【同步測試】課后習題-函數(shù)的基本性質

函數(shù)的基本性質

——課后習題習題1根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調區(qū)間及在每一單調區(qū)間上的單調性．單調遞增區(qū)間：［0，2］，［4，5］；單調遞減區(qū)間：［－1，0］，［2，4］．函數(shù)在區(qū)間［－1，0］上單調遞減，在區(qū)間［0，2］上單調遞增，函數(shù)的基本性質在區(qū)間［2，4］上單調遞減，在區(qū)間［4，5］上單調遞增．函數(shù)的基本性質習題2畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說出函數(shù)y＝f（x）的單調區(qū)間及在每一單調區(qū)間上的單調性．（1）y＝x2－5x－6；（2）y＝9－x2．圖略．（2）函數(shù)y＝9－x2在（－∞，0］上單調遞增，在［0，＋∞）上單調遞減．（1）函數(shù)y＝x2－5x－6在

上單調遞減，在

上單調遞增．函數(shù)的基本性質習題3證明：（1）函數(shù)f（x）＝－2x＋1是減函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上單調遞增；（3）函數(shù)f（x）＝1－

（－∞，0）上單調遞增．即f（x1）＞f（x2），所以f（x）＝－2x＋1在R上是減函數(shù)．（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，因為f（x1）－f（x2）＝－2（x1－x2）＞0，函數(shù)的基本性質習題3證明：（1）函數(shù)f（x）＝－2x＋1是減函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上單調遞增；（3）函數(shù)f（x）＝1－

（－∞，0）上單調遞增．（2）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，因為x1－x2＜0，x1＋x2＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2），所以函數(shù)f（x）＝x2＋1在（－∞，0）上單調遞增．則f（x1）－f（x2）＝

＝（x1－x2）（x1＋x2）．函數(shù)的基本性質習題3證明：（1）函數(shù)f（x）＝－2x＋1是減函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上單調遞增；（3）函數(shù)f（x）＝1－

（－∞，0）上單調遞增．（3）任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，則f（x1）－f（x2）＝

．因為x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函數(shù)f（x）＝1－

在區(qū)間（－∞，0）上單調遞增．函數(shù)的基本性質習題4某汽車租賃公司的月收益y（單位：元）與每輛車的月租金x（單位：元）間的關系為y＝

＋162x－21000，那么，每輛車的月租金為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？每輛車的月租金為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元．習題5判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x2＋1；函數(shù)的基本性質（1）偶函數(shù)．（2）奇函數(shù)．（2）f（x）＝

．函數(shù)的基本性質習題6一名心率過速患者服用某種藥物后心率立刻明顯減慢，之后隨著藥力的減退，心率再次慢慢升高．畫出自服藥那一刻起，心率關于時間的一個可能的圖象（示意圖）．自服藥那一刻起，心率關于時間的一個可能的圖象如圖所示．函數(shù)的基本性質習題7已知函數(shù)f（x）＝x2－2x，g（x）＝x2－2x（x∈［2，4］），（1）求f（x），g（x）的單調區(qū)間；（2）求f（x），g（x）的最小值．（1）函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（－∞，1］，單調遞增區(qū)間為［1，＋∞）；函數(shù)g（x）的單調遞增區(qū)間為［2，4］．（2）f（x）的最小值為－1，g（x）的最小值為0．函數(shù)的基本性質習題8（1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)y＝x＋

在區(qū)間［3，＋∞）上單調遞增．（2）討論函數(shù)y＝x＋

在區(qū)間（0，＋∞）上的單調性．（3）討論函數(shù)y＝x＋

（k＞0）在區(qū)間（0，＋∞）上的單調性．（1）任取x1，x2∈［3，＋∞），且x1＜x2，令y＝f（x），因為x1－x2＜0，x1x2＞9，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），則f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）

．所以y＝x＋

在區(qū)間［－3，＋∞）上單調遞增．函數(shù)的基本性質習題8（1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)y＝x＋

在區(qū)間［3，＋∞）上單調遞增．（2）討論函數(shù)y＝x＋

在區(qū)間（0，＋∞）上的單調性．（3）討論函數(shù)y＝x＋

（k＞0）在區(qū)間（0，＋∞）上的單調性．（2）函數(shù)y＝x＋

在區(qū)間（0，3）上單調遞減，在［3，＋∞）上單調遞增．（3）函數(shù)y＝x＋

（k＞0）在區(qū)間（0，

）上單調遞減，在［

，＋∞）上單調遞增．函數(shù)的基本性質習題9設函數(shù)y＝f（x）的定義域為I，區(qū)間D?I，記Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．證明：（1）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞增的充要條件是：?x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；（2）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞減的充要條件是：?x1，x2∈D，x1≠x2，都有

．函數(shù)的基本性質習題9設函數(shù)y＝f（x）的定義域為I，區(qū)間D?I，記Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．證明：（1）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞增的充要條件是：?x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；（1）充分性：因為?x1，x2∈D，x1≠x2，

＞0，所以函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞增．所以

＞0，即f（x1）－f（x2）與x1－x2同號，函數(shù)的基本性質習題9設函數(shù)y＝f（x）的定義域為I，區(qū)間D?I，記Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．證明：（1）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞增的充要條件是：?x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；必要性：因為函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞增，所以?x1，x2∈D，若x1＜x2，則f（x1）＜f（x2），于是有

＞0，即＞0．同理，若x1＞x2，也有

＞0．所以，?x1，x2∈D，x1≠x2，都有

＞0．函數(shù)的基本性質習題9設函數(shù)y＝f（x）的定義域為I，區(qū)間D?I，記Δx＝x1－x2，Δy＝f（x1）－f（x2）．證明：（1）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞增的充要條件是：?x1，x2∈D，x1≠x2，都有

；（2）函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間D上單調遞減的充要條件是：?x1，x2∈D，x1≠x2，都有

．（2）類比（1）中的證明過程可證．函數(shù)的基本性質習題10如圖所示，動物園要建造一面靠墻的兩間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是30m，那么寬x（單位：m）為多少時才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室的最大面積是多少？設矩形熊貓居室的寬為xm，面積為ym2，所以，當x＝5時，y有最大值37.5．所以寬為5m時才能使所建造的熊貓居室面積最大，最大面積是37.5m2．則每間熊貓居室的長為m，那么y＝函數(shù)的基本性質習題11已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝x（1＋x）．畫出函數(shù)f（x）的圖象，并求出函數(shù)的解析式．圖象略，函數(shù)解析式為f（x）＝

函數(shù)的基本性質習題12已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，＋∞）上單調遞減，判斷f（x）在（－∞，0）上單調遞增還是單調遞減，并證明你的判斷．f（x）在（－∞，0）上單調遞增，證明如下：所以f（－x1）＜f（－x2）．又因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（－x1）＝f（x1），f（－x2）＝f（x2）．設x1＜x2＜0，則－x1＞－x2＞0，因為函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調遞減，于是f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－∞，0）上單調遞增．函數(shù)的基本性質習題13我們知道，函數(shù)y＝f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形