越性邊芝界條墨件后五，在k空間榨中，裁波矢k的取寇值不迷連續(xù)國，k的取漲值密總度為V為晶蹦體體昌積而簡吼約區(qū)莊的體劈燕積＝積倒格稿子原哄胞體固積＝b簡約渾區(qū)中k的取付值總科數(shù)＝(k)彈b＝N緊＝晶歲體原悶胞數(shù)每一踏個k確定膽一個候電子音能級海，根乒據(jù)P拉au程li憑原理餡，每興一個尋能級讀可以菠填充健自旋憐相反常的兩綁個電蠻子。敵因此塌，簡嫌約區(qū)訊中共收可填距充2猴N個偉電子蠟。由于年每一拿個布漢里淵擺區(qū)的攜體積慌都等猶于倒洪格子門原胞疫體積b，所當以，磨每一逐個布場里淵籠區(qū)都貍可以龜填充籍2N僑個電識子。1.En(k)函令數(shù)的關(guān)三種憑圖象在k空間警中，軍電子善能量En(k)函亭數(shù)有融三種搭不同丙的表厲示方聽式，主稱為能三種織布里姐淵區(qū)徐圖象丹。這己三種造表示肝方法蒼是等裂價的蹈，可懲根據(jù)父所考嗎慮問濃題的糾方便糧選擇涂不同某的表傍示方稈法。若波剛矢量k在整伸個k空間峰中取括值，蛙這時促每一梢個布投里淵們區(qū)中熄有一良個能怪帶，疊第n絨個能劃帶在偵第n備個布儲里淵長區(qū)中肆，這遙種表仙示法餐稱為塵擴展監(jiān)的布少里淵六區(qū)圖粱象。ⅠⅡⅡⅢⅢ若將猛波矢惡量k限制趣在簡尤約區(qū)啞中，警由于k和k+Gl所對插應(yīng)的滿平移牌算符悼本征坦值相裳同，掏也就質(zhì)是說煌，所k和k+Gl標志父的原萍胞間乎電子維波函恢數(shù)的敢位相惑變化哥相同躺。在鉛這個奶意義址上，溫可以傍認為k和k+Gl是等游價的升。因阿此，焦可以服將k限制酸在簡意約區(qū)寸中。獲但是由于柔電子惡的能謠量分影為若潔干個壇能帶剝，如繪將所示有能洞帶都產(chǎn)表示孔在簡威約區(qū)今中，柔那么敏，對論于一乎個簡慢約波內(nèi)矢k，就返有若糾干個悶分立項的能畏量值語與之早對應(yīng)撲。我滿們用幟n來規(guī)區(qū)分擠不同宏的能攀帶En(k)。螞對于另給定黃的能怕帶n尤，En(k)是k的連構(gòu)續(xù)函碰數(shù)。ⅠⅡⅡⅢⅢEn(k)的菜這種連表示最法稱姓為簡跡約布建里淵隨區(qū)圖閥象。辛實際儉上，若由于刷我們鐘認為k和k+Gl等價究，因位而，En(k)的善簡約啦布里焦淵區(qū)久圖象朗中的軋第n敲個能蠅帶，畢實際趕上是圣由擴報展布萬里淵抗區(qū)圖順象中屆從第伸n個律布里滋淵區(qū)苗中平域移一妥個倒證格矢Gl而得狼來的盡。由于譯認為k和k+Gl等價求，因稈而可驅(qū)以認芬為En(k)是k空間礎(chǔ)中以腸倒格裂矢Gl為周荷期的垃周期臥函數(shù)釀，即En(k)＝En(k＋Gl)。膽而簡磨約布狠里淵僵區(qū)是隙倒易予空間狐的原乏胞，酷以此倍原胞南為重拔復(fù)單元進杠行平亂移操巨作可市以得番到整課個k空間拘，這腿些單悶元都禍是等斃價的蹄。因降此，對于網(wǎng)同一遷能帶有En(k)＝En(k＋Gl)En(k)的靠這種容表示獄法稱丑為周寺期布弱里淵苗區(qū)圖悟象。擴展作布里院淵區(qū)還圖象馳：不村同的歉能帶撈在k空間政中不謠同的亭布里夸淵區(qū)胸中給叨出；簡約猾布里推淵區(qū)挪圖象幼：所帽有能頌帶都離在簡容約區(qū)圍中給歐出；周期鹽布里腐淵區(qū)鬧圖象屠：在差每一透個布份里淵古區(qū)中女給出魯所有柏能帶臥。2.溉能陶帶重波疊的犁條件我們?nèi)币炎C攤明，向在布貞里淵怠區(qū)內(nèi)趟部，輕電子病能量輔是連廳續(xù)的舉（嚴粥格應(yīng)患為準印連續(xù)銅），排而在淘布里霜淵區(qū)偷邊界富上，巨電子鋒能量外不連恨續(xù)，堵會發(fā)暮生能戒量的晉突變還。在許一維凱情況袋下，陣布里義淵區(qū)環(huán)邊界亂上能犧量的榮突變辛為：E＝E＋－E－＝2伏Un況這就眾是禁或帶的尖寬度撿（能苗隙）轟。但在暈三維風(fēng)情況壤下，撒在布狂里淵驚區(qū)邊捷界上養(yǎng)電子的能量高的突宮變并央不意慈味著中能帶娃間一桂定有內(nèi)禁帶勝的存逼在，征而且許還可弱能發(fā)層生能講帶與害能帶舒的交裕疊。晶這是輕由于紫在三鄙維情每況下賊，在仍布里竟淵區(qū)斥邊界恭上沿貧不同東的k方向讓上，鋒電子賣能量煮的不處連續(xù)途可能屯出現(xiàn)隊的不袖同的筑能量仍范圍犁。因聯(lián)此，蘿在某殖些k言方向串上不根允許訪有某凳些能蓄量值點，而浩在其秀他k筍方向錫上仍名有可網(wǎng)能允腔許有窗這種尤能量蝕，所御以，舟在布惜里淵鉤區(qū)邊寺界面村上能姥量的鏈不連傅續(xù)并憑不一蛛定意研味著蕩有禁趴帶。頌這是株三維摩情況棵與一摩維情糊況的計一個瘡重要繭區(qū)別病?！?夏.4緊束日縛近安似（轟TB黃A）近自矩由電縣子近趟似方匹法認蕉為原摸子實鞭對電考子的程作用梅很弱逃，因久而電連子的衰運動羽基本值上是序自由按的。炊其結(jié)查果主斜要適蔽用于沖金屬朝的價元電子曬，但棄對其繼他晶嚇體中基的電曉子，供即使罪是金拐屬的客內(nèi)層趟電子育也并宵不適素用。在大凡多數(shù)就晶體桑中，元電子床并不祥是那潛么自嗓由的楊，即浴使是貢金屬藥和半亂導(dǎo)體此中，亡其內(nèi)臉層電插子也棚要受糊到原刊子實棟較強暮的束吳縛作幣用。薄在本銅節(jié)，介我們晴將討笨論另究一種滿極端疲情況掙：當晶悅體中腐原子笛的間漫距較號大，鮮因而畝原子依實對丹電子舊有相壺當強歷的束斥縛作守用。恥因此新，當金電子普距某齡個原躍子實棋比較雙近時泛，電翁子的撤運動技主要斤受該撫原子儀勢場截的影鴿響，良這時勿電子青的行挑為同股孤立區(qū)原子場中電織子的偽行為綱相似伯。這干時，鉤可將兇孤立同原子石看成寄零級慶近似理，而翁將其甲他原阿子勢久場的首影響監(jiān)看成兼小的丘微擾燥。這輸種方鼠法稱去為緊沙束縛夾近似腎(燦Ti磨gh葬t(yī)淹Bi許nd碰in秀g育Ap躍pr刻ox閥im勸at景io框n)喉。緊束躲縛近揀似方穗法的凍一個賽突出剪優(yōu)點滿是它貿(mào)可以撫把晶逗體中駱電子竿的能色帶結(jié)夕構(gòu)與逮構(gòu)成鞋這種甚晶體宇的原李子在果孤立注狀態(tài)宣下的傘電子怨能級移聯(lián)系寬起來圾。一、辭模型傾與微勤擾計漁算Rlr-Rlr0如果株不考窮慮原善子間嘗的相攏互影焦響，滲在某話個格崗點Rl附近求的電桶子將以幟原子茅束縛蝦態(tài)j(r-Rl)的刮形式環(huán)繞Rl點運督動（專設(shè)簡醋單晶格，每個劉原胞傻中只潔有一及個原南子）j表示物孤立壟原子瞎波動湖方程的一蓬個本畏征態(tài)損。第l個孤痰立原宏子的生波動闊方程：V(r－Rl)是Rl格點得的原榆子勢傭場，j為某千原子于能級撇，設(shè)退為非娛簡并元。在專晶體販中，涼電子勻運動而的波描動方酬程為?。褐芷谏﹫鯱(r)是包晶體飯中各齒原子霸勢場需之和，在畢緊束病縛近街似中屆，我抵們將孤城立原宗子看弦成零懼級近征似，典而將朵其他歐原子寺勢場狠[U(r)-V(r-Rl)]酸的影徐響看算成微泰擾。由于跌電子促可以充環(huán)繞撈不同存的格替點運滲動，含而環(huán)扣繞不曉同的真格點嘆可得節(jié)到N究個類臭似的育原子洽波函洞數(shù)，哲它們具有木相同歐的能螞量j，即仔這N嫁個態(tài)低的能量是盛簡并相的。所以級，把倚原子拴間的豈相互洗影響公當作糊微擾治是一癥種簡晨并微膏擾法型。微擾句后的掀狀態(tài)部是由抹這N鍛個簡籌并態(tài)眠的線脖性組捕合組目成，悉即用原晨子軌源道j(r-Rl)的淡線性許組合較來構(gòu)蹤蝶成晶遣體中甘電子缸共有慮化運航動的退軌道(r)。所以余，這漆種方業(yè)法也顧稱為筋原子毒軌道極的線智性組石合法奏，簡反稱L葬CA氣O（臣Li悟ne講ar蛙C潮om衛(wèi)bi猴na蓮ti偵on寺o踩f艙At什om浸ic橫O曬rb稿it愿al嘉s）代入褲晶體松中電盟子的講波動棵方程備，并脅利用霸原子壩波動女方程虎得在緊墓束縛床近似隆中，鮮認為企原子鍵間距雀較大中，因腳此可晉以認散為不班同格皂點的j重疊參很少瞎，可冠以近體似看然成正縮慧交。以j*(r-Rn)同叮時左六乘方任程兩沾邊，燙積分搜得令＝r－Rl，并行根據(jù)U(r)究＝U(r＋Rl)百，將曉上式漢積分郵化為這表待明，老積分幻玉值僅召與兩特格點競的相稠對位稍置(Rn－Rl)有題關(guān)，于是播有這是眼關(guān)于電未知蜂數(shù)al(l=嫩1,潑2座,…,勺N)戶的線經(jīng)性齊狹次方蓬程組旋。由蒼于方捆程組游中的的系數(shù)霉由(Rn-Rl)決炸定，棟所以職，方勁程組仇有如蹤蝶下簡泊單形處式的南解：其中撲C為霜歸一帆化因軟子。百代入遷方程歲組得由于切上式俯與n或l都無傅關(guān)，舍這表冶明，者這種屬形式楚的解侮對所嗎有聯(lián)驢立方呀程組糾都化脖為同申一條尚件。督上式而確定乖了這峰種形因式解我所對捐應(yīng)的坊能量恥本征拼值。于是渴，對長于一夾個確長定的k，電難子運許動的崖波函估數(shù)為容易第驗證k(r)為稠Bl橡oc那h函響數(shù)相應(yīng)弄的能強量本茫征值哥為利用捕Bo豎rn句－K顫ar羞ma山n周撿期性德邊界藏條件奏，可任得k的取箱值為h1,h2,h3＝整漂數(shù)由此懸可知仁，在站簡約鐮區(qū)中斬，波某矢k共有任N個仍準連掀續(xù)的導(dǎo)取值垃，即呢可得弦N個究電子客的本超征態(tài)k(r曉)對紗應(yīng)于朱N個揚準連侵續(xù)的k值。似這樣協(xié)，E(k)將亞形成摔一個侍準連峽續(xù)的跳能帶骨。以上悲方向疫說明游，形成畏固體窗時，悼一個砍原子氏能級懂將展灣寬為炒一個容相應(yīng)賠的能虜帶，魔其B習(xí)lo區(qū)ch誓函數(shù)蓮是各旁格點微上原接子波摘函數(shù)j(r-Rl)的笨線性渾組合撇。j(r-Rs)和j(r)表萌示相啟距為Rs的格涼點上挑的原酸子波伙函數(shù)雪，顯止然積典分值芝只有秘當它餓們有準一定縱相互伴重疊柱時，淡才不潛為零折。當Rs＝0蠶時，布兩波教函數(shù)庭完全王重疊榜。其次防，考另慮Rs＝近阻鄰格次矢，技一般滔只需根保留只到近櫻鄰項稀，而拳略去循其他恐影響懶小的粗項，話即可憤得通常狹，能接量本外征值E(k)的脊表達劫式可值進一宴步簡趟化。例1茶：求速簡單欺立方侄晶體井中由蠻電子蟲的s檔態(tài)所叫形成滑的能鄙帶aa由于臘s態(tài)披的原摧子波例函數(shù)打是球蓬對稱肆的，柴沿各湖個方喘向的喊重疊償積分捷相同穿。因怒此，濾對于文不同黨方向付的近畢鄰，脊有對于蝴簡單探立方晃：Rs＝(a脾,說0,染0),昏(霞0,a群,唯0),懷(紫0,岔0故,a)在簡喬單立兇方晶卻格的獸簡約寒區(qū)中點煩：k＝(腥0,伐0腿,皆0)X點而：k＝(/介a,終0撞,必0)R點載：k＝(/薪a,纏島/a栗,妹/撫a)由于部s態(tài)曲波函治數(shù)是稼偶宇旱稱，s(r)=s(-r)，礦所師以，逃在近久鄰重焰疊積燦分中東波函漏數(shù)的悶貢獻怠為正啞，即J1>焦0綢。MXRZSTkxkykz點和儉R點能分別攀對于量能帶毒底和偵能帶與頂，哈所以羞，能泡帶寬設(shè)度J0s}12J1由此柄可見眨，能喘帶的勸寬度兩決定主于J1，而J1的大軋小取蘇決于油近鄰原聰子波燒函數(shù)童間的吼重疊絹，重迷疊越脂多，詢形成注的能雙帶就旁越寬封。能毛量越架低，奮能帶鹿就越變窄；敲能量卡越高冤，能梨帶就拼越寬珍。這嗽是由跟于能丑量最弦低的澡帶對深應(yīng)于供最內(nèi)組層的盡電子藝，其黨電子慘軌道圓很小敵，不貫同原制子間梨波函擠數(shù)的毯重疊籍很少摔，因愧而能洗帶較吩窄；艇而能勾量較阻高的擴能帶培對應(yīng)鄙于外斤層電筐子，待不同走原子福間波版函數(shù)候有較汁多的兼重疊展，因