角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)演示文稿目前一頁\總數(shù)三十五頁\編于三點角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的角OBAC平分線。目前二頁\總數(shù)三十五頁\編于三點OBAC∠AOC=∠BOC∠AOB=2∠AOC=2∠BOC角平分線目前三頁\總數(shù)三十五頁\編于三點

不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？AOBC活動1

再打開紙片，看看折痕與這個角有何關(guān)系？（對折）情境問題目前四頁\總數(shù)三十五頁\編于三點1、如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?活動2情境問題ADBCE

如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？目前五頁\總數(shù)三十五頁\編于三點2、證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）ADBCE目前六頁\總數(shù)三十五頁\編于三點把簡易平分角的儀器放在角的兩邊時，（1）平分角的儀器兩邊AB與AD相等，從幾何作圖角度怎么畫？（2）BC=DC，從幾何作圖角度怎么畫？BA····DC

探究體驗目前七頁\總數(shù)三十五頁\編于三點AＢＭＮＣ作法:⑴以O(shè)為圓心,任意長為半徑作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分別以M,N為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C.⑶作射線OC,射線OC即為所求.0溫馨提示:

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!試一試

由上面的探究可以得出作已知角的平分線的方法

已知:∠AOB.

求作:∠AOB的平分線.目前八頁\總數(shù)三十五頁\編于三點將∠

AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?OABAOBED探究2---做一做目前九頁\總數(shù)三十五頁\編于三點

已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.

求證：PD=PE.AOBPED證一證目前十頁\總數(shù)三十五頁\編于三點已知：∠AOC=∠BOC

，點P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E求證:PD=PEAOBEDPC∵

PD⊥OA，PE⊥OB證明：∴∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴PD＝PE目前十一頁\總數(shù)三十五頁\編于三點角平分線上的點到角的兩邊的距離相等你能用文字語言敘述一下發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？說一說AOBPEDPD⊥OA，PE⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符號表示為：目前十二頁\總數(shù)三十五頁\編于三點目前十三頁\總數(shù)三十五頁\編于三點∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷：目前十四頁\總數(shù)三十五頁\編于三點∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）目前十五頁\總數(shù)三十五頁\編于三點∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等目前十六頁\總數(shù)三十五頁\編于三點練習3如圖，∵OC是∠AOB的平分線，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等目前十七頁\總數(shù)三十五頁\編于三點思考：要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路目前十八頁\總數(shù)三十五頁\編于三點

1、如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC4目前十九頁\總數(shù)三十五頁\編于三點例1:如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝8,BD＝5，則點D到AB的距離為？ACDBE例題講解E目前二十頁\總數(shù)三十五頁\編于三點例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三角形三邊的距離均相等。ABCPEFGMN例題講解目前二十一頁\總數(shù)三十五頁\編于三點例3：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD。OABECD例題講解目前二十二頁\總數(shù)三十五頁\編于三點［教學內(nèi)容9］例題講解變題1如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)

在AC上，且BD=DF，求證：CF=EB.

AFCDBE

合作交流變題2如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.

ACDBE目前二十三頁\總數(shù)三十五頁\編于三點變題1

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因為角的平分線的性質(zhì))再用HL證明.試試自己寫證明。你一定行！目前二十四頁\總數(shù)三十五頁\編于三點A0BMNPC1、如圖，OC平分∠AOB，PM⊥OB于點M，PN⊥OA于點N，△POM的面積為6，OM=6，則PN=_______。2練習目前二十五頁\總數(shù)三十五頁\編于三點2、如圖:△ABC中,∠C=900，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，求證：CF=EB

ACDBEF練習目前二十六頁\總數(shù)三十五頁\編于三點3、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E。求證：△DBE的周長等于AB。ABCDE練習目前二十七頁\總數(shù)三十五頁\編于三點B

思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,問PE=PD?為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點這個角兩邊的距離,所以不一定相等.目前二十八頁\總數(shù)三十五頁\編于三點如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建？思考題目前二十九頁\總數(shù)三十五頁\編于三點練習1：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點Ｐ．求證：點Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ目前三十頁\總數(shù)三十五頁\編于三點豐收樂園目前三十一頁\總數(shù)三十五頁\編于三點◆這節(jié)課我們學習了哪些知識？小結(jié)1、“作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；2、角的平分線的性質(zhì)：111角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等?！逴C是∠AOB的平分線,

又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點到角的兩邊距離相等).EDOABPC幾何語言:目前三十二頁\總數(shù)三十五頁\編于三點回味無窮定理（文字語言）:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.符號語言：∵∠1＝∠2PD⊥OA,PE⊥OB(已知）∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).用尺規(guī)作角的平分線.OCB1A2PDE目前三