高數(shù)課件第十二章11習題課

無窮級數(shù)第十一章習題課四、冪級數(shù)和函數(shù)的求法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法三、求冪級數(shù)收斂域的方法二、利用級數(shù)求數(shù)列極限五、利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和六、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)一、主要內(nèi)容

求和展開(在收斂域內(nèi)進行)【基本問題】判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.為傅立葉級數(shù).為傅氏系數(shù))時,時為數(shù)項級數(shù);時為冪級數(shù);一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:若且則交錯級數(shù)收斂,［概念］且余項若收斂,稱絕對收斂若發(fā)散,稱條件收斂常數(shù)項級數(shù)審斂法表格一覽正項級數(shù)任意項級數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質;一般項級數(shù)4.絕對收斂【例1】

若級數(shù)均收斂,且證明級數(shù)收斂.證:則由題設收斂收斂收斂【練習題】

P2571;2;3;4;5解答提示:P257題2.

判別下列級數(shù)的斂散性:［提示］

(1)據(jù)比較判別法,原級數(shù)發(fā)散.因調和級數(shù)發(fā)散,由此可知,可用比較法的極限形式與∑1/n比較,則容易.利用比值判別法,可知原級數(shù)發(fā)散.用比值法,可判斷級數(shù)再由比較法可知原級數(shù)收斂.收斂,［練習］P257題4.用比值判別法可知:時收斂;時,與p

級數(shù)比較可知時收斂;時發(fā)散.時發(fā)散.P257題3.

設正項級數(shù)和也收斂.［提示］

因存在N>0,又因利用收斂級數(shù)的性質及比較判斂法易知結論正確.都收斂,證明級數(shù)當n>N時【練習】設正項級數(shù)和都收斂,證明級數(shù)P257題5.討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:［提示］

(1)P>1

時,絕對收斂;0<p≤1

時,條件收斂;p≤0

時,發(fā)散.(2)因各項取絕對值后所得大級數(shù)

原級數(shù)絕對收斂.故因單調遞減,且所以原級數(shù)僅條件收斂

.由Leibniz判別法知級數(shù)收斂

;但由于與調和級數(shù)比較,知發(fā)散因所以原級數(shù)絕對收斂.二、利用級數(shù)求數(shù)列極限

【例2】【解】P257題6【解】三、求冪級數(shù)收斂域的方法?

標準形式冪級數(shù):先求收斂半徑R,再討論?非標準形式冪級數(shù)通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性.P257題7.

求下列級數(shù)的收斂域:【練習】【解】當因此級數(shù)在端點發(fā)散,時,時原級數(shù)收斂.故收斂區(qū)間為【解】

因故收斂區(qū)間為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散;?求部分和式極限四、冪級數(shù)和函數(shù)的求法

求和?

映射變換法逐項求導或求積分對和式積分或求導難?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）【例3】求冪級數(shù)［法1］易求出級數(shù)的收斂域為［法2］先求出收斂區(qū)間則設和函數(shù)為［練習］【解】(1)顯然x=0

時上式也正確,故和函數(shù)為而在x≠0P258題8.

求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散,(4)顯然x=0

時,和為0;根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性,有x=1時,級數(shù)也收斂.即得五、利用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和1.利用常見的冪級數(shù)展式求數(shù)項級數(shù)的和【解】

原式=的和.P258題9(2).

求級數(shù)2.構造冪級數(shù)法——阿貝爾法【例4】【解】【例5】【解】（作業(yè)題P39一、5）令x=1

即得六、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法?

直接展開法?間接展開法［練習］（1）將函數(shù)展開成

x

的冪級數(shù).—利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質—利用泰勒公式【解】1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法P258題10(2)將f(x)展開成x的冪級數(shù).【解】（3）設,將f(x)展開成x

的冪級數(shù),的和.(01考研)【解】于是并求級數(shù)機動2.函數(shù)的付式級數(shù)展開法系數(shù)公式及計算技巧;收斂定理;延拓方法［練習］上的表達式為將其展為傅