質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

第三篇?jiǎng)恿W(xué)引言回顧靜力學(xué)研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律及力系的簡(jiǎn)化；運(yùn)動(dòng)學(xué)從幾何觀點(diǎn)研究物體的運(yùn)動(dòng)，而不涉及物體所受的力；動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)就是從因果關(guān)系上論述物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。是理論力學(xué)中最具普遍意義的部分，靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)則是動(dòng)力學(xué)的特殊情況。低速、宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律。動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象：動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)：牛頓定律的適用范圍（1）不適于微觀物體；（2）物體的運(yùn)動(dòng)速度不能太大。牛頓的運(yùn)動(dòng)三定律，簡(jiǎn)稱牛頓定律或動(dòng)力學(xué)基本定律動(dòng)力學(xué)分為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)：質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和大小可以忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由幾個(gè)或無(wú)限個(gè)相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。質(zhì)點(diǎn)系可分為不變質(zhì)點(diǎn)系（如單個(gè)剛體）和可變質(zhì)點(diǎn)系（如剛體系統(tǒng)）本課程重點(diǎn)放在質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)。牛頓★

牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說(shuō)?！?/p>

牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理?！锱ｎD在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬(wàn)有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。解決動(dòng)力學(xué)兩類基本問(wèn)題的途徑：直接應(yīng)用牛頓定律建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程；綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理；應(yīng)用達(dá)朗伯定理。牛頓力學(xué)動(dòng)力學(xué)的主要任務(wù)（解決的基本問(wèn)題）：第一類：已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求作用在此物體上的力；第二類：已知作用在物體上的力求此物體產(chǎn)生什么樣的運(yùn)動(dòng)。第十章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程§10-1動(dòng)力學(xué)的基本定律§10-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§10-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題★第一定律（慣性定律）§10-1動(dòng)力學(xué)的基本定律不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。本定律揭示了一切物體均有保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，即慣性。說(shuō)明：勻速直線運(yùn)動(dòng)稱為慣性運(yùn)動(dòng)。明確了力是改變（而不是維持！）物體運(yùn)動(dòng)的原因?！锏诙桑εc加速度之間的關(guān)系的定律）質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。即此式建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的度量。說(shuō)明：在地球表面，物體受重力作用，有P=mg式中，g—重力加速度，一般取g

=9.80m/s2?！锏谌桑ㄗ饔门c反作用定律）兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。動(dòng)力學(xué)基本定律說(shuō)明：（1）牛頓三定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。工程問(wèn)題中，取固于地面或相對(duì)于地面作勻速直線運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，（2）以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)稱為古典力學(xué)?！?0-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程xozyrijkF1FnFiaFRaaa

M根據(jù)牛頓第二定律，若質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受n個(gè)力F1,F2,….,Fn作用，則有或而則矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影xozyrijkF1FnFiaFRaaa

M將式向坐標(biāo)軸投影，得直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影bnaFτ(＋)(－)m在質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡上建立自然軸系Mbn，

根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的加速度在運(yùn)動(dòng)軌跡的密切面內(nèi)，即所以作用在該質(zhì)點(diǎn)上力系的合力也應(yīng)該在此密切面內(nèi)，則自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程§10-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題第一類基本問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求此質(zhì)點(diǎn)所受的力。如果知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，求出該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，代入質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，得一代數(shù)方程組，即可求解。第二類基本問(wèn)題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類基本問(wèn)題，如求質(zhì)點(diǎn)的速度、運(yùn)動(dòng)方程等，歸結(jié)為解微分方程或求積分問(wèn)題，還需確定相應(yīng)的積分常數(shù)。因此，需按作用力的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行積分，并根據(jù)具體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)條件確定積分常數(shù)。在實(shí)際問(wèn)題中，只有在一些比較特殊的情況下，能解出微分方程，獲得解析解；更多情況下，往往只能通過(guò)逐步逼近或數(shù)值計(jì)算的方法，獲得近似解或數(shù)值解。注意：微分方程等號(hào)左邊總設(shè)為正，等號(hào)右邊是力在坐標(biāo)軸上的投影，應(yīng)注意投影的正負(fù)號(hào)。1、求質(zhì)點(diǎn)的加速度yxoyx解：例題1質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)方程是x=bcosωt,y=dsinωt，其中b,d,ω為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。ij2、求質(zhì)點(diǎn)所受的力由得M討論：⑴力的方向永遠(yuǎn)指向橢圓中心，為有心力；⑵力的大小與此質(zhì)點(diǎn)至橢圓中心的距離成正比。易知：求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：從運(yùn)動(dòng)方程中消去

t，得yxorijyxMF質(zhì)點(diǎn)所受的力可表示為例2在均管勻的供靜止作液體鋤中，獻(xiàn)質(zhì)量街為m的物燥體M從液莫面處扎無(wú)初值速下疤沉。錘設(shè)液稻體阻況力FR=，其中鴿為阻另尼系戚數(shù)。樸試分輸析該騰物體掉的運(yùn)菊動(dòng)規(guī)坊律及協(xié)其特府征。解：田為建鐵立質(zhì)蛾點(diǎn)M的運(yùn)莊動(dòng)微年分方繼程,將參催考坐玻標(biāo)系青的原攀點(diǎn)固破結(jié)在穗該點(diǎn)周的起盾始位黃置上缸，x軸鉛涂直向扛下。竊該質(zhì)扎點(diǎn)的懂受力床圖如劉圖，維則質(zhì)秒點(diǎn)M的位辭移、金速度雹、加勞速度理均設(shè)鹽為沿x軸的煮正方疊向。距則運(yùn)鳴動(dòng)微讀分方吸程為FR8.楊3質(zhì)點(diǎn)允動(dòng)力舊學(xué)的礙兩類濾基本維問(wèn)題FR令這就午是該物擾體下惱沉的允運(yùn)動(dòng)持規(guī)律唇。運(yùn)動(dòng)型的起祖始條聯(lián)件為挖：t=史0時(shí)，v0=腰0，x0=奴08.懲3質(zhì)點(diǎn)汁動(dòng)力榮學(xué)的隊(duì)兩類煉基本饑問(wèn)題該物凝體下司沉速嫩度將拼趨近察一極嬌限值這個(gè)堵速度聯(lián)稱之壟為物堡體在劃液體帖中自籌由下酬沉的極限引速度討論蹦：由珠此可即以看茄出在緊阻尼愛(ài)系數(shù)帽基本尋相同鹽的情完況下序（即眾物體倉(cāng)的大羅小、呼形狀卻基本策相同辟時(shí)）鵝，物表體的特質(zhì)量從越大屬，它息趨近醒于極污限速蓋度所需性的時(shí)舅間越砌長(zhǎng)?？晒こ填w中的暫選礦射、選副種工揚(yáng)作，賄就是廣應(yīng)用暈了這訊個(gè)道轟理。8.累3質(zhì)點(diǎn)降動(dòng)力性學(xué)的責(zé)兩類邊基本膀問(wèn)題例題3已知潔桁車菜吊的單重物叨重為G，以勻尺速度v0前進(jìn)坐，繩逼長(zhǎng)為l。求突啊然剎型車時(shí)竭，繩昂子所勺受的侄最大懇拉力豆。解：叛研究掩重物戀，桁車仆突然域剎車忘后，蜂重物姥做圓領(lǐng)弧擺渡動(dòng)。當(dāng)其灘擺至φ角處切，受巧力如邀圖。由自正然軸倡系的論質(zhì)點(diǎn)枝運(yùn)動(dòng)煤微分下方程冷，有(a隔)(b便)可知賊，拉績(jī)力T與重低物的熊速度v、擺角φ有關(guān)具，v0φTGτnv對(duì)(a似)式進(jìn)制行分顧離變軟量并貧積分越：l(c盒)將(c交)式代因入(b花)式，禾得當(dāng)φ駱=疲0時(shí)，Gv0φGGTGτnvl本例仔的實(shí)際際指靈導(dǎo)意長(zhǎng)義：⑴桁