《最短路徑問題》-教學(xué)設(shè)計(jì)【初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)】

《最短路徑問題》教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析教材分析在生產(chǎn)和經(jīng)營中為了省時(shí)省力常希望尋求最短路徑，因此最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中是經(jīng)常遇到的問題.本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題“的課題研究，讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中線段和最短問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活.教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)能利用所學(xué)軸對(duì)稱的知識(shí)解決簡單的最短路徑問題.在探索最短路徑的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、數(shù)學(xué)歸納能力，分析問題、解決問題的能力.在探索最短路徑的過程中，讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化的思想，獲得成功的體驗(yàn).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用軸對(duì)稱平移解決生活中路徑最短的問題，確定出最短路徑的方法.【教學(xué)難點(diǎn)】探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及原理.課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備多媒體課件、教具等.教學(xué)過程教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們會(huì)稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}，同學(xué)們仔細(xì)回顧一下原來的知識(shí)，然后思考我們教材中的問題1.相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題.這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？二、合作交流，探究新知這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線.你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn).設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）.三、運(yùn)用新知如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？追問1如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB的長度相等？追問2你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條件的點(diǎn)B′嗎？作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C，使CA＋CB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則點(diǎn)C是直線l與AB′的交點(diǎn).為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，證明AC＋CB＜AC′＋C′B如下：證明：由作圖可知，點(diǎn)B和B′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段BB′的垂直平分線.因?yàn)辄c(diǎn)C與C′在直線l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.問題2如圖，從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可.此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時(shí)不難說明點(diǎn)N即為建橋位置，MN即為所建的橋.學(xué)生之間相互交流合作完成問題2的求解以及證明.四、鞏固新知1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.(－2，0)B.(4，0)C.(2，0)D.(0，0)2.如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑.基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”.五、鞏固小結(jié)1.最短路徑問題的類型：(1)兩點(diǎn)一線型的線段和最小值問題；(2)兩線一點(diǎn)