2021屆云南某中學高三適應(yīng)性月考(二)數(shù)學(文)試題(解析版)

2021屆云南師大附中高三適應(yīng)性月考（二）數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出集合A,再求交集.【詳解】由題意知，，所以，故選:D.【點睛】本題考查求分式不等式和集合求交集，屬于基礎(chǔ)題.2．瑞士數(shù)學家歐拉在1748年得到復數(shù)的三角方程：（i為虛數(shù)單位），根據(jù)此公式可知，若，則的一個可能值為（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)條件由可得，即且，可得答案.【詳解】根據(jù)條件由則，所以且所以故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的相等，考查新定義，屬于基礎(chǔ)題.3．sin45°cos15°+cos45°sin15°的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用兩角和與差的正弦公式求得答案.【詳解】解：sin45°cos15°+cos45°sin15°＝sin（45°+15°）＝sin60°，故選：B.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式.屬基礎(chǔ)題.4．已知雙曲線的方程為，雙曲線右焦點F到雙曲線漸近線的距離為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求得右焦點的坐標和漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的右焦點為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點到漸近線的距離，故選：C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．我國古代數(shù)學名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“一個公公九個兒，若問生年總不知，知長排來爭三歲，其年二百七歲期借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推”大致意思是：一個公公九個兒子，若問他們的生年是不知道的，但從老大的開始排列，后面兒子比前面兒子小3歲，九個兒子共207歲，問老大是多少歲?（）A．38 B．35 C．32 D．29【答案】B【解析】由題意，將九個兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，九個兒子的年齡可以看成以老大的年齡為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，解得，故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的簡單應(yīng)用，考查等差數(shù)列前項和公式的基本量運算，屬于基礎(chǔ)題型.6．為了更好地配合我市“文明城市”的創(chuàng)建工作，我校開展了”文明行為進班級”的評比活動，現(xiàn)對甲.乙兩個年級進行評比，從甲.乙兩個年級中隨機選出10個班級進行評比打分，每個班級成績滿分為100分，評分后得到如圖所示的莖葉圖，通過基葉圖比較甲、乙兩個年級成績的平均數(shù)及方差大?。ǎ〢．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可分別計算求得平均數(shù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分散程度可確定方差大小.【詳解】，，；由莖葉圖可知，甲年級的成績集中在多分，即集中在平均分附近，而乙年級的成績比較分散，所以.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)莖葉圖比較平均數(shù)和方差的大小關(guān)系問題；比較方差大小的關(guān)鍵是明確數(shù)據(jù)越集中，則方差越小，屬于基礎(chǔ)題.7．若是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的直徑，C為圓外一點，且.則（）A．3 B．C．0 D．不確定，隨著直徑的變化而變化【答案】A【解析】將通過向量加法的三角形法則用表示出來即可.【詳解】如圖，，故選：A.

【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的運算，關(guān)鍵是將用知道模的向量來表示，是基礎(chǔ)題.8．已知圓M的方程為，過點的直線l與圓M相交的所有弦中，弦長最短的弦為，弦長最長的弦為，則四邊形的面積為（）A．30 B．40 C．60 D．80【答案】B【解析】由題可知點在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點的弦，過最長的弦為直徑，求出后即可求出四邊形面積.【詳解】圓M的標準方程為，即圓是以為圓心，5為半徑的圓，且由，即點在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點的弦，所以，所以，過最長的弦為直徑，所以，且，故而.故選：B.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題.9．正四面體的俯視圖為邊長為1的正方形，則正四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，該正四面體可以看成邊長為1的正方體六個面對角線組成的正四面體，則正四面體的外接球，即為邊長為1的正方體的外接球，從而可求出球的半徑，得出球的表面積.【詳解】如圖，該正四面體可以看成棱長為1的正方體六個面對角線組成的正四面體，所以正四面體的外接球，即為邊長為1的正方體的外接球，所以外接球的半徑為，則該外接球的表面積為，故選：C.【點睛】本題主要考查求幾何體外接球的表面積，屬于?？碱}型.10．已知，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．即是奇函數(shù)也是周期函數(shù) B．的最大值為C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義及判定，可判定A是正確的；根據(jù)函數(shù)的對稱性，可判定C、D是正確的；由，令，利用求導方法求函數(shù)的最值，即可判定B選項錯誤.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，又由，所以是奇函數(shù)；且，所以又是周期函數(shù)，所以A是正確的；由，即，所以關(guān)于直線對稱，所以C是正確的；由，所以關(guān)于點對稱，所以D是正確的；由，令，，令，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，的單調(diào)遞增區(qū)間是，的極大值為，所以的最大值為，即函數(shù)的最大值為，故B選項錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的函數(shù)的基本性質(zhì)的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的周期性、對稱性，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和應(yīng)用導數(shù)求最值是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.11．已知拋物線C：，為的焦點，過焦點且傾斜角為的直線與交于、兩點，則下面陳述不正確的為（）A． B．C． D．記原點為，則【答案】D【解析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，代入選項中進行整理可知正確；，知錯誤.【詳解】設(shè)直線，，，由得：，，，，，故正確；當時，，當時，經(jīng)檢驗亦成立，故正確；，故正確；當時，,當時，經(jīng)檢驗亦成立，故錯誤.故選：.【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到拋物線焦半徑公式的應(yīng)用、拋物線中三角形面積問題的求解等知識；本題中的各個選項屬于拋物線問題中與過焦點的直線有關(guān)的常用結(jié)論，熟記結(jié)論可減少計算證明時間.12．下列四個命題：①②③④，其中真命題的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可直接判定①正確；令，導數(shù)的方法判定其單調(diào)性，得到，可判斷②錯；根據(jù)對數(shù)的運算法則，可判斷③正確；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷④錯誤；進而可得出結(jié)果.【詳解】由，故①正確；由，令，，所以當時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減，所以時，取到最大值，所以，故②錯誤；令，，所以，所以，即，故③正確；由，所以，由，所以，故④錯誤.故選：B.【點睛】本題主要考查比較對數(shù)的大小，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)的運算法則，以及導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，屬于?？碱}型.二、填空題13．若x，y滿足約束條件，則的最大值為______【答案】13【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上截距，只需求出直線在軸上的截距最小值即可.【詳解】約束條件所表示的線性區(qū)域，如圖所示，又由題意知：表示直線在軸上截距得，得，在點處取得最大值，所以的最大值為13.故答案為：13【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題.14．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且三條邊a，b，c成等比數(shù)列，則的值為______【答案】【解析】由正弦定理和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理知：，又，所以，從而由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了通過正弦定理實現(xiàn)邊角互化，余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.15．已知函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______【答案】【解析】函數(shù)有三個零點，可轉(zhuǎn)化為與直線有三個交點，對分類討論，當時不滿足條件，當時求出過原點與函數(shù)在上的切線，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，函數(shù)恰有三個零點，等價于方程，有三個解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，又有為過原點的直線由圖可知，當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有有三個交點，不滿足條件.當時,當且僅當為的切線的時候，方程恰有兩個解，故而，令為的切線，設(shè)切點為，則切線的方程為，由于切線過原點，所以，即，此時直線的斜率為，由題意知，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)切線的求法，函數(shù)的零點個數(shù)的判定，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

16．邊長為1的正方體，點P為面對角線上一點，則的最小值為______【答案】【解析】將對角面與平面放到同一個平面，化曲為直，連接，取的中點I，在利用勾股定理即得．【詳解】如圖甲，將等邊沿向后旋轉(zhuǎn)到與面共面，得到等邊，則的最小值即為圖乙中線段的長，取的中點I，由題意知：等邊的邊長為，四邊形是以，的矩形，所以.【點睛】本題考查空間距離的最小問題，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題17．記為正項數(shù)列的前n項和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項；（2）求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）（1）先求，再當時，由求得，判斷數(shù)列為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，最后求數(shù)列的通項公式；.

（2）由，用裂項相消法求和可證明.【詳解】（1）解：當時，由，所以，解得，當時，由①，則②，由①式減去②式得，即，由題意知，，所以，則數(shù)列為，公差為2的等差數(shù)列，所以.（2）證明：由（1）知，，所以，【點睛】本題考查由求，利用放縮法和裂項相消法證明不等式，是中檔題.18．如圖，在等腰梯形中，，，將沿著翻折，使得點D到點P，且.（1）求證：平面平面；（2）求點C到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，證得和，結(jié)合線面垂直的判定定理，得出平面，進而證得平面平面；（2）設(shè)點C到平面的距離為h，利用，即可求解.【詳解】（1）由等腰梯形中，，可得，又由，所以,又因為，且，所以平面，又由平面，所以平面平面.（2）如圖①所示，取的中點E，連接，，，則為菱形，且，則，記垂足為O，則，，由（1）知，平面平面，如圖②所示，又，所以平面，由（1）知，平面，即，又，所以，所以，在中，由，，，所以，所以，則，設(shè)點C到平面的距離為h，由，得，即.【點睛】本題主要考查了平面與平面垂直的判定與證明，以及點到平面的距離的計算，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及利用“等體積法”求解點到平面距離是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與計算能力.19．為了調(diào)查高中生文理科偏向情況是否與性別有關(guān)，設(shè)計了“更擅長理科，理科文科無差異，更擅長文科三個選項的調(diào)查問卷"，并從我校隨機選擇了55名男生，45名女生進行問卷調(diào)查.問卷調(diào)查的統(tǒng)計情況為：男生選擇更擅長理科的人數(shù)占，選擇文科理科無顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長文科的人數(shù)占：女生選擇更擅長理科的人數(shù)占，選擇文科理科無顯著差異的人數(shù)占，選擇更擅長文科的人數(shù)占.根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下列聯(lián)表.更擅長理科其他合計男生女生合計附：，其中.0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828（1）請將的列聯(lián)表補充完整，并判斷能否有的把握認為文理科偏向與性別有關(guān)；（2）從55名男生中，根據(jù)問卷答題結(jié)果為標準，采取分層抽樣的方法隨機抽取5人，再從這5人中隨機選取2人，求所選的2人中恰有1人更擅長理科的概率【答案】（1）表格見解析，有的把握；（2）.【解析】（1）本題首先可根據(jù)題意將的列聯(lián)表補充完整，然后計算出的值并與表中數(shù)據(jù)進行對比，即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)題意得出選取的5人中更擅長理科和不更擅長理科的人數(shù)，然后列出任取2人的所有可能情況，再然后列出2人中恰有1人更擅長理科的所有可能情況，最后根據(jù)古典概型概率計算公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）補充的列聯(lián)表如下：更擅長理科其他合計男生223355女生93645合計3169100則，故有的把握認為文理科偏向與性別有關(guān).（2）由題意可知，選取的5人中，有2人更擅長理科，3人不更擅長理科，用、表示更擅長理科的兩人，用、、表示其他三人，則從這5人中，任取2人共有以下10種情況：、、、、、、、、、，滿足所選的2人中恰有1人更擅長理科的有、、、、、，共6種情況，故所選的2人中恰有1人更擅長理科的概率.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用以及古典概型的概率計算公式，能否列出所有的可能情況以及滿足限制條件的所有可能情況是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，考查學生解決實際問題的能力，是中檔題.20．已知點，，點P滿足：直線的斜率為，直線的斜率為，且（1）求點的軌跡C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，問在x軸上是否存在點Q，使得為定值?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在.【解析】（1）由點，運用直線的斜率公式，結(jié)合，化簡可得軌跡C的方程；（2）假設(shè)在x軸上存在點，使得為定值，當直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，令，，表示出，代入韋達定理計算可得定值，并檢驗斜率不存在時也成立．【詳解】（1）由題意知：，，由，即，整理得點的軌跡C的方程為：.（2）假設(shè)在x軸上存在點，使得為定值.當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程消去y得，令，，則，，由，，所以，將看成常數(shù)，要使得上式為定值，需滿足，即，此時；當直線l的斜率不存在時，可得，，，所以，，，綜上所述，存在，使得為定值.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查定值問題的應(yīng)用，考查數(shù)量積的坐標表示，屬于中檔題．21．已知（1）若，求的最大值；（2）若有兩個不同的極值點，，證明:.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）當時，對函數(shù)求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的最大值；（2）對函數(shù)求導，則，即為方程的兩個不同的正根，表示出，將韋達定理代入化簡，并利用構(gòu)造新函數(shù)判斷單調(diào)性和最值的方法證得命題成立．【詳解】（1）當時，，所以，則在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且有，當時，，即為上的增函數(shù)，當時，，即為上的減函數(shù)，所以.（2）證明：由題意知：由，則，即為方程的兩個不同的正根，故而需滿足：，解得，所以令，，令，所以；則為上的減函數(shù)，且，所以當時，，即為上的增函數(shù)；當時，，即為上的減函數(shù)，所以，所以，證畢.【點睛】本題考查導數(shù)證明不等式問題，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查學