2021屆云南某中學(xué)高三適應(yīng)性月考(二)數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

2021屆云南師大附中高三適應(yīng)性月考（二）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出集合A,再求交集.【詳解】由題意知，，所以，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求分式不等式和集合求交集，屬于基礎(chǔ)題.2．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1748年得到復(fù)數(shù)的三角方程：（i為虛數(shù)單位），根據(jù)此公式可知，若，則的一個(gè)可能值為（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)條件由可得，即且，可得答案.【詳解】根據(jù)條件由則，所以且所以故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相等，考查新定義，屬于基礎(chǔ)題.3．sin45°cos15°+cos45°sin15°的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用兩角和與差的正弦公式求得答案.【詳解】解：sin45°cos15°+cos45°sin15°＝sin（45°+15°）＝sin60°，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式.屬基礎(chǔ)題.4．已知雙曲線的方程為，雙曲線右焦點(diǎn)F到雙曲線漸近線的距離為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點(diǎn)到漸近線的距離，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“一個(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，知長(zhǎng)排來(lái)爭(zhēng)三歲，其年二百七歲期借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推”大致意思是：一個(gè)公公九個(gè)兒子，若問(wèn)他們的生年是不知道的，但從老大的開(kāi)始排列，后面兒子比前面兒子小3歲，九個(gè)兒子共207歲，問(wèn)老大是多少歲?（）A．38 B．35 C．32 D．29【答案】B【解析】由題意，將九個(gè)兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，九個(gè)兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.6．為了更好地配合我市“文明城市”的創(chuàng)建工作，我校開(kāi)展了”文明行為進(jìn)班級(jí)”的評(píng)比活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)甲.乙兩個(gè)年級(jí)進(jìn)行評(píng)比，從甲.乙兩個(gè)年級(jí)中隨機(jī)選出10個(gè)班級(jí)進(jìn)行評(píng)比打分，每個(gè)班級(jí)成績(jī)滿分為100分，評(píng)分后得到如圖所示的莖葉圖，通過(guò)基葉圖比較甲、乙兩個(gè)年級(jí)成績(jī)的平均數(shù)及方差大小（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可分別計(jì)算求得平均數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分散程度可確定方差大小.【詳解】，，；由莖葉圖可知，甲年級(jí)的成績(jī)集中在多分，即集中在平均分附近，而乙年級(jí)的成績(jī)比較分散，所以.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)莖葉圖比較平均數(shù)和方差的大小關(guān)系問(wèn)題；比較方差大小的關(guān)鍵是明確數(shù)據(jù)越集中，則方差越小，屬于基礎(chǔ)題.7．若是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的直徑，C為圓外一點(diǎn)，且.則（）A．3 B．C．0 D．不確定，隨著直徑的變化而變化【答案】A【解析】將通過(guò)向量加法的三角形法則用表示出來(lái)即可.【詳解】如圖，，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，關(guān)鍵是將用知道模的向量來(lái)表示，是基礎(chǔ)題.8．已知圓M的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線l與圓M相交的所有弦中，弦長(zhǎng)最短的弦為，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)的弦為，則四邊形的面積為（）A．30 B．40 C．60 D．80【答案】B【解析】由題可知點(diǎn)在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點(diǎn)的弦，過(guò)最長(zhǎng)的弦為直徑，求出后即可求出四邊形面積.【詳解】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓是以為圓心，5為半徑的圓，且由，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點(diǎn)的弦，所以，所以，過(guò)最長(zhǎng)的弦為直徑，所以，且，故而.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9．正四面體的俯視圖為邊長(zhǎng)為1的正方形，則正四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，該正四面體可以看成邊長(zhǎng)為1的正方體六個(gè)面對(duì)角線組成的正四面體，則正四面體的外接球，即為邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球，從而可求出球的半徑，得出球的表面積.【詳解】如圖，該正四面體可以看成棱長(zhǎng)為1的正方體六個(gè)面對(duì)角線組成的正四面體，所以正四面體的外接球，即為邊長(zhǎng)為1的正方體的外接球，所以外接球的半徑為，則該外接球的表面積為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求幾何體外接球的表面積，屬于?？碱}型.10．已知，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．即是奇函數(shù)也是周期函數(shù) B．的最大值為C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義及判定，可判定A是正確的；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可判定C、D是正確的；由，令，利用求導(dǎo)方法求函數(shù)的最值，即可判定B選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以是奇函數(shù)；且，所以又是周期函數(shù)，所以A是正確的；由，即，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以C是正確的；由，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以D是正確的；由，令，，令，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，的極大值為，所以的最大值為，即函數(shù)的最大值為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的函數(shù)的基本性質(zhì)的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的周期性、對(duì)稱性，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.11．已知拋物線C：，為的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于、兩點(diǎn)，則下面陳述不正確的為（）A． B．C． D．記原點(diǎn)為，則【答案】D【解析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，代入選項(xiàng)中進(jìn)行整理可知正確；，知錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)直線，，，由得：，，，，，故正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)亦成立，故正確；，故正確；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)亦成立，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到拋物線焦半徑公式的應(yīng)用、拋物線中三角形面積問(wèn)題的求解等知識(shí)；本題中的各個(gè)選項(xiàng)屬于拋物線問(wèn)題中與過(guò)焦點(diǎn)的直線有關(guān)的常用結(jié)論，熟記結(jié)論可減少計(jì)算證明時(shí)間.12．下列四個(gè)命題：①②③④，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可直接判定①正確；令，導(dǎo)數(shù)的方法判定其單調(diào)性，得到，可判斷②錯(cuò)；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可判斷③正確；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷④錯(cuò)誤；進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由，故①正確；由，令，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取到最大值，所以，故②錯(cuò)誤；令，，所以，所以，即，故③正確；由，所以，由，所以，故④錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查比較對(duì)數(shù)的大小，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，以及導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，屬于?？碱}型.二、填空題13．若x，y滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_____【答案】13【解析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上截距，只需求出直線在軸上的截距最小值即可.【詳解】約束條件所表示的線性區(qū)域，如圖所示，又由題意知：表示直線在軸上截距得，得，在點(diǎn)處取得最大值，所以的最大值為13.故答案為：13【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題.14．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且三條邊a，b，c成等比數(shù)列，則的值為_(kāi)_____【答案】【解析】由正弦定理和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理知：，又，所以，從而由余弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過(guò)正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.15．已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____【答案】【解析】函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為與直線有三個(gè)交點(diǎn)，對(duì)分類討論，當(dāng)時(shí)不滿足條件，當(dāng)時(shí)求出過(guò)原點(diǎn)與函數(shù)在上的切線，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程，有三個(gè)解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，又有為過(guò)原點(diǎn)的直線由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有有三個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件.當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)為的切線的時(shí)候，方程恰有兩個(gè)解，故而，令為的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的方程為，由于切線過(guò)原點(diǎn)，所以，即，此時(shí)直線的斜率為，由題意知，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)切線的求法，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

16．邊長(zhǎng)為1的正方體，點(diǎn)P為面對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____【答案】【解析】將對(duì)角面與平面放到同一個(gè)平面，化曲為直，連接，取的中點(diǎn)I，在利用勾股定理即得．【詳解】如圖甲，將等邊沿向后旋轉(zhuǎn)到與面共面，得到等邊，則的最小值即為圖乙中線段的長(zhǎng)，取的中點(diǎn)I，由題意知：等邊的邊長(zhǎng)為，四邊形是以，的矩形，所以.【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題17．記為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求證：【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）（1）先求，再當(dāng)時(shí)，由求得，判斷數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，最后求數(shù)列的通項(xiàng)公式；.

（2）由，用裂項(xiàng)相消法求和可證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由，所以，解得，當(dāng)時(shí)，由①，則②，由①式減去②式得，即，由題意知，，所以，則數(shù)列為，公差為2的等差數(shù)列，所以.（2）證明：由（1）知，，所以，【點(diǎn)睛】本題考查由求，利用放縮法和裂項(xiàng)相消法證明不等式，是中檔題.18．如圖，在等腰梯形中，，，將沿著翻折，使得點(diǎn)D到點(diǎn)P，且.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，證得和，結(jié)合線面垂直的判定定理，得出平面，進(jìn)而證得平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，利用，即可求解.【詳解】（1）由等腰梯形中，，可得，又由，所以,又因?yàn)?，且，所以平面，又由平面，所以平面平?（2）如圖①所示，取的中點(diǎn)E，連接，，，則為菱形，且，則，記垂足為O，則，，由（1）知，平面平面，如圖②所示，又，所以平面，由（1）知，平面，即，又，所以，所以，在中，由，，，所以，所以，則，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由，得，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面垂直的判定與證明，以及點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及利用“等體積法”求解點(diǎn)到平面距離是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與計(jì)算能力.19．為了調(diào)查高中生文理科偏向情況是否與性別有關(guān)，設(shè)計(jì)了“更擅長(zhǎng)理科，理科文科無(wú)差異，更擅長(zhǎng)文科三個(gè)選項(xiàng)的調(diào)查問(wèn)卷"，并從我校隨機(jī)選擇了55名男生，45名女生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.問(wèn)卷調(diào)查的統(tǒng)計(jì)情況為：男生選擇更擅長(zhǎng)理科的人數(shù)占，選擇文科理科無(wú)顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長(zhǎng)文科的人數(shù)占：女生選擇更擅長(zhǎng)理科的人數(shù)占，選擇文科理科無(wú)顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長(zhǎng)文科的人數(shù)占.根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下列聯(lián)表.更擅長(zhǎng)理科其他合計(jì)男生女生合計(jì)附：，其中.0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828（1）請(qǐng)將的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有的把握認(rèn)為文理科偏向與性別有關(guān)；（2）從55名男生中，根據(jù)問(wèn)卷答題結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，采取分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選取2人，求所選的2人中恰有1人更擅長(zhǎng)理科的概率【答案】（1）表格見(jiàn)解析，有的把握；（2）.【解析】（1）本題首先可根據(jù)題意將的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，然后計(jì)算出的值并與表中數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)題意得出選取的5人中更擅長(zhǎng)理科和不更擅長(zhǎng)理科的人數(shù)，然后列出任取2人的所有可能情況，再然后列出2人中恰有1人更擅長(zhǎng)理科的所有可能情況，最后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）補(bǔ)充的列聯(lián)表如下：更擅長(zhǎng)理科其他合計(jì)男生223355女生93645合計(jì)3169100則，故有的把握認(rèn)為文理科偏向與性別有關(guān).（2）由題意可知，選取的5人中，有2人更擅長(zhǎng)理科，3人不更擅長(zhǎng)理科，用、表示更擅長(zhǎng)理科的兩人，用、、表示其他三人，則從這5人中，任取2人共有以下10種情況：、、、、、、、、、，滿足所選的2人中恰有1人更擅長(zhǎng)理科的有、、、、、，共6種情況，故所選的2人中恰有1人更擅長(zhǎng)理科的概率.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用以及古典概型的概率計(jì)算公式，能否列出所有的可能情況以及滿足限制條件的所有可能情況是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是中檔題.20．已知點(diǎn)，，點(diǎn)P滿足：直線的斜率為，直線的斜率為，且（1）求點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得為定值?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】（1）由點(diǎn)，運(yùn)用直線的斜率公式，結(jié)合，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)，使得為定值，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，令，，表示出，代入韋達(dá)定理計(jì)算可得定值，并檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)也成立．【詳解】（1）由題意知：，，由，即，整理得點(diǎn)的軌跡C的方程為：.（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)，使得為定值.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程消去y得，令，，則，，由，，所以，將看成常數(shù)，要使得上式為定值，需滿足，即，此時(shí)；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得，，，所以，，，綜上所述，存在，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定值問(wèn)題的應(yīng)用，考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．21．已知（1）若，求的最大值；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明:.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最大值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則，即為方程的兩個(gè)不同的正根，表示出，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)，并利用構(gòu)造新函數(shù)判斷單調(diào)性和最值的方法證得命題成立．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，則在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且有，當(dāng)時(shí)，，即為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即為上的減函數(shù)，所以.（2）證明：由題意知：由，則，即為方程的兩個(gè)不同的正根，故而需滿足：，解得，所以令，，令，所以；則為上的減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，即為上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即為上的減函數(shù)，所以，所以，證畢.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查學(xué)