【教學】《三角形內(nèi)角和定理》示范教學 省賽獲獎

第七章平行線的證明7.5三角形內(nèi)角和定理第2課時學習目標1．掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個推理，并能運用這些定理解決簡單的問題．2．經(jīng)歷探索與證明的過程，進一步發(fā)展推理能力．3．在一題多解、一題多變中，積累解決幾何問題的經(jīng)驗，提升解決問題的能力．新知導入△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角，稱為△ABC的外角.請試著畫出△ABC的其他外角.新知導入合作探究圖中，∠ACD與其他角有什么關系？請證明你的結(jié)論.發(fā)現(xiàn)：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.合作探究已知：△ABC.求證：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和定理）∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性質(zhì)），∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定義）∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性質(zhì)）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代換）∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.合作探究

在這里，我們通過三角形的內(nèi)角和定理直接推導出兩個新定理.

像這樣，由一個基本事實或定理直接推出的定理，叫做這個基本事實或定理的推論.推論可以當做定理使用.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.典例精析例1已知，如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求證：AD∥BCBACDE證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠B=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAC=∠C（等量代換）∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）典例精析想一想，還有沒有其他的證明方法呢？BACDE典例精析BACDE證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代換）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）典例精析例2如圖，P是△ABC內(nèi)的一點，求證：∠BPC＞∠A.證明：延長BP,交AC于D，∵∠BPC是△PDC的外角(外角定義)∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)．∵∠PDC是△ABD的外角(外角定義)∴∠PDC＞∠A(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)．∴∠BPC＞∠A.課堂練習1.判斷下列命題的對錯.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）（3）三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和.（）（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.（）（5）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角.（）（6）三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角.（）課堂練習2.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定C3.如圖所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,則∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB課堂練習4.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A課堂練習5.如圖，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于()A．110°B．160°C．137°D．115°D課堂練習6.如圖，求證：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.課堂練習證法一：（1）連接AD，并延長AD，如圖，則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性質(zhì)）即：∠BDC>∠BAC.課堂練習證法一：（2）連結(jié)AD，并延長AD，如圖.則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性質(zhì)）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC課堂練習證法二：（1）延長BD交AC于E（或延長CD交AB于E），如圖.則∠BDC是△CDE的一個外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∵∠DEC是△ABE的一個外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）∴∠BDC>∠A（不等式的性質(zhì)）課堂練習證法二：（2）延長BD交AC于E，則∠BDC是△DCE的一個外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）