空間向量與空間角

空間向量與空間角演示文稿目前一頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點（優(yōu)選）空間向量與空間角目前二頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點空間中的角角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則cosθ＝_____________＝______直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝_____________＝_____二面角設(shè)二面角α-l-β的平面角為θ，平面α、β的法向量為n1，n2，則|cosθ|＝_______________＝_______[0，π]|cos〈a，b〉|2．|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|目前三頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點試一試：若二面角α-l-β的兩個半平面的法向量分別為n1，n2，試判斷二面角的平面角與兩法向量夾角〈n1，n2〉的關(guān)系．提示相等或互補目前四頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點兩異面直線所成角的求法(1)平移法：即通過平移其中一條(也可兩條同時平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后通過解三角形獲解．名師點睛1．直線與平面所成角的求法(1)幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可通過解由斜線段、垂線段和射影線段構(gòu)成的直角三角形獲解．2．目前五頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點二面角的求法(1)幾何法：作出二面角的平面角，然后通過解三角形獲解．(2)向量法：設(shè)二面角α-l-β的兩個半平面的法向量分別為n1，n2.①當平面α、β的法向量與α、β的關(guān)系如圖所示時，二面角α-l-β的平面角即為兩法向量n1，n2的夾角〈n1，n2〉．3．目前六頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點②當平面α、β的法向量與α、β的關(guān)系如圖所示時，二面角α

-l-β的平面角與兩法向量n1，n2的夾角〈n1，n2〉互補．目前七頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點題型一求異面直線的夾角正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1D1、A1C1的中點，求異面直線AE與CF所成角的余弦值．【例1】解不妨設(shè)正方體棱長為2，分別取DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則目前八頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點規(guī)律方法在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構(gòu)建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解．但應(yīng)用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別．目前九頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點

四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出點B、P的坐標；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．【變式1】解

(1)如圖，建立空間直角坐標系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得目前十頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前十一頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點[思路探索]利用正三棱柱的性質(zhì)，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出有關(guān)點的坐標．求角時有兩種思路：一是由定義找出線面角，取A1B1的中點M，連結(jié)C1M，證明∠C1AM是AC1與平面A1ABB1所成的角；另一種是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．題型二求線面角【例2】目前十二頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前十三頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前十四頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前十五頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點規(guī)律方法用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量有關(guān)知識求解線面角．法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算．目前十六頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點【變式2】目前十七頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前十八頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前十九頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點(12分)如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求二面角A-A1D-B的余弦值．題型三二面角的求法【例3】目前二十頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點[規(guī)范解答]如圖所示，取BC中點O，連結(jié)AO.因為△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.目前二十一頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前二十二頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點【題后反思】幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點．而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩直線(或兩向量)所成的角，通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性．目前二十三頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點【變式3】目前二十四頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點目前二十五頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法——向量法和坐標法．這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空間向量的運算，最后把運算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論．這樣就把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量來研究，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想．方法技巧化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問題目前二十六頁\總數(shù)二十九頁\編于十六點(1)證明：直線MN∥平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大?。甗思路分析]建系→求相關(guān)點坐標→求相關(guān)向量坐標→向量運算