計算機輔助幾何設計

第5章計算機輔助幾何設計

5.1自由曲線

5.2自由曲面CAD中由已知曲線或曲面的數(shù)學方程生成的曲線曲面稱為規(guī)則曲線曲面，常用隱函數(shù)或二次方程的顯函數(shù)表示。但在汽車、輪船、飛機、模具、藝術品等產(chǎn)品設計中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲線曲面，這類曲線曲面稱為自由曲線（FreeFormCurves）和自由曲面（FreeFormSurfaces），這是計算機輔助幾何設計研究的主要幾何形狀。5.1自由曲線5.1.1曲線曲面描述的基本原理5.1.2Hermite曲線5.1.3Bezier曲線5.1.4B樣條曲線5.1.5非均勻有理B樣條（NURBS）曲線5.1.1曲線曲面描述的基本原理自由曲線可以是由一系列的小曲線段連接而成，自由曲面可以是由無數(shù)個小的曲面片拼合而成。因此，曲線曲面的研究重點是曲線段或曲面片的描述及其連接拼合方法。1.幾何設計的基本概念在自由曲線和曲面描述中常用三種類型的點：（1）特征點（控制頂點）：用來確定曲線曲面的形狀位置，但曲線或曲面不一定經(jīng)過該點。（2）型值點：用于確定曲線或曲面的位置與形狀并且經(jīng)過該點。在曲線曲面設計中，通常是用一組離散的型值點或特征點來定義和構造幾何形狀，并且所構造的曲線曲面應滿足光順的要求。這種曲線曲面定義的主要方法是插值和逼近。（1）插值：給定一組精確的數(shù)值點，要求構造一個函數(shù)，使之嚴格地依次通過全部型值點，且滿足光順的要求。（2）逼近：對于一組給定的控制頂點，要求構造一個函數(shù)，使之在整體上最接近這些控制點而不一定通過這些點。（3）光滑(smooth)：從數(shù)學意義上講，光滑是指曲線或曲面具有至少一階連續(xù)導數(shù)。（4）光順(fair)：至今仍是一個模糊的概念，尚無統(tǒng)一的標準。一方面有主觀的因素，另一方面與應用背景相關。但仍有一些客觀標準及處理方法。曲線曲面可以用隱函數(shù)、顯函數(shù)或參數(shù)方程表示。用隱函數(shù)表示不直觀，作圖不方便（如ax+by+c=0）；用顯函數(shù)表示存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率無窮大（如y=mx+b）等問題。此外，隱函數(shù)和顯函數(shù)只適合表達簡單、規(guī)則的曲線曲面。自由曲線曲面多用參數(shù)方程表示，相應地稱為參數(shù)曲線或參數(shù)曲面。空間的一條曲線可以表示成隨參數(shù)t變化的運動點的軌跡，其矢量函數(shù)為：P(t)=P(x(t),y(t),z(t))，t的范圍是[0,1]同理，空間中的一張曲面可用參數(shù)(u,v)表示為：P(u,v)=P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，(u,v)的范圍是[0,1]×[0,1]2.曲線曲面的數(shù)學描述方法用參數(shù)表示曲線曲面的優(yōu)點：（1）具有幾何不變性。某些幾何性質(zhì)不隨一定的坐標變換而變化的性質(zhì)稱為幾何不變性。曲線形狀本質(zhì)上與坐標系的選取無關。（2）可以處理無窮大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)（3)參數(shù)方程將自變量和因變量完全分開，使得參數(shù)變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來。（4）可以處理多值曲線。（5）規(guī)格化參數(shù)變量，使其相應的幾何分量是有界的。由于參數(shù)限制在0到1的閉區(qū)間之內(nèi)，因而所表示的曲線總是有界的，不需另設其他數(shù)據(jù)來定義其邊界。（6）對曲線曲面形狀控制的自由度更大。如一條二維三次曲線的顯式表示為：（7）易于用矢量和矩陣表示幾何量，從而簡化了計算。

其中只有4個系數(shù)可控制曲線的形狀，而對于其參數(shù)表示為：

其中有8個系數(shù)可用來控制曲線的形狀。5.1.2Hermite曲線Hermite曲線是給定曲線段的兩個端點坐標以及兩端點處的切線矢量來描述曲線?？臻g一條三次參數(shù)曲線可以表示為：

該曲線的矢量表達式為：

應用端點P0和P1，以及端點切矢P0’和P1’,可得：矩陣表達式為：于是，5.1.3Bezier曲線1962年，Bezier提出了一種自由曲線曲面的設計方法，稱為Bezier方法。其具體設計過程是：從模型或手繪草圖上取得數(shù)據(jù)后，用繪圖工具繪出曲線圖，然后從這張圖上大致定出Bezier特征多邊形各控制頂點的坐標值，并輸入計算機進行交互的幾何設計，調(diào)整特征多邊形頂點的位置，直到得出滿意的結果為止；最后用繪圖機繪出曲線樣圖。1.Bezier曲線定義在空間給定n+1個控制頂點Pi(I=0,1,…,n)，稱下列參數(shù)曲線為n次Bezier曲線。稱為伯恩斯坦基函數(shù)（BernsteinBasis）。一般稱折線為P(t)的控制多邊形；稱各點為P(t)的控制頂點。

（1）三次Bezier曲線常用的三次Bezier曲線，由4個控制頂點確定。容易算出，與其對應的4個Bernstein基函數(shù)為：相應的Bezier曲線為（2）二次Bezier曲線二次Bezier曲線由三個控制頂點確定，此時，相應的曲線表達式為對應于一條拋物線。（3）一次Bezier曲線一次Bezier曲線由兩個控制頂點確定，此時，相應的曲線表達式為這是一條連接P0和P1的直線段。2.Bezier曲線的程序設計實際應用的主要是三次Bezier曲線。利用它的參數(shù)表達式在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個值，例如100，計算出這100個值對應的坐標點，依次連接這些點就得到一條Bezier曲線。為程序設計方便，改寫曲線的表達式為：注意濫：再作添加嗚一個z坐標顛，就胞可得牲到空參間Be知zi維er曲線。3.Be催zi情er曲線母的性稠質(zhì)在Be娛rn耕st辨ei盲n基函啄數(shù)中，n為基祝本曲稻線的襪次數(shù)悠，i為基疑函數(shù)屢的序板號。遠由排囑列組盟合和博導數(shù)封運算飄規(guī)律叢可以炕推導停出Be伴rn公st號ei鍬n基函教數(shù)的謊如下館性質(zhì)律：（1叼）正哄性（恥非負憲性）黃：（2喂）權族性：（3捏）版對稱榴性：（4乒）導懇數(shù)性泉質(zhì)：（5番）遞列推性軌質(zhì)：Be驗zi中er曲線捧的一埋些性蟲質(zhì)：1）嚼端點嶼性質(zhì)曲線春經(jīng)過才特征省多邊護形的生首末芒點。衡因為曲線P(漿t)在P0點與譜邊P0P1相切慶，在Pn點與2）限對稱往性由Be京rn逼st央ei竟n基函幼數(shù)的展對稱秒性可即知，予控制香點的睬次序鵲完全冠顛倒蘇過來繞后，堵曲線耐的形量狀不奴變，杯但走劃向相下反。島這表否明,鞠同一演特征倚多邊漂形定職義的Be慶zi為er曲線框是惟辦一的錯.相切逢。因擱為（3雪）捧凸包退性所以洪，P(譜t)是P0,P1,…宏,Pn凸線努性組岸合。當這纏證明Be洋zi皇er曲線歌完全唇被包摔在其依特征狐多邊騎形的招凸包開內(nèi)。所以澆，控哨制頂肺點P0,P1,…芬,Pn的凸碼包為探:（5借）交需互能厲力（4）芝幾守何不鏈變性由給云定控毀制頂錯點所紐奉確定闊的Be覆zi疤er曲線遲的形排狀與喬坐標陷系的僅選取精無關貿(mào)。此藏性質(zhì)匹就是Be奴zi拳er曲線券的幾先何不廣變性吃。幾何燒不變裳性對姑幾何財圖形挽來說賤是一蠶種很甲重要斤的性歷質(zhì)。需在計燒算機阻圖形從學中廟經(jīng)常梢要作廣坐標無變換鄉(xiāng)豐，如沉果同挑一表茂示式孫在不勤同坐搬標系淡下表莫示不嘗同的鐵曲線濃，則動會給忌圖形古變換扁帶來牢很多嶄不便架之處潤?？刂蒲矶噙呑沸蜳0P1…Pn大致適地勾棒畫出Be嶼zi塔er曲線P(評t)的形千狀。尼要禮改變P(疏t)的形櫻狀，厭只要奇改變P0,P1,…譽,Pn的位溫置即畢可。（6芝）變指差減淚小性（7零）保達凸性如果Be透zi護er曲線P(樸t)的控燥制多栽邊形P0P1…Pn是一平甩面圖再形，阿則該粱平面侮內(nèi)的莖任意織直線維與P(剛t)的交蛾點個咳數(shù)不響多于跌該直漢線與忍控制核多邊走形P0P1…Pn交點的個站數(shù)，穩(wěn)這一奔性質(zhì)承稱為腰變差娃減小沙性。萬此債性質(zhì)自說明Be南zi俘er曲線冠比控見制多祝邊形車所在廚的折卡線更諷光順仇。如果型平面火上的兇凸控序制多丘邊形熊能導掃致所戲生成皆的曲暖線為蒜凸曲判線，芝則稱攜這個奶曲線多生成饒的方譯法具隙有保毀凸性露。我們濁將控斥制多敵邊形蠅的終燒點與慚起點蓮連起稠來，言如果旱這樣睡形成患一個攻閉的傷凸多維邊形麗，則夫相應須的Be照zi網(wǎng)er曲線捕是一遷個凸頓的平菜面曲鋸線。窄此性型質(zhì)就結是Be慨zi喉er曲線峰的保焦凸性鬧。4.Be乞zi翠er曲線鄭的拼妨接與述反算Be掛zi面er曲線隔的次船數(shù)是換由其普控制泡頂點疏確定湯的。姥常用嘉的三礦次Be屯zi粉er曲線亡由四早個控錘制頂幟點確將定。多控制仁點(n>坊4)的三捎次Be遲zi靜er曲線話存在啞著幾腥條曲臟線的抱拼接邪問題湖，其無關鍵音問題符是如擁何保堂持拼鑄接處蔬的連源續(xù)性英。不撲同的蹄問題零在連坐接點存處對云連續(xù)時性有嘴不同肆的要望求，背常用杠到的刷有以港下幾罰種：連續(xù)參數(shù)園連續(xù):切矢奏同向籮且模繩長相僑等.幾何刺連續(xù):切矢話同向洽.1)巾拼療接P1P0P3性=Q謎0Q2Q1P2Q3設P(爺t)是Pi(i飄=0釋,1稈,2貴,3眉)確定歷的三感次Be貪zi胃er曲線越;Q(餃t)是Qi(i喉=0桌,1籃,2額,3啄)確定鵝的三看次Be促zi葉er曲線抓.P3=Q0,滿足1)勸兩于曲線娘在連蕩接點謙達到樣一階印導數(shù)噸連續(xù)囑的條御件為0<屬=t<量=1即亦即眨,P2召、P叉3(絮Q0御)和Q1共線縮慧，且P2俱、綁Q1在P3的異側(cè)。2）磁兩曲凱線在漢連接劑點達銹到二刊階導巨數(shù)連定續(xù)的遵條件潤為由可得根據(jù)桃以上閘條件朽，可紋以調(diào)蜂整P(牢t)和Q(天t)這兩塊段曲鴉線，嚷使得桂在連浮接點貧處達碎到一雄階幾既何或著導數(shù)廊連續(xù)章：步驟般1：互平移梯多邊啟形使Q0與P3重合璃。步驟救2：漂圍繞Q0轉(zhuǎn)動裳多邊顆形使與平行酒且同錯向（像或模皂長相虎等）社。P1P0P3且=Q連0Q2Q1P2Q3所謂懷曲線湊控制傻頂點昂的反聲算是脅指由累曲線堅上的堤一系短列點氧（稱之為燒型值情點）身反求杠出該夜曲線球的一男系列奪控制禁頂點壇的過頓程。如果羊給定n+發(fā)1個型巧值點,要江求一婚系列謊控制點，盞由這閑些控梢制點責定義日的一向條Be功zi褲er曲線遙通過沖已知偶的型牛值點犧，這走與平涉常給柏定控老制點粱求型打值點政的過之程恰植好相孟反。設所求鐮的控悶制點方為，它定義鍛的Be承zi欣er曲線夾為P(掙t)捐,滿足，于是注意抗：t的取勿法不煉同，否反求沙的控陜制頂粉點不江同。2)遞反算5.衫1.巨4B樣條冒曲線Be晌zi蘿er曲線初是通折過逼課近特會征多決邊形蓋而獲榆得曲繁線的歇，存統(tǒng)在的紛不足繞是：1）抖缺乏浮局部味修改遭性,笑即貧改變眨某一避控制倦點對飾整個皮曲線籍都有輸影響袋.2）n較大帖時，敬特征涉多邊蠢形的黨邊數(shù)華較多舒,對稠曲線饞的控糧制減買弱。19媽72拍年，Ri熟es擔en濕fe暮ld等提出煙了B樣條都曲線燥。用B樣條塔基函甲數(shù)代厭替Be違rn浩st鋒ei蒼n基函盡數(shù)；逼近叨特征奴多邊堵形的角精度幕更高擱.多邊煌形的勁邊數(shù)星與基釣函數(shù)防的次懸數(shù)無墾關。具有撞局部漆修改盲性.設有窄控制甘頂點P0,P1,…洗,Pn,則k階(k-依1次)B樣條女曲線刊的數(shù)繭學表賞達式帶為:式中Ni,k(t絹)是k-表1次B樣條側(cè)曲線耽的基煮函數(shù)表.它挺由一榮個結余點向譯量遞邁歸定勁義,就它僅碗在某哭個局鳳部不壞等于聲零,忍因而獅使B樣條屋曲線它具有盡局部罩可修而改性密.三次給均勻B樣條劣曲線對于n+礎1個控眾制頂偷點，每四個拐順序鏡點1.三次園均勻B樣條辨曲線笑的表膏達式一組構造仗相應四的一過段三主次B樣條織曲線凱：其中N0,秒4(t)=頂1/喪6(技1-桑t)3傾,N1,灑4(t)=賀1/冒6(俯3t3-6幕t2+4帝),N2,宗4(t)=拔1/砌6(幻玉-3給t3+3恰t2+3寇t+傘1),N3,嶺4(t)=皂1/虎6t3所以拴，Pi(t勝)的矩耕陣表產(chǎn)達式句為根據(jù)死上式苗可以敲在平隨面直男角坐初標系推中設帖計三內(nèi)次B樣條奏曲線劇生成誕的程階序.Pi(0瘡)Pi+啄3Pi+豎2Pi+誘1PiP’i(0位)P’i(1橡)Pi(1溪)2.冊三份次均駁勻B樣條豎曲線鐮段的貢幾何糧特性愧、拼曲接3.三次閘均勻B樣條院曲線槽的邊洞界控伸制與邪反算P0Pn-1P1P-1PnPn+1在始強端和茫終端工各增岔加一團個頂醬點P-1和Pn+1,使P-1P0=P0P1Pn-1Pn=PnPn+1則P0(0蝕)=貢P0,凱P0’=P1-P0.終點盛具有廳類似辭的特燒性.邊界犯處理在實搶際應院用中噴,往枝往需脊要所倦設計滿的B樣條窗曲線從通過辟控制德多邊等形的責起點隱和終閣點,便這就加需要關對曲女線的正邊界訂進行厚處理剃.有襯多種碌處理另方法鳴,現(xiàn)翁介紹目一種便:2)綢控制既頂點乳的反予求在實際疲應用鵲中往仙往是炒知道繳曲線涂上的清型值繩點,針而并幼不知辱道特違征多脖邊形斤頂點英的位愚置,茫為構騰造B樣條滑曲線然,就峽需要鐵由這限些型麗值點鈴反求拴出特薦征多挽邊形財?shù)捻斁睃c,沿這就冶是B樣條繩曲線旅頂點世的反填求.設已知孟型值漲點列Qi(i林=1根,2丸,…藝,n跑-1蹤蝶),要求掘一條嗚三次B樣條拌曲線痰經(jīng)過劣這些侍點,養(yǎng)求出性這條留曲線釣的控鋤制頂萬點Pi(i閃=0霉,1病,…機,n鏈).由曲苦線的擇端點質(zhì)性質(zhì)災可得典下列株線性棚方程丘組:Pi-域1+4窄Pi+Pi+黃1=6弦Qi(i雕=1誦,2僵,…引,n稻-1犯)再補越充兩桌個邊寺界條洗件就參可得敗到唯癥一解卡.乳例如哭,已文知Q1和Qi-1處的脹切矢相,則淘有把它們叛寫成撒矩陣陰形式監(jiān)為5.遺1.顆5點非閘均勻掠有理B樣條嶼（NU懶RB般S）曲線它提思供了賭解析盯曲線襪(如筆圓錐必曲線翁)和刃自由銳曲線座統(tǒng)一融的數(shù)奮學描仔述,娘便于忍工程呈數(shù)據(jù)李庫的煉管理哭和應洪用.NU腐RB惜S曲線碗的定管義:幫給栽定n+暮1個控進制點Pi(i蜜=0浩,1宋,…鍬,n喇)及其煌權因印子Wi(i帥=0健,1速,…信,n泥),則k階(k-焦1次)NU抹RB北S曲線調(diào)的表艘達式膽為:缺點駝:計遲算量聞大、峰當權何因子購為零乘和負巧值時半容易傘引起桃計算竹的不顛穩(wěn)定少，導簽致曲宮線畸組變，宴因此油使用NU外RB礎S時應那有適往當?shù)牧畔拗票嬉员ｄN證算漿法的痛穩(wěn)定嗚性。5.底2訴自由恢曲面5.勒2.鍵1參數(shù)礦曲面糊的概繭念5.釘2.出2苗雙大三次斬曲面掛片的敲數(shù)學徑表示5.爸2.鋸3爹曲法面的障反算煩、拼育接和紛互化5.攪2.斑4貧新的來自由節(jié)曲面厭造型夸技術5.崇2.賺1準參孕數(shù)曲誘面的且概念P(唐u,頭w)稱=[x(u,鋤w),y(u,蛋w),z(u,泥w)]0<容=u,消w<=議1011uw(u,煎w)u和w向切掉矢：四個攜角點筆的u向和w向切睬矢為帶：Pu(0規(guī),0脆)、Pu(1手,0擾)、Pu(0鎖,1襖)當、Pu(1描,1昏)、Pw(0導,0關)、Pw(1證,0擦)、Pw(0跟,1派)以、Pw(1妄,1率).混合脅偏導今矢（求扭矢揉）：四個侄角點愈的扭急矢為傻：Puw(0角,0培)、Puw(1榮,0捕)、Puw(0夏,1圣)駛、Puw(1儲,1嚼)5.保2.河2三次句曲面研的數(shù)放學表運示雙三袖次曲倉面片滔的代鬼數(shù)形羽式為其矩鄰陣表煌達式領為其中，構造貌雙三運次曲稿面片執(zhí)的的瓦關鍵楚是確撥定矩漫陣方隆程中禿的系條數(shù)矩在陣。1.糧孔斯獄（Co具on煙s）曲面由曲父面四柿個角酒點、勇每個艘角點脹處的傍兩個尸切矢飾及四羊個角柴點處鹽的混極合偏掉導矢悅（扭遍矢）攜確定周曲面鏈。Co價on飲s曲面巡壽的特威點：屬于辱構造許插值隊曲面常的方嗓法，芝曲面照構造妹的幾已何意痛義明紋確且乞曲面粱的表董達式潮簡潔辦，主賊要用浪于構義造那城些通貴過給槐定型農(nóng)值點掀的曲杠面，罷而不鋪適用鉗于進創(chuàng)行曲繞面的玻設計說。這物是因碎為：在曲捐面設械計的卸初級舟階段默，設屑計者烏對其蝴所設魂計產(chǎn)購品的銜外形鵲僅有養(yǎng)一個急非常材粗略麻的概連念。毛為得銷到滿受意的腿外形蔑，需傳要不窄斷地婆修改炕型值手點的饞位置文。上挎述方選法對勒位置仗尚未追最后梢確定絡的型毅值點蒼構造廚插值糊曲面鞠，顯灰然是返不合題理的培。由于多扭矢納的幾頓何意軌義不河很明兆顯，小工程喪設計緩人員茅難以篩把握獸，因遷此難暑以提評供精芳確的拍角點罰信息擠，使董曲面兼的形般狀不買易控岡制。不具抗備局部峽性。修改柜任意領一個型值植點都暴會影衛(wèi)響整覺張曲周面的晨形狀看，而嫩其形永狀變堤化又脾難以耐預測繩。2.Be探zi蜓er曲面用控芹制多乖邊形蘆網(wǎng)格搞（特狹征網(wǎng)劫格）贈替代顫點矢財、切遺矢與討扭矢評構造Be撒zi趕er曲面糟。雙三賽次Be志zi扶er曲面剩片可以膛認為齒控制哭網(wǎng)格膜是曲堪面P(u,w)大致腰形狀母的勾萍畫；P(u,w)是對嗚控制儲網(wǎng)格怒的逼紡近。Be忠zi首er曲面斬的特儲點：Be抵zi若er曲面員是以歪逼近澇為基歪礎的歷曲面漆設計序方法拿。它霞先通攔過控逼制頂棄點網(wǎng)摸格勾如畫出燙曲面吼的大執(zhí)體形兆狀，旁然后堪通過四修改梢控制鬼頂點貢的位算置修馳改曲爪面的男形狀狼。這宋種構舟造方鄰法比姨較直訓觀，捏易于葉為工考程設很計人憐員所料接受改，因盜而獲霸得了駛廣泛柴的應剛用。這種得方法待不具培有局臺部性戒，即修改鳳任意鉛一個控制挖頂點烤都會血影響圍整張陰曲面鉛的形飽狀。3.B樣條嚴曲面用控布制多捆邊形謊網(wǎng)格枕（特嘴征網(wǎng)泥格）井替代折點矢畜、切揮矢與蘆扭矢荷構造珍曲面雙三收次均威勻B樣條略曲面償片注意:Ni,扔3(t求)為3裁次均尺勻B樣條手基函需數(shù).特點柳：B樣條性曲面舊構造鞭方法傷是Be糞zi幼er曲面腳方法搬的推跳廣，項它用B樣條匪基函漲數(shù)代送替Be啟zi古er方法棵中的Be械rn叉st牲ei橫n基函裙數(shù)來倚反映豆控制搜頂點出對曲州面形慕狀的梁影響協(xié)。它墾在保畝留了Be那zi賽er曲面跨設計仙方法朋幾乎五所有尚優(yōu)點葛的同泰時，削解決抄了Be題zi茂er曲面束設計縱中存莫在的懸局部資性修屬改問靜題。4.非均廉勻有剝理B樣條曲面（NU漂RB換S）給定捐一張何(m+1考)x渠(n+1揭)的網(wǎng)災格控縱制點Pij(i=0跳,1歐,…漏,m;j=0昌,1售,…摘,n),以及拐各控緞制網(wǎng)暗格點碎的權蜘值Wij(i=0晴,1峰,…屑,m;j=0落,1盒,…巾,n)，則其林確定質(zhì)的NU氧RB什S曲面游的表圍達式師為：優(yōu)點況：規(guī)則屑曲面吉與自叫由曲宗面精皺確的洞統(tǒng)一螺的數(shù)霉學表峽示。有多勢種方欠式定蜜義曲津面，側(cè)但構由造這權些曲濫面的寒數(shù)學桶基礎止以及泄在造決型系本統(tǒng)中夠存儲饞它們椒的方運法是爐相同逆的。NU就RB喜S方法掘已成熔為眾種多CA尼D/匙CA霞M系統(tǒng)域的基追本幾些何表羞達式從和數(shù)盲據(jù)交妨換標爪準。5.棵2.膝3侄曲面笑的反驕算、嘗拼接羞和互撈化反算1）傭?qū)嶋H駐應用敲背景2）渠反算俯算法第1遇步：滾將一伴個參盜數(shù)方葡向上煤的型崗值點哈（如u方向喝）依瞎次按同曲線薪反算飽方法貨反算賣出一臥系列裹點；第2歐步：棚沿另搜一個煎參數(shù)崗方向湖（如w方向筐），誰將第霧一次磨反算亡得到為的點蛋再按遷曲線節(jié)反算露方法笛反算糞出另耀一系姨列點價，第劉二次瞞反算魂得到嚼的點果即為旦曲面境的控慢制點僅。2.饞拼接以雙三次鐵自由已曲面歉為例料，相姜鄰兩袖片曲崇面光燒滑拼奇接的敏條件圾為：1）主對Co買on價s曲面地：兩染張雙昌三次Co佩on撓s曲面量片共施邊界老且在紡相鄰奧兩角各點處仁的坐滴標、u向切繩矢、w向切據(jù)矢、胞扭矢璃分別覆相等殃。2）圍對Be作zi原er曲面槍：兩連張雙挺三次Be聲zi短er曲面混片在外相鄰棒邊界芹的相庭鄰的聯(lián)控制爐網(wǎng)格智共邊且且在懲同一希平面潮上。3）產(chǎn)對B樣條永曲面漢：由烈于每忙4x4即16說個控援制點莊定義捕一片棗雙三席次曲簽面，美如果瀉定義B樣條翅曲面繪的控鍋制頂故點矩處陣有M行N列（M>隙=4慨,N少>=罵4）相，則可臉以定笨義(M-殲3)狹(N壘-3滔)個曲罵面片笛。只悅要4x4的子矩陣助在控趟制頂財點矩微陣中套是依分次向適右或猜依次痕向下嘩移