2017高考題數(shù)學(xué)文真題匯編含答案

數(shù)學(xué)文.參考答案與解析

專題/集合與常用邏輯用語

1.解析：選A.因為A={x|x<2},B={x\3-2x>0}=,所以A(18={加昌，AUB

={小<2}.故選A.

2.解析：選A.依題意得AU8={1,2,3,4},選A.

3.解析：選B.A,B兩集合中有兩個公共元素2,4,故選B.

4.解析：選A.對于非零向量",若存在負數(shù)人使得/?=%",則，"，〃互為相反向

量，則如“<0,滿足充分性；而》"<()包含向量如“互為相反向量或者其夾角為鈍角兩種

情況，故由，"?〃<()推不出，"，”互為相反向量，所以不滿足必要性.所以“存在負數(shù)2,使

得,〃=筋”是",”?〃<()”的充分而不必要條件，故選A.

5.解析：選C.|x—即0<x<2,

則M={x|0<r<2}，又N={x\x<2},

所以MCN=(O,2),故選C.

6.解析：選B.因為方程/-x+l=O的根的判別式/=(-1)2—4=-3<0,又對于二次

函數(shù)y=f—x+1,其圖象開口向上，所以x+l>0恒成立，所以p為真命題.對于命題q,

取a=2,b=-3,22<(-3)2,而2>—3,所以g為假命題，「夕為真命題.因此為真

命題.選B.

7.解析：選C.因為{斯}為等差數(shù)列，所以S4+S6=4ai+6d+6ai+l5d=10m+21d,2ss

=10G+2(W,S4+S6—2S5=d，所以或>0=S4+S6>2S5,故選C.

8.解析：選B.由得0WxW2,因為0WxW2nxW2,xW2,0WxW2,故“2

-x^O"是"h-1|W1”的必要而不充分條件，故選B.

專題2函數(shù)

qin9v

1.解析：選C.由題意，令函數(shù)其定義域為k￡Z],又八-X)

sin(-2r)—sin2大假,所以1x)=—為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,故

1—cos(-x)1—cosx

sin2兀

排除B；因為/§)=3^=0所以排除A；<兀)=

1—cos兀

0,排除D.故選C.

2.解析：選D.由2x—8>0,得x<—2或x>4.因此，函數(shù)危)=皿/—2x—8)的定義

域是(-8,-2)U(4,+8).注意到函數(shù)丫=爐一2x—8在(4,+8)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函

數(shù)的單調(diào)性知，40=111(/—2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+8),選D.

3.解析：選D.易知函數(shù)g(x)=x+中是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)

y=l+x+且V的圖象只需把g(x)的圖象向上平移一個單位長度，結(jié)合選項知選D.

4.解析：選C.由犬x)=*2—2x+a(eLi+er+i),得

7(2—x)=(2—jc)2—2(2—x)H-a[e2_x_1+e^(2-t)+lJ=x2—4x+4—4+2x+a(e|-'+ev-_1)=x2—

2x+a(e'"'+ex+i),所以大2—x)=.*x),即x=1為_/(x)圖象的對稱軸.

由題意，?r)有唯一零點，所以<x)的零點只能為x=l,即區(qū)l)=12-2Xl+a(e「i+er+

D=0,

解得a=T.故選C.

5.解析：選B.由火一》)=育尸-3'=-/(X),知於)為奇函數(shù)，因為y=(g)"在R上是減函

數(shù)，所以>=一《尸在R上是增函數(shù)，又y=3,在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)犬x)=3'—4尸在R

上是增函數(shù)，故選B.

6.解析：選B.7(x)=(%+?)—^+b,①當0W—太1時,—^+b,

f〃2屋],

?r)max=M=max伏0),<l)}=max{A,1+。+〃},所以M—m=maxq~,與〃有關(guān)，

與6無關(guān)；②當一會0時，式x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以M—,〃=/□)一火0)=1+。與a有關(guān)，

與人無關(guān)；③當一會>1時，火x)在[0，1]上單調(diào)遞減，所以加=/(0)—/(1)=-1—a與。有

美,與b無關(guān).綜上所述，M一機與a有關(guān)，但與6無關(guān)，故選B.

7.解析：依題意得，X-2)=2X(-2)3+(-2)2=-12,由函數(shù)大的是奇函數(shù)，得火2)=

->(-2)=12.

答案：12

1131

8.解析：當xWO時，由yu)+y(x—2)=(x+l)+(x—z+l)=2x+]>l,得一jCWO；當

0<xW；時，危)+加一:)=2*+(》一昇1)=2*+》+；>1,即2*+x—*>0,因為2*+》一:>2。+0

—；=；>0,所以0<xW；；當x>￡時，危)+,*x—g)=2*+2x—；>22+20>1,所以x>；.綜上，x

的取值范圍是(一點+8).

答案:T，+8)

專題3導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.解析：選C.法一：由題意知，犬x)=lnx+ln(2—x)的定義域為(0,2),>(x)=ln[x(2—x)]

=ln[-(x-1)2+1],由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù),/(x)=lnx+ln(2-x)在(0,1)單調(diào)遞增，在

11133333

(1,2)單調(diào)遞減，所以排除A,B；又15)=W+ln(2—5)=lnQ八5)=1叼+皿2—5)=1叮，

133

所以程)=肪)=嗚，所以排除D,故選C.

]]2(x—1)

法二：由題意知，_/(x)=lnx+ln(2-x)的定義域為(0,2),f(x)=~+—=—;--.由

XXZX\XZ.)

(x)>0(x)<0

,得0a<1；由，得1a<2,所以函數(shù)次x)=lnx+ln(2-x)在(0,1)單調(diào)

10cx<2[0<x<2

1]I3333

遞增,在(1,2)單調(diào)遞減,所以排除A,B；又>(5)=ln5+ln(2—5)=lnT,X^)=lny+ln(2—

3133

=嗎,所以發(fā))=町)=嗎，所以排除D,故選C.

2.解析：選A.對于選項A,於)=21=(1),貝ije7a)=e'?(；)=0)，因為|>1,所以

邛㈤在R上單調(diào)遞增，所以加)=2)具有M性質(zhì).對于選項8,.")=必，的口尸心也[巧⑶丫

=eA(x2+2x),令ex(x2+2x)>0,得x>0或兀<—2；令e^x2+2x)<0,得一2<x<0,所以函數(shù)巧伏)

在(一8,—2)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—2,0)上單調(diào)遞減，所以段)=/不具有M性質(zhì).對

于選項C,yu)=3r=g),則e%x)=eX?4=(§,因為|<1,所以y=(§在R上單調(diào)遞

減，所以1工)=3丁不具有M性質(zhì).對于選項D,凡r)=cosx,e^)=e'cosx,則[eyU)]，=e，(cos

x-sinx)20在R上不恒成立，故ey(x)=e*cos尤在R上不是單調(diào)遞增的，所以y(x)=cosx不

具有M性質(zhì).

3.解析：選D.原函數(shù)先減再增，再減再增，月.x=0位于增區(qū)間內(nèi)，故選D.

4.解：(1)函數(shù)人X)的定義域為(-8,+8),/(x)=2eZr—ae'-a2=(2e，+a)(eX-a).

①若a=0,則式x)=e%在(-8,+8)單調(diào)遞增.

②若〃>0,則由/(x)=0得x=lna.

當xd(—8,時，/(x)<0；當xG(lna,+8)時，/⑴乂).故您；)在(-8,ma)單調(diào)遞

減，在(Ina,+8)單調(diào)遞增.

③若a<0,則由/(x)=0得x=ln(一3.

當xd(—8,E(一多)時，/。)<0；當xG(ln(一鄉(xiāng)，+8)時，/。)>0.故式x)在(一8,in(一

多)單調(diào)遞減，在(In(一3，+8)單調(diào)遞增.

(2)①若a=0,則/(x)=e巴所以大x)20.

②若G>0,則由⑴得，當x=ln〃時，段)取得最小值，最小值為4n〃)=一油口從而

當且僅當一油口420,即aWl時,於)20.

③若a<0,則由(1)得，當x=ln(一?)時，段)取得最小值，最小值為網(wǎng)口(一$)=*1—m(—

aJ

2)］-從而當且僅當居［廠皿一多］20,即心一2e，時段)20.

3

綜上，。的取值范圍是［一2［，1］.

5.解：(1)必勸=(1—2x一

令/(》)=0得》=_1_y［2,x——1-\-y［2.

當xG(-8,一1一也)時，/。)<0；當xd(-l—也，-1+讓)時，/(x)>0；當xG(一1

+也，+8)時，/(%)<0.

所以危)在(-8,-1-^2),(-1+^2,+8)單調(diào)遞減，在(一1-小，-1+小)單調(diào)

遞增.

(2y(x)=(l+x)(l—x)―

當心1時，設(shè)函數(shù)力(x)=(l-x)e*,h'(x)=-xex<O(.x>O),因此〃㈤在［0,+8)單調(diào)遞減，

而人(0)=1,故/z(x)Wl,所以/(x)=(x+l)/?(x)Wx+lWax+l.

當0<“<1時，設(shè)函數(shù)g(x)=y—x—1,gr(jc)=e*—1>0(.r>0),所以g(x)在［0,+8)單調(diào)遞

增，而g(0)=0,故e*2x+l.

\15—4a—1

當0令<1時x)(l+x)2,(i—工)(1+工)2—奴—1=彳(］—〃—彳―/),取沏=2

則沏￡(0,1),(1—xo)(l+xo)2—aro—1=0,故y(xo)>"o+l.

*\/5-1

當時，取刈=*^—,則x()￡(0,1),兒h)>(1—加(1+元o)2=l2的+1.

綜上，〃的取值范圍是［1,+8).

6.解：的定義域為(0,+8),f(x)=^+2ax+2a+1=(^+1)(2QX+1)

X

當。20,則當x￡(o,+8)時，/。)>0,故於)在(0,+8)單調(diào)遞增.

當。<0,則當x￡(0,一士)時，/(x)>0；

當“e(一七，+8)時，/(%)<0.

故式X)在(0,一士)單調(diào)遞增，在(一5，+8)單調(diào)遞減.

(2)由⑴知，當a<0時，式x)在x=一十取得最大值，最大值為大一書=ln(一9一1一

31131I

所以於方一七一2等價于In(一五)一1一元忘一￡一2,即In(一五)+五+1W0.設(shè)g(x)=

Inx—x+1,則g〈x)=：—l.當x￡(0,1)時，g<x)>0；當］￡(1,+°°)0^,/(%)<().所以g(x)在

(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減.故當％=1時，g(x)取得最大值，最大值為g(l)=0.

所以當x>0時、g(x)WO.從而當〃<0時，ln(一；)+一+1W0,

3

即yu)w一元一2.

7.解：(1)由兀￥)=/—6/—3CI(4—4)x+S,可得

/(元)=3必一12x—3〃(〃-4)=3(x—〃)[x—(4—

令/(x)=0,解得x=〃，或x=4—a由|o|Wl,得a<4—a

當x變化時，/(x),7U)的變化情況如下表：

X(—8,a)(〃，4-a)(4—67,+°0)

+一+

於)

所以，加)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,。)，(4—小+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(〃，4—〃).

.」[s(刈)=ex0，

⑵(i)因為g\x)=e,VU)+/(x)],由題意知，，、所以

[g(M))=exo,

f(xo)e%o=exo，

ex()[f(xo)+f(xo)]=exo，

(xo)=1.

解得“、八

If(Xo)=0.

所以，40在X=xo處的導(dǎo)數(shù)等于0.

(ii)因為gCOWeSxe[xo-l,&+1]，由e'>0,可得益)WL

又因為凡咐=1,/(xo)=O,故xo為於)的極大值點，由⑴知沏=〃.

另一方面，由于|〃|W1,故〃+1<4一小由(1)知7U)在3—1,〃)內(nèi)單調(diào)遞增，在3，a+

1)內(nèi)單調(diào)遞減，故當為0=〃時，段)<加)=1在他-1,。+1]上恒成立，從而gCOWe""在由一1，

沏+1]上恒成立.

由犬〃)=。3—6〃之一3〃(〃-4)〃+〃=1,

得人=2。3—6層+1,—IWaWl.

令心)="一6<+1,xe[-l,1],

所以?x)=6/-12x,令?x)=0,

解得x=2(舍去)，或x=0.

因為《—1)=—7,?1)=—3,*0)=1,

因此，f(x)的值域為[—7,1].

所以，人的取值范圍是[-7,1].

專題4三角函數(shù)與解三角形

1.解析:選B.因為sin8+sinA(sinC—cosQ=0,所以sin(A+C)+sinA-sinC—sinAros

C=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cosA)=

_3兀

0,因為sinCWO,所以sinA+cos4=0,所以tanA=-1,因為A￡(0,TC),所以4=彳，

.V2X21

由正弦定理得sinC="F=-—"X0<C<J,所以C=/.故選B.

a224O

2.解析：選C.依題意得，函數(shù)危）=sin（2x+令的最小正周期7=專=兀，選C.

416

3.解析：選A.將sina—cosa=g的兩邊進行平方，得sin2a—2sinacosa+cos2a=^-,

7

即sin2a=一§,故選A.

6

兀

-干是

4a十

53-

/U）的最大值琮，故選A.

5.解析：選D.因為cosx=*所以cos2x=2cos2x—1=/.選D.

兀2、/^兀

6.解析：因為。仁（0,2）?tana=2,所以sina=~^―,cos?=5J所以COS（Q-R=cos

兀，..兀啦、“2小，木、3V10

acosa十sinasmw=3"X（一^―十卞-）=.

較案.尤

口案.10

7.解析：依題意，得?r）=^sin（x+e）（其中sin<9=友，cos。=七）.因此函數(shù)_/（x）的最

大值是由.

答案：小

〃2+理—/72〃2+—。2/+^2—々2

8.解析：依題意得2Ax—7——=aX———+cX―云一，即/+,2—〃=砒,

^■vtv乙/0C

所以2〃ccosB=ac>0,cosB=]

又OvBv兀，所以8=全

答案：I

9.解析：由正弦定理，得sin8=絆<=遍產(chǎn)-=乎，所以B=45°或135°,因

為b<c,所以8<C,故8=45°,所以4=75°.

答案：75°

10.解析：法一：當角a的終邊在第一象限時，取角a終邊上一點尸i（2吸，1）,其關(guān)于

y軸的對稱點（一2吸，1）在角￡的終邊上，此時sin/?=g；當角a的終邊在第二象限時，取角

終邊上一點尸2（—2啦，1）,其關(guān)于y軸的對稱點（2卷1）在角夕的終邊上，此時sinQ=g.

綜合可得sin/?=1.

法二：令角。與角尸均在區(qū)間（0,兀）內(nèi)，故角a與角夕互補，得sin^=sina=；.

法三：由已知可得，sin￡=sin（2E+兀-a）=sin（兀一a）=sina=g（%￡Z）.

答案：W

n

-+1

67

-

1-5

n-

一6

7

答案.

12.解：^cos2x+|sin2x—sin2x

?巧

=]sin2x+cos2x

兀

=sin(2x+1).

2兀

所以於)的最小正周期r=y=7t.

(2)證明：因為一j;r4嗡rr所以一TT如2x+暴jr學(xué)Sil

TTJI!

所以sin(2x+1)2sin(—4)=—亍

所以當xGL11時,於)》一；.

13.解：(1)由sin與=坐，cos專=-g，

婷)=的--(-"-2g坐X(-0，

得痣)=2.

(2)由cos2x=cos2x—sin2x與sin2x=2sinxcosx得

?x)=-cos2x-巾sin2x=-2sin(2x+*).

所以./U)的最小正周期是兀.

TTTT37r

由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，+2EW2X+KW手+2?,kGZ,

2o2.

7TZll

解得zD+EWJxW-r+E，kRZ,

所以，危)的單調(diào)遞增區(qū)間是總+E，專+T(0).

專題5平面向量、數(shù)系的擴充

與復(fù)數(shù)的引入

1.解析:選C.i(l+i)2=i?2i=-2,不是純虛數(shù)，排除A；i2(l-i)=-(l-i)=-1+i,

不是純虛數(shù)，排除B；(l+i)2=2i,2i是純虛數(shù).故選C.

2.解析：選B.依題意得(l+i)(2+i)=2+i2+3i=l+3i,選B.

3.解析：選A.依題意得(a+b)2—(0—b)2=0,即4a?A=0,a.Lbf選A.

4.解析：選C.z=i(-2+i)=-2i+i2=-1—2i,故復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(—2+i)的點

位于第三象限，故選C.

5.解析：選B.復(fù)數(shù)(1—i)(c,+i)=a+l+(l—〃)i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點3+1,1一a)在

。+1<0,

第二象限，故解得。<一1,故選B.

[1一。>0,

6.解析：選A.因為zi=l+i,所以z=—^=:+l=Li.所以z2=(l—i)2=l+i2—2i=

-2i.選A.

7.解析：因為a+b=(〃z—1,3),a+b與。垂直，所以(加一1)X(—1)+3X2=0,解得

171=1.

答案：7

8.解析：因為Q_LD,所以“?/>=—2X3+3/77=0,解得〃?=2.

答案：2

9.解析：因為?！▋核砸?X6=2九所以2=—3.

答案：一3

[cP—b?=3,a=2,=—2,

10.解析：因為(a+歷/M4—加+ZHinS+H,所以2曲=4所以0=]或人=_[

所以/+b2=5,ab—1.

答案：52

_―?—?-?—?―?—?2-?-?2-*--?1—?2-*■

11.解析:因為BQ=2QC,所以AQ=AB+B￡>=AB+g8C=AB+](AC—AB)=QAB+)AC,

因為涯；=慶一矗，所以助?元=(；初+|同?(灰—油)=

_12/j2、1o

因為NA=60。,A8=3,AC=2,所以病?成=一§*9+§4*4+伎-5><3><2><2=-3+1

3

2+2—2=—4,解得2=萬.

3

答案：ye

12.解：(1)因為a=(cosx,sinx),b=(3,一小),a//b,

所以一審cosx=3sinx.

若cosx=0,則sinx=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,

故cosxWO.

工旦.亞

-TTEtanx=一~g-

又TI],所以

(2)J(x)=ab=(cosxfsinx)-(3,-g)=3cosx—V5sinx=2^/5cosQ+看).

因為xe[0,兀I，所以H色[茅yj,

從而一1-cosg+gW乎.

于是，當x+尹云

即x=0時，於)取到最大值3；當工+袁=冗，

即尸卷時，外)取到最小值一25.

專題6數(shù)列

1.解析：設(shè)等比數(shù)列｛"“｝的公比為g,則由&W2s3得qWl,則53="；了"_卓

6

cat(1~6/)63

Y-1-q~4,

解得4=2,?=；，

貝ija8=a0=；X2，=32.

答案：32

2.解：(1)設(shè)｛““｝的公比為《由題設(shè)可得

G(1+q)=2,

a\(1+4+/)=-6.

解得g=-2,ai=-2.

故｛〃〃｝的通項公式為④=(一2)〃.

上a\(1-^)2,2〃+i

(2)由(1)可得S=--------4-=一Q+(-1)'、一.

n1—q33

42"+3-2"+222'產(chǎn)]

n

由于S"+2+S"+1=-1+(—l)---2----=2[一？+(一1r-y]=2S”故S"+1,Sn,S“+2成

等差數(shù)列.

3.解：設(shè)｛斯｝的公差為d,｛5｝的公比為q,則斯=-1+(〃一l)d,bn=q"'.

由42+歷=2得d+q=3.①

(1)由的十a(chǎn)=5得24+/=6.②

fd=3,\d=\,

聯(lián)立①和②解得八(舍去)，.

[q=0[q=2.

n

因此｛兒｝的通項公式為bn=2~'.

(2)由6=1,-=21得小匕-20=0,

解得q=-5,q=4.

當°=一5時，由①得d=8,則$3=21.

當g=4時，由①得”=一1,則$3=—6.

4.解：(1)因為“1+3。2H-t(2"-l)a,i=2n,故當“22時,”i+342H----卜(2〃-3)an-i

2

=2(〃-1).兩式相減得(2〃-1)斯=2,所以“"=2〃~j~(〃22).

又由題設(shè)可得s=2,

從而｛?。耐椆綖樗?肅不

(2)記｛工簫｝的前〃項和為S,,.

讓,_On____________2_____________1___1

山0)知2九+1=(2〃+1)(2〃-1)=2〃-1-2〃+「

rl?11,11,,112n

則s，=T—3+3-5+…+——萬百二市天

5.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛“〃｝的公差為a

因為。2+4=10,所以2ai+4d=10.

解得d=2.

所以an=2n—\.

(2)設(shè)等比數(shù)列｛兒｝的公比為q.

因為b2b4=。5,

所以"曲43=9.

解得夕2=3.

所以歷“-1=加夕2〃-2=3，口

3"T

從而/?|+仇+匕5+…+岳〃-1=1+3+3?+…+3"1=~z-.

6.證明：（1）因為｛?。堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為d,則呢-1）4從而，當心4

時，4”-*+4"+*=4|+("一％—l)d+ai+(〃+%—lM=2ai+2(〃一l)d=2a,”k=1,2,3,

所以“"-3+”"-2+4"T+斯+1+Cln+2+fln+3=6d”,

因此等差數(shù)列｛斯｝是“尸(3)數(shù)列”.

(2)數(shù)列｛斯｝既是“尸(2)數(shù)列”，又是“尸(3)數(shù)列”,因此,

r=l〃23時，4"匕+4"-I+。"+1+”"+24”,”CD

當n24時，。"-3+。"-2+。"-|+即+1+〃"+2+。"+3=&7".②

由①知，a,,3+??-2=4a,,?—(a?+an+I),③

-

art+2+??+3=4a,i+1(an-1+a,,).④

將③④代入②，得斯-|+知+|=2%，其中w24,

所以的，。4,45,…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為

在①中，取"=4,

則42+43+。5+46=4。4,

所以42=43—"，

在①中,取"=3,則。1+。2+7+的=443,

所以0=〃3—2d,

所以數(shù)列｛?。堑炔顢?shù)列.

專題7不等式、推理與證明

1.解析：選D.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，平移直線y=-x,當直

線經(jīng)過點43,0)時，z=x+y取得最大值，此時Zmax=3+0=3.故選D.

2.解析：選A.依題意，在坐標平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線2r+)，=0(圖

略)，平移直線y=-2A,當直線經(jīng)過點(-6,—3)時，其在x軸上的截距達到最小，此時z

=2x+y取得最小值，Zm"=2X(-6)+(—3)=-15,選A.

3.解析：選D.依題意，由于甲看后還是不知道自己的成績，說明乙、丙兩人必是一個

優(yōu)秀、一個良好，則甲、丁兩人必是一個優(yōu)秀、一個良好，因此乙看了丙的成績就可以知道

自己的成績，丁看了甲的成績就清楚自己的成績，綜合以上信息可知，乙、丁可以知道自己

的成績，選D.

3x+2y—6W0,

4.解析：選B.不等式組＜x20，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直

)20

線/o：y=x,平移直線/o，當直線z=x—y過點A(2,0)時，z取得取大值2,當直線z=x-y

過點B(0,3)時，z取得最小值一3,所以z=x的取值范圍是[-3,2],故選B.

〃70x+60)W600,〃7x+6)W60,

5x+5y230,x+yN6,

5.解：(1)由己知，x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為〈xW2y,即〈x-2yW0,

x20.x20,

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分:

(2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標函數(shù)為z=60x+25y.

考慮z=60x+25y,將它變形為y=一墨+福，這是斜率為一,，隨z變化的一族平行

直線.云為直線在y軸上的截距，當於取得最大值時，z的值最大.又因為x,y滿足約束條件，

所以由圖2可知，當直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點”時，截距》最大，即z最大.

[7x+6y=60,

解方程組'八得點M的坐標為(6,3).

x—2y=0,

所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.

專題8立體幾何

1.解析：選A.對于選項B,如圖所示，連接CZ),因為M,Q分別是所在棱

的中點，所以MQ〃CQ,所以48〃M2，又ABC平面MNQ,MQu平面MNQ,所以〃平

面例NQ.同理可證選項C,D中均有48〃平面MNQ.故選A.

2.解析：選B.依題意，題中的幾何體是用一個平面將一個底面半徑為3、高為10的圓

柱截去一部分后所剩余的部分，可在該幾何體的上方拼接一個與之完全相同的幾何體，從而

形成一個底面半徑為3、高為10+4=14的圓柱，因此該幾何體的體積等于;義m*32)X14

=63兀，選B.

3.解析：選B.球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的看球的半徑為1,則圓柱底面圓的

半徑r=yjl-(；)2=乎,故該圓柱的體積U=7rX(乎)2X1=竽，故選B.

4.解析：選C.由正方體的性質(zhì)，得ABILBCI,BiCIBCi，所以平面ASCQ,

又4Eu平面48iC￡),所以AiE_LBG，故選C.

5.解析：選D.如圖，把三棱錐A-BCO放到長方體中，長方體的長、寬、高分別為5,3,

4,ABCD為直角三角形,直角邊分別為5和3,三棱錐A-BCD的高為4,

故該三棱錐的體積V=|x|x5X3X4=10.

6.解析：選A.由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個圓錐和一個三棱錐組成的，

故該幾何體的體積V=1x1nX3+|x|x2X1X3=^+1,故選A.

7.解析：設(shè)球。的半徑為R,因為SC為球O的直徑，所以點。為SC的中點，連接

AO,OB,因為&4=4C,SB=BC,所以AOJ_SC,BOLSC,因為平面SCAJ■平面SCB,平

面SCAC平面SCB=SC,所以AO_L平面SCB,所以Vs.ABc=SAsBCXAO=1x(1

XSCXOB)XAO,即9=(xgx2RXR)XR,解得R=3,所以球。的表面積為S=4兀序=4兀

X32=36兀

答案：36兀

8.解析：依題意得，長方體的體對角線長為，32+22+12=5,記長方體的外接球的

半徑為R,則有2/?=小，R=2'因此球。的表面積等于4成2=14兀

答案：14兀

Vinr2?2r3

9.解析：設(shè)球。的半徑為r,則圓柱的底面半徑為人高為2r,所以

2-

答案：|3

10.解：(1)由/BAP=NC￡>P=90°,

ABLAP,CD±PD.

由于AB〃C￡),故48_LP￡>,從而A2_L平面鞏D

又4Bu平面出8,所以平面附BJ_平面布D

(2)如圖所示，在平面鞏。內(nèi)作PEJ_A。，垂足為E.

由(1)知，AB_L平面辦。，故AB_LPE,可得PE_L平面ABCD

設(shè)AB=x,則由已知可得A￡>=，5X,「丘=察.

111Q

3

故四棱錐P-ABCD的體積V/MBCDUQAB/DPE與X.由題設(shè)得故x=2.

從而PA=PD=2,AD=BC=2y/2,PB=PC=2\fi.

可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為以?AB+^PDOC+jBCsin60°=6+2小.

11.解：⑴在平面A8CZ)內(nèi)，因為/BA￡)=NABC=90°,所以8C〃AD

又BC<:平面PAD,AOu平面PAD,故BC〃平面PAD.

(2)取AO的中點M,連接PM,CM.由AB=8C=；AO及2C〃AZ),ZABC=90°得四邊

形48cM為正方形，則CM_LAD

因為側(cè)面以。為等邊三角形且垂直于底面ABC。，平面以O(shè)C平面ABCD=AQ,所以

PM1.AD,底面ABCD因為CMu底面A8C￡),所以PM_LCM.

設(shè)BC=x,則CM=x,CD=^2x,PM=g,PC=PO=2x.取CO的中點M連接PM

則PNLCO,所以吶=半工

因為△P(?￡)的面積為2巾，所以￡小xX華x=2中,

解得x=-2（舍去），x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2小.

所以四棱錐P-ABCD的體積V=|x2（2^4）-\273=4^3.

12.解：⑴取AC的中點0,連接。0,BO.

因為AD=C。，所以AC_LQ0.

又由于△ABC是正三角形，所以ACJ_B0.

從而AC_L平面。0B,故AC_LBD

(2)連接E0.

由(1)及題設(shè)知NADC=90°,所以DO=AO.

在Rt/XAOB中，BO2+AO2=AB2.

又AB=BD,所以

BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故/。。8=90°.

由題設(shè)知△4EC為直角三角形，所以《。=夕。

又△A8C是正三角形，且AB=B￡>,所以

故E為8。的中點,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的;,四面體ABCE

的體積為四面體ABCD的體積的;，即四面體ABCE與四面體ACQE的體積之比為1：1.

13.解：(1)因為P4_LA8,PAA.BC,

所以用J_平面ABC.

又因為B￡>u平面ABC,所以以

(2)因為AB=8C,。為4c的中點，

所以BDVAC.

由(1)知，PALBD,所以BOJ_平面以C.

所以平面B￡?E_L平面PAC.

(3)因為以〃平面BOE,平面aicn平面BOE=OE,

所以PA//DE.

因為。為AC的中點，

所以O(shè)E=；M=1,BD=DC=小.

由⑴知,出，平面ABC,

所以O(shè)E_L平面ABC.

所以三棱錐E-BCD的體積V=^BDDCDE=^.

14.證明：(1)在平面ABO內(nèi)，因為EF1.AD,所以EF〃AB.

又因為EFQ平面ABC,48u平面ABC,

所以痔〃平面A8C.

(2)因為平面平面BCD,

平面48。A平面BCD=BD,

BCu平面BC￡>,BCLBD,

所以8c_L平面A8D

因為AQu平面ABZ),所以BC_L4D

XAB1AD,BCQAB=B,A8u平面ABC,8Cu平面ABC,

所以AO_L平面ABC.

又因為ACu平面ABC,

所以AO_LAC.

15.解：⑴如圖，設(shè)中點為F,連接EF,FB.因為E,F分別為PD,孫中點，所以

EF//AD且EF=^AD,

又因為8C〃A。，BC=^AD,所以E尸〃BC且EF=BC,

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE//BF,因此CE〃平面B4B.

(2)分別取8C,A。的中點為M,N.連接PN交EF干點、Q,連接例Q.

因為E,F,N分別是PD,PA,AD的中點，所以Q為EF中點，在平行四邊形BCEF

中，MQ//CE.

由△力。為等腰直角三角形得PNJLAD.

由DCLAD,N是AO的中點得BNLAD.

所以AQ_L平面PBN,

由BC//AD得8CJ_平面PBN,那么平面P8CJL平面PBN.

過點。作P8的垂線，垂足為H,連接

是MQ在平面PBC上的射影，所以NQM”是直線CE與平面P8C所成的角.

設(shè)CD=1.

在△P(7￡>中，由PC=2,CD=1,PO=娘得CE=正，

在△PBN中，由PN=BN=1,尸8=小得QH=；,

在RtAMQH中，?！?"，MQ=小,

J2

所以sinNQMH=**,

O

所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是半.

16.解：(1)如圖，由已知A￡>〃8C,故ND4P或其補角即為異面直線4P與8c所成的

角.因為AO_L平面PDC,所以AQ_LPD在Rt^PDA中，由已知，得AP=6的而=鄧,

,ADA/5

故cosZDAP=~r^=-^~.

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值萬g.

(2)因為AOJ_平面POC,直線P￡)u平面PDC,所以AOJ_PD又因為BC//AD,所以

PDLBC,又PDLPB,所以尸。_1_平面尸8c.

⑶過點。作A8的平行線交BC于點F,連接PF,則。F與平面PBC所成的角等于A8

與平面PBC所成的角.

因為平面PBC,故PF為DF在平面P8C上的射影，所以/OFP為直線DF和平

面尸8c所成的角.

由于A￡?〃BC,DF//AB,故BF=AO=1,由已知，得CF=BC—BF=2.

5LADA.DC,故8CJ-OC,在RtaOC尸中，可得￡>/=返廬互誦=24，在RtZ\￡>PF

中，可得sin/QFP=^=坐.

UrJ

所以，直線A8與平面