兩角和與差的正弦余弦和正切公式

學(xué)案5兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考點(diǎn)1考點(diǎn)2填填知學(xué)情課內(nèi)考點(diǎn)突破規(guī)律探究考綱解讀考向預(yù)測考點(diǎn)3返回目錄

考綱解讀兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(1)會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.(2)會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.(3)會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.考向預(yù)測

在選擇題、填空題以及解答題中出現(xiàn)最多的題型就是三角求值問題.解答這類題目需要重視應(yīng)用三角公式對(duì)三角式進(jìn)行變換，需要有熟練的恒等變形能力，故求值題仍將是今后命題的重點(diǎn)內(nèi)容.返回目錄

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1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=

(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=

(S(α+β))tan(α-β)=(T(α-β))tan(α+β)=(T(α+β))cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ前面4個(gè)公式對(duì)任意的α,β都成立,而后面兩個(gè)公式成立的條件是α≠kπ+,β≠kπ+,k∈Z,且α+β≠kπ+(T(α+β)需滿足),α-β≠kπ+(T(α-β)需滿足)k∈Z時(shí)成立,否則是不成立的.當(dāng)tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在時(shí),不能使用公式T(α±β)處理有關(guān)問題,應(yīng)改用誘導(dǎo)公式或其它方法求解.2.要辨證地看待和角與差角,根據(jù)需要,可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q:α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等.返回目錄

3.二倍角公式sin2α=

;cos2α=

=

=

;tan2α=

.4.在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上,要靈活運(yùn)用公式解決問題:如公式的正用、逆用和變形應(yīng)用等.如T(α±β)可變形為:tanα±tanβ=

,tanαtanβ=

=

.

2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α返回目錄

5.函數(shù)f(α)=acosα+bsinα(a,b為常數(shù)),可以化為f(α)=

或f(α)=

,其中可由a,b的值唯一確定.返回目錄

【分析】注意角之間的關(guān)系,切化弦,從題設(shè)代數(shù)式聯(lián)系與三角函數(shù)公式結(jié)構(gòu)的差異,尋找解題思路,同時(shí)將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或通過約分消掉.考點(diǎn)1三角函數(shù)的化簡求值求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.返回目錄

【解析】原式=〔2sin50°+sin10°×(1+)〕·sin80°=(2sin50°+sin10°×)·sin80°=(2sin50°+2sin10°×)·cos10°=(2sin50°+)·cos10°=·2cos10°=2sin60°=2×=.返回目錄

對(duì)于給角求值問題,往往所給角都是非特殊角,解決這類問題的基本思路有:(1)化為特殊角的三角函數(shù)值;(2)化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.返回目錄

求下列各式的值:（1）;（2）返回目錄

(1)原式返回目錄

（2）原式返回目錄

已知tanα=-,cosβ=,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值；（2）求函數(shù)f(x)=sin(x-α)+cos(x+β）的最大值.考點(diǎn)2三角函數(shù)的給值求值問題

【分析】(1)先求出tanβ的值,再求tan(α+β)的值.(2)求出α,β的正、余弦，再展開化簡.返回目錄

【解析】(1)由cosβ=,β=(0,π),得sinβ=,tanβ=2,所以tan(α+β)==1.(2)因?yàn)閠anα=-,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=-,f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值為.返回騾目錄對(duì)于圍給值鄰求值顛問題,即由印給出李的某旦些角尺的三沾角函澆數(shù)的自值,求另記外一之些角攻的三悄角函勝數(shù)值,關(guān)鍵珠在于亭“變堵角”絨，使趴“所策求角持”變串為“禾已知折角”寸，若孫角所青在象諒限沒撞有確飾定，攏則應(yīng)須分類捷討論.應(yīng)注辯意公續(xù)式的劑靈活鴨運(yùn)用,掌握漆其結(jié)居構(gòu)特猾征,還要簡會(huì)拆扛角、赤拼角極等技代巧.返回庫目錄已知α為第二象限角,sinα=,β為第一象限角,cosβ=,求tan(2α-β)的值.

【解析】解法一:,∵α為第二象限角,sinα=,∴cosα=,∴tanα=.∴tan2α=.∵β為第一象限角,cosβ=,∴sinβ=,∴tanβ=,∴tan(2α-β)=.返回螞目錄解法二：∵α為第二象限角，sinα=,∴cosα=.∵β為第一象限，cosβ=,∴sinβ=.故sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=,sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-,cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=-,∴tan(2α-β)=.返回鄙目錄若si陰nα=早,si弄nβ=邀,且α,榮β為銳追角,求α+膊β的值.【分析】欲求α+先β,先求α+月β的一勸個(gè)三濁角函苗數(shù)值,再由α,誓β的范蓄圍確卡定出α+寺β的值.考點(diǎn)3給值營求角君問題【解析】∵α,撈β為銳武角,且si岔nα=恨,si袋nβ=巾,∴co夫sα=遵,co麻sβ=攔.∴co炎s(駕α+懷β)=co毫sα扎co梳sβ樹-s榜in動(dòng)αs恨in近β=瞇.又α,木β均為糖銳角,∴尤0<α+關(guān)β<π,房誠∴α撞+β=抗.返回坡目錄(1僵)通過喚求角裁的某蠢種三工角函隆數(shù)值撥來求訓(xùn)角,在選嫁取函幻玉數(shù)時(shí),可遵罷照下置列原些則:①已知已正切脆函數(shù)宵值,選正章切函路數(shù);②已知確正、鑰余弦竿函數(shù)灰值，泊選正拘弦或令余弦沈函數(shù)減；若叮角的連范圍易是(0，)，選猶正、止余弦代皆可嘗；若某角的筐范圍存是（0，π），政選余沈弦較猜好；雨若角聚的范表圍是(停)，選梢正弦竄較好.(2界)解這決類問臉題的脂一般先步驟妖為:①求角塵的某柏一個(gè)濾三角讓函數(shù)葵值;②確定理角的趁范圍;③根據(jù)遵角的御范圍領(lǐng)寫出終所求倆的角.返回逼目錄已知0<睛α<戚,而0<冷β<脅,且3s劑in謀β=裁si覺n(萌2α哈+β崗),怖4t資an=1取-t滑an2,求α+培β的值.返回混目錄由4t螞an補(bǔ)=1蔑-蠅ta斷n2,得由3s經(jīng)in［(α+鬼β)法-α］=s腔in［(α+攜β)態(tài)+α］,得ta答n(起α+耗β)=刻2t洲an屠α,義∴t曠an案(α抵+β次)=添1.又∵0<蓄α<古,更0<冒β<拐,∴0瘡<α+檔β<陽,∴α+教β=冒.返回波目錄1.巧用姨公式定變形:和差傲角公焦式變凡形:ta齊nx拉±t權(quán)an劍y=t靠an墊(x耽±y笛)·油(1曬t量an疾x·薯ta區(qū)ny寧);倍角丑公式應(yīng)變形:降冪臥公式co浩s2α=錦,旋si呼n2α=燃;配方潑變形龍：1±陸si緞nα魄=（si申n布±co播s）2,1吩+c撕os保α=勢2c誕os2,1西-c助os掘α=錘2s稅in2.2.利用隱輔助巾角公估式求筆最值獅、單六調(diào)區(qū)彼間、懶周期.y拒=as沾in予α+汽bc底o(hù)s幣α=si霉n(稈α+醫(yī)φ)其中ta資nφ=有：胡≥|y害|.返回秒目錄3.重視斗三角氣函數(shù)釘?shù)摹皢T三變襲”：肝“三晚變”撕是指雁“變青角、掉變名凝、變再式”芝；變陽角為機(jī)：對(duì)件角的扎分拆張要盡困可能帶化成僑同名晝、同渴角、兄特殊璃角；特變名鹿：盡扎可能脅減少瘡函數(shù)斤名稱泰；變別式：條對(duì)式系子變浪形一房誠般要杠盡可木能有堪理化近、整醒式化旋、降據(jù)低次作數(shù)等.在解料決求汽值、漫化簡睜、證朋明問輸題時(shí)刪，一途般是應(yīng)觀察預(yù)角度腸、函臥數(shù)名惱、所屋求（挺或所納證明咸）問查題的淹整體喚形式挎中的低差異匠，再楊選擇怎適當(dāng)賢的三璃角公掏式恒裕等變童形.4.已知恥和角草函數(shù)甩值,求單橫角或匹和角榆的三張角函景數(shù)值除的技尊巧:把已姑知條偵件的射和角嫩進(jìn)行勺加減訊或二祥倍角羽后再根加減,觀察脹是不杯是常如數(shù)角,只要示是常幼數(shù)角,就可濁以從供此入團(tuán)手,給這描個(gè)等塵式兩小邊求沙某一促函數(shù)評(píng)值,