電子科大圖論上課及復(fù)習(xí)總結(jié)楊春2

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圖論及其應(yīng)用任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1本次課主要內(nèi)容(一)、連通度的概念與性質(zhì)(二)、描述連通性的其它參數(shù)簡(jiǎn)介網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)性參數(shù)2

1、點(diǎn)連通度與邊連通度的概念定義1給定連通圖G，設(shè)，若G-V'不連通，稱V'為G的一個(gè)點(diǎn)割集，含有k個(gè)頂點(diǎn)的點(diǎn)割集稱為k頂點(diǎn)割。G中點(diǎn)數(shù)最少的頂點(diǎn)割稱為最小頂點(diǎn)割。

例如：(一)、連通度的概念與性質(zhì)G1v5v4v3v2v1v6G2v4v3v2v1在G1中：｛v3｝,｛v5,v3｝,｛v5,v4｝等是點(diǎn)割集。在G2中沒有點(diǎn)割集。3定義2在G中，若存在頂點(diǎn)割，稱G的最小頂點(diǎn)割的頂點(diǎn)數(shù)為G的點(diǎn)連通度；否則稱n-1為其點(diǎn)連通度。G的點(diǎn)連通度記為k(G),簡(jiǎn)記為k。若G不連通，k(G)=0。例如：G1v5v4v3v2v1v6G2v4v3v2v1G1的點(diǎn)連通度k(G1)=1G2的點(diǎn)連通度為k(G2)=3G3G3的點(diǎn)連通度為k(G3)=04定義3在G中，最小邊割集所含邊數(shù)稱為G的邊連通度。邊連通度記為λ(G)。若G不連通或G是平凡圖，則定義λ(G)=0例如：G1v5v4v3v2v1v6G2v4v3v2v1G1的邊連通度λ(G1)=1G2的邊連通度為λ(G2)=3G3G3的邊連通度為λ(G3)=05定義4在G中，若k(G)≧k,稱G是k連通的；若λ(G)≧k，稱G是k邊連通的。例如：G1v5v4v3v2v1v6G2v4v3v2v1G1是1連通的，1邊連通的。但不是2連通的。G2是1連通的，2連通的，3連通的，同時(shí)也是1邊連通的，2邊連通的，3邊連通的。但不是4連通的。6

2、連通度的性質(zhì)

定理1(惠特尼1932)對(duì)任意圖G，有：

證明：(1)先證明λ(G)≦δ(G)去掉最小度頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊后，G不連通，所以：λ(G)≦δ(G)。

(2)再證明k(G)≦

λ(G)由定義，k(G)≦n-1?？紤]最小邊割集G7

情形1則有：G所以有：k(G)≦

λ(G)。

情形2在這種情形下，取8令：于是，G中任意一條(x,y)路必然經(jīng)過T中一些點(diǎn),所以，T為G的一個(gè)點(diǎn)分離集。GTTxTTTy在G中取如下邊集：9則：GTTxTTTy所以：注：(1)定理中嚴(yán)格不等式能夠成立。

k(G)=1,λ(G)=2,δ(G)=3G10

(2)定理中等式能夠成立。k(G)=λ(G)=δ(G)=2G

(3)哈拉里通過構(gòu)圖的方式已經(jīng)證明：

對(duì)任意正整數(shù)a,b,c,都存在圖G，使得：

(4)惠特尼(1907---1989）美國(guó)著名數(shù)學(xué)家。主要研究圖論與拓?fù)鋵W(xué)。先后分別在哈佛和普林斯頓高級(jí)研究院工作。他獲過美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)(1976),Wolf獎(jiǎng)(1983),Steel獎(jiǎng)(1985)。11惠特尼最初學(xué)習(xí)物理，在耶魯大學(xué)獲物理學(xué)士學(xué)位后，又專攻音樂，獲音樂學(xué)士學(xué)位。他一生熱愛音樂，有高度音樂才華，會(huì)彈奏鋼琴，演奏小提琴、中提琴、雙簧管等樂器，曾擔(dān)任普林斯頓交響樂團(tuán)首席小提琴手。值得一提的是，惠特尼創(chuàng)立了微分流形的拓?fù)鋵W(xué)。在該領(lǐng)域，我國(guó)吳文俊等許多拓?fù)鋵W(xué)家做出了貢獻(xiàn)。1932年在他的數(shù)學(xué)博士論文中提出了上面定理。

定理2設(shè)G是(n,m)連通圖，則：

證明：由握手定理：12哈拉里通過構(gòu)圖的方式證明了定理2的界是緊的。即存在一個(gè)(n,m)圖G，使得:

所以：

哈拉里圖1962年，數(shù)學(xué)家哈拉里構(gòu)造了連通度是k,邊數(shù)為的圖Hk,n,稱為哈拉里圖。(1)H2r,n13

作H4,821436570

(2)H2r+1,n(n為偶數(shù))

先作H2r,n,然后對(duì)1≦i≦n/2,i與i+n/2連線。14

作H5,821436570

(3)H2r+1,n(n為奇數(shù))

先作H2r,n,然后對(duì)1≦i≦(n-1)/2,i與i+(n+1)/2連線。同時(shí)，0分別與(n-1)/2和(n+1)/2連線。15作H5,蹤蝶9定理3設(shè)G是(n捕,參m)單圖發(fā)，若采，尾則G連通課。證明讓：若G不連爽通，拾則G至少蘆有兩豬個(gè)連腳通分捐支，噴于是黨，至據(jù)少有器一個(gè)逐分支H，使景得：鋪，增這與塵條件標(biāo)矛盾脅。21436570816定理4設(shè)G是(n壞,禿m)單圖墾，若末對(duì)任近意正蒜整數(shù)k檔,有：則G是k連通斜的。證明晉：任遼意刪觸去k-管1個(gè)頂糊點(diǎn)，襯記所注得之牙圖為H，則厲：由于δ(H質(zhì))是整扎數(shù)，廳故：由定奸理2，H連通束，所猜以，G是k連通跟的。17定理5設(shè)G是n階單蔑圖，奪若則有紐奉：證明陪：若拼不然祥，設(shè)λ(G縱)<δ(G扒).設(shè)G的邊吃割為M,且|M略|=λ(G峽)設(shè)G-析M中G1分支織中與M相關(guān)聯(lián)聯(lián)的標(biāo)頂點(diǎn)型數(shù)為P，顯燃然有榮：λ(G)G1G218我們宿對(duì)G1中頂施點(diǎn)數(shù)殖作估紋計(jì)：由握相手定膚理：又λ(G幸)<δ(G穩(wěn))胡,所以儲(chǔ)：這說精明：G1中至齡少有塑一個(gè)劍頂點(diǎn)x不與G2中頂敏點(diǎn)鄰熊接。而所以段：同理謝，有己：于是科得辟，滑矛盾告！λ(G)G1G2x19(二)、描長(zhǎng)述連律通性癥的其州它參菊數(shù)簡(jiǎn)魄介1、圖眠的堅(jiān)朽韌度點(diǎn)和歸邊連居通度靜對(duì)圖哈的連哪通性誰(shuí)刻畫搜存在爸明顯臭不足鐮，例斧如，權(quán)我們螞觀察蜂如下3個(gè)圖臺(tái)：G1G2G3容易惜知道觀：k(燭G1)=勒k(廳G2)=招k(襖G3)=縱1λ(G1)=λ(G2)=λ(G3)=循1于是陣，從洲點(diǎn)、離邊連艇通度是角度覆不能怨刻畫刺上面3個(gè)圖廳的連豈通性潑程度藍(lán)的區(qū)星別。王很明定顯：G3連通區(qū)性高采于G2,緞G2高于G1。20基于邀此，19頑96年，嗚許進(jìn)械在電翻子學(xué)男報(bào)發(fā)非表文鑄章，喜論述錢了用穴堅(jiān)韌讓度來鎖刻畫輪圖的換連通決程度茄比用衫連通迎度更則精確柿。定義1用C勉(G躲)表示之圖G的全塞體點(diǎn)租割集撐構(gòu)成鴉的集愛合，畢非平刻凡非永完全燦圖的韻堅(jiān)韌淡度，干記作τ(G唉)，定潑義為逼：堅(jiān)韌轟度的反概念娃是圖侮論學(xué)壯家Ch迅va奇ta掩l提出粱來研艘究圖若的哈命密爾撓頓問遷題的緞一個(gè)振圖參但數(shù)。定義2設(shè)G是一吵個(gè)非扇完全n殼(n≧3酷)階連跡通圖達(dá)，S*∈C止(裳G)忠,若S*滿足墊：21稱S*是G的堅(jiān)蝴韌集戲。容易訴知道頓：堅(jiān)俯韌集越是那慣些頂飛點(diǎn)數(shù)汽盡可套能少居，但止產(chǎn)生灣的分鏟支數(shù)掏盡可專能多鈔的點(diǎn)螞割集抬，同廣時(shí)，敗堅(jiān)韌汗集不攤唯一靜。堅(jiān)韌太度與G的連冰通性失有如權(quán)何關(guān)某系？對(duì)于G1與G2,如果|S盤*1|=宜|S中*2|蠢,但ω(G1-S*1)<ω(G1-S遷*1),那么τ(G1)>τ(G2),這說榴明，五堅(jiān)韌績(jī)度大其的圖虎連通妻性好謙。G1G2G3容易壟算出非：τ(G1)狹=0槐.2怨,τ(G2)甲=0治.2遠(yuǎn)5訪,τ(G3)拍=0夕.3缸3箭,于是G3比G2的連擾通性命好，G2比G1的連茫通性貍好。22許進(jìn)膊通過紫上面賢分析慘得出:設(shè)G1與G2是兩筒個(gè)非筋平凡勵(lì)非完何全的傻連通這圖，蠅若τ(G1)>τ(G2),則G1的連菌通性暴比G2好。菜因此拿，堅(jiān)止韌度容可以路作為戶網(wǎng)絡(luò)朽容錯(cuò)潤(rùn)性參牢數(shù)的喝度量兔。許進(jìn)謀還對(duì)悔堅(jiān)韌證度的側(cè)界、聽取值全范圍籍以及仗堅(jiān)韌數(shù)度的夕計(jì)算從問題重作了光一些柏探索瘦。仿照勤點(diǎn)堅(jiān)籌韌度爪，可楚以定色義邊曠堅(jiān)韌蛇度：23許進(jìn),男,弦19撒59年生,陜西盜乾縣夕人.教授,博士碰生指聾導(dǎo)教蝦師.理學(xué)滋、工皺學(xué)雙贏博士巾?，F(xiàn)占任：仍華中帥科技飽大學(xué)故特聘瘡教授違，華懷中科府技大盾學(xué)分螞子生做物計(jì)嚴(yán)算機(jī)舟研究隸所所店長(zhǎng)；拿華中橡科技胡大學(xué)捉系統(tǒng)魔科學(xué)曉研究瞎所所交長(zhǎng)；畫中國(guó)減電路安與系觸統(tǒng)學(xué)鍵會(huì)委草員；魂中國(guó)啊電子匹學(xué)會(huì)期圖論司與系猾統(tǒng)優(yōu)臭化專叨業(yè)委使員會(huì)寸副理脈事長(zhǎng);湖北瞇省運(yùn)幼籌學(xué)找會(huì)（曾籌委群會(huì)）聯(lián)理事登長(zhǎng)。?，F(xiàn)為抱北京狹大學(xué)附計(jì)算象機(jī)系旺教授吉，從漂事軟翻件技姓術(shù)研納究。2、圖訴的核盤度定義3設(shè)G是一嶼個(gè)非枝平凡樂連通隙圖，尚則稱每：為圖勝的核頌度。夕若S*滿足擺：稱S*為圖娘的核泥。24容易旋算出摔：h(抵G1)=朝4本,丸h(車G2)=考3煙,陵h(予G3)=腥2G1G2G3一般沙地，疲核度陽(yáng)越小話，連燭通程監(jiān)度越證高。圖的閉核度微的界僑如何蠢？特殺殊圖替的核僻度問扯題，淋核度倉(cāng)的計(jì)飛算問賠題等稻都是剩值得姿研究拋的問暢題。我國(guó)組歐陽(yáng)扁克智系教授跑等把趕核度洋稱為顫圖的踏斷裂被度，領(lǐng)國(guó)外捎圖論鼠學(xué)者密稱它敲為圖皇的離踏散數(shù)墊。許連進(jìn)把蠟它引江進(jìn)系利統(tǒng)科據(jù)學(xué)中枯，稱擇它為封系統(tǒng)最的核覆度。嫩由此彈，他齒建立扭了系