第01講集合的概念及基本關系（3大考點10種解題方法）（解析版）

第01講集合的概念及基本關系（3大考點10種解題方法）考點考點考向1．集合的概念把某些能夠確切指定的對象全體看作一個整體，這個整體就稱為一個集合，集合中的每個對象稱為該集合的元素。任何一個對象對于某一個集合來說，或是屬于該集合，或是不屬于該集合。2.集合中元素的三個特征：①．確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．②．互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.③．無序性：即集合中的元素無順序,可以任意排列、調(diào)換。3.元素與集合的關系有且只有兩種：屬于（用符號“”表示）和不屬于（用符號“”表示）．4.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法．5.常見的數(shù)集及其表示符號名稱自然數(shù)集(非負整數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集表示符號N或ZQR6.集合的分類：有限集，無限集，空集；7.子集與真子集子集：若集合中任何一個元素都屬于集合，則集合叫做集合的子集，記作或；真子集：對于集合和，若,且中至少有一個元素不屬于，則集合叫做集合的真子集，記作8.相等的集合：對于兩個集合和，若，且，則叫做集合與集合相等，記作；【要點注意】空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集；任何集合是其自身的子集，即；子集的傳遞性：若，則；若，則或；相等的集合中的所含元素完全相同；連接元素與集合的符號有：和；連接集合與集合的符號有：，，等；含有個元素的集合的子集共有個,真子集有個。子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.方法方法技巧1.與集合中的元素有關問題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標系）點集還是其他類型的集合．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．2.(1)判斷集合間的關系，要注意先對集合進行化簡，再進行判斷，并且在描述關系時，要盡量精確．(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關系(要注意區(qū)間端點的取舍)，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．3.集合A中含有n個元素，則有(1)A的子集的個數(shù)有2n個．(2)A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．(3)A的真子集的個數(shù)有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．4.空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．考點考點精講考點一：集合的概念及其表示題型一：集合的確定性1.下面給出的四類對象中，能組成集合的是A．高一某班個子較高的同學 B．比較著名的科學家 C．無限接近于4的實數(shù) D．到一個定點的距離等于定長的點的全體【答案】D【解析】選項A，B，C所描述的對象沒有一個明確的標準，故不能構(gòu)成一個集合，選項D的標準唯一，故能組成集合．故選：D．2.（多選題）考察下列每組對象，能構(gòu)成集合的是()A.中國各地最美的鄉(xiāng)村；B.直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；C.不小于3的自然數(shù)；D.2018年第23屆冬季奧運會金牌獲得者．【答案】BCD【解析】A中“最美”標準不明確，不符合確定性，BCD中的元素標準明確，均可構(gòu)成集合，故選BCD題型二：集合的互異性3.在集合，，中，的值可以是A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】A【解析】當a＝0時，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，當a＝1時，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，當a＝2時，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，由集合中元素的互異性知：選A．4.若，，，則A． B．0 C．1 D．0或1【答案】B【答案】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，則a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，a＝1時，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；②若a2+1＝﹣1，則a2＝﹣2，a無實數(shù)解；由①②知：a＝0．故選：B．題型三：集合常見表示方法5.（2021·全國高一課時練習）下列研究對象能否構(gòu)成一個集合？如果能，采用適當?shù)姆绞奖硎舅?）小于的自然數(shù)；（2）某班所有個子高的同學；（3）不等式的整數(shù)解．【答案】（1）能，集合為；（2）不能，理由見解析；（3）能，集合為.【分析】（1）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進行判斷即可，并表示出相應的集合；（2）根據(jù)集合元素的確定性進行判斷即可；（3）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進行判斷即可，并表示出相應的集合.【詳解】（1）小于的自然數(shù)為、、、、，元素確定，所以能構(gòu)成集合，且集合為；（2）個子高的標準不確定，所以集合元素無法確定，所以不能構(gòu)成集合；（3）由得，因為為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個數(shù)為無限個，所以用描述法表示為.題型四：數(shù)集及其表示符號6．（2021·全國高一專題練習）填空：集合N表示________集合；集合表示________集合；集合表示________集合.【答案】自然數(shù)正整數(shù)正實數(shù)【分析】利用數(shù)集的表示直接求解【詳解】集合N表示自然數(shù)集合；集合表示正整數(shù)集合；集合表示正實數(shù)集合，故答案為：自然數(shù)，正整數(shù)，正實數(shù)考點二：元素與集合的關系題型五：元素與集合之間的關系1.（多選題）下列關系中，正確的有（）A．?∪{0} B． C． D．【答案】AB【解析】選項A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本選項是正確的；選項B:是有理數(shù)，故是正確的；選項C:所有的整數(shù)都是有理數(shù)，故有，所以本選項是不正確的；選項D;由空集是任何集合的子集可知，本選項是不正確的，故本題選AB.2.下列關系中，正確的個數(shù)為①；②；③；④；⑤；⑥．A．6 B．5 C．4 D．3【思路分析】利用元素與集合的關系及實數(shù)集、有理數(shù)集、自然數(shù)集的性質(zhì)直接求解．【答案】解：由元素與集合的關系，得：在①中，5∈R，故①正確；在②中，13∈Q，故②正確；在③中，0∈{0}，故③錯誤；在④中，0∈N在⑤中，π?Q，故⑤錯誤；在⑥中，﹣3∈Z，故⑥正確．故選：D．題型六：元素個數(shù)問題3.集合，的元素個數(shù)為A．4 B．5 C．10 D．12【思路分析】根據(jù)題意，集合中的元素滿足x是整數(shù)，且12x+3是整數(shù)．由此列出x與y【解析】由題意，集合{x∈Z|y=12x+3∈Z}中的元素滿足x是整數(shù)，且x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此時y的值分別為：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合條件的x共有12個，故選：D．4.已知集合，2，3，4，，，，，，則集合中的元素個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【思路分析】通過集合B，利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出x的不同值，對應y的值的個數(shù)，求出集合B中元素的個數(shù)．【解析】因為集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，當x＝1時，y＝2或y＝3或y＝4；當x＝2時y＝3；所以集合B中的元素個數(shù)為4．故選：C．【點睛】本題考查集合的元素與集合的關系，考查基本知識的應用．題型七：單元素集合5.若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，僅有一個元素a，求a、b的值．【答案】解：∵集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，僅有一個元素a，∴a2+a2+b＝a且△＝（a﹣1）2﹣4b＝0解得a＝，b＝．故a、b的值分別為，.題型八：二次函數(shù)與集合6.設集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）當A中元素個數(shù)為1時，求：a和A；（2）當A中元素個數(shù)至少為1時，求：a的取值范圍；（3）求：A中各元素之和．【思路分析】（1）推導出a＝0或，由此能求出a和A．（2）當A中元素個數(shù)至少為1時，a＝0或，由此能求出a的取值范圍．（3）當a＝0時，A中元素之和為；當a＜1且a≠0時，A中元素之和為；當a＝1時，A中元素之和為﹣1；當a＞1時，A中無元素．【答案】解：（1）∵集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}，A中元素個數(shù)為1，∴a＝0或，解得a＝0，A＝{}或a＝1，A＝{﹣1}．當A中元素個數(shù)至少為1時，a＝0或，解得a≤1，∴a的取值范圍是（﹣∞，1]．（3）當a＝0時，A中元素之和為；當a＜1且a≠0時，A中元素之和為；當a＝1時，A中元素之和為﹣1；當a＞1時，A中無元素．考點三：集合間的基本關系題型九：空集1.如果，則實數(shù)的取值范圍為 B． C． D．【思路分析】由A＝?得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式進行求解．【答案】解：因為A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝?，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，當a＝0，不等式等價為1＜0，無解，所以a＝0成立．當a≠0時，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，則a>0?=綜上實數(shù)a的取值范圍0≤a≤4．2.已知集合,,若,則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】由可得：當,則，∴，當,則m應滿足:,解得，綜上得;∴實數(shù)m的取值范圍是.故答案為:.題型十：子集與真子集1.已知集合，，，，則A． B．M?N C．N?M D．M∩N=?【思路分析】將集合M，N中的表達式形式改為一致，由N的元素都是M的元素，即可得出結(jié)論．【答案】M＝{x|x=k4+12，k∈Z}＝{x|x=N＝{x|x=k2+14，k∈Z}＝{x|x=∵k+2（k∈Z）為整數(shù)，而2k+1（k∈Z）為奇數(shù)，∴集合M、N的關系為N?M．故選：C．2.若集合，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．，【解析】∵A＝{x|x2﹣2x+m＝0}＝?，∴方程x2﹣2x+m＝0無解，即△＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，則實數(shù)m的范圍為（1，+∞），故選：C．【點睛】此題考查了空集的定義，性質(zhì)及運算，熟練掌握空集的意義是解本題的關鍵．3.已知集合，若，則______；的子集有______個.【答案】0或8【解析】∵集合，，∴或，解得或.的子集有個.故答案為：0或，8.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022·全國·高一）下列各對象可以組成集合的是（

）A．與非常接近的全體實數(shù)B．北大附中云南實驗學校學年度第二學期全體高一學生C．高一年級視力比較好的同學D．高一年級很有才華的老師【答案】B【分析】由集合中元素的性質(zhì)可直接得到結(jié)果.【詳解】對于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯誤；B中的元素滿足集合中元素的特點，可以構(gòu)成集合，B正確.故選：B.2．（2022·全國·高一）若以集合的四個元素為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．菱形【答案】C【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由題意，集合的四個元素為邊長構(gòu)成一個四邊形，根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，以四個元素為邊長構(gòu)成一個四邊形，結(jié)合選項，只能為梯形.故選：C.3．（2022·貴州·赫章縣教育研究室高一期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過解方程進行求解即可.【詳解】因為，或，或，所以，故選：D4．（2022·全國·高一）給出下列四個關系：π∈R，0?Q，0.7∈N，0∈?，其中正確的關系個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)自然數(shù)集、有理數(shù)集、空集的含義判斷數(shù)與集合的關系.【詳解】∵R表示實數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，N表示自然數(shù)集，?表示空集，∴π∈R，0∈Q，0.7?N，0??，∴正確的個數(shù)為1.故選:D.5．（2021·山東聊城一中高一期中）若，則的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷的可能取值.【詳解】，則，符合題設；時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設；時，則，符合題設；∴或均可以.故選：C6．（2022·全國·高一專題練習）下面五個式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正確的有（

）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關系逐個分析即可得出答案.【詳解】中，是集合{a}中的一個元素，，所以錯誤；空集是任一集合的子集，所以正確；是的子集，所以錯誤；任何集合是其本身的子集，所以正確；a是的元素，所以正確.故選：A.7．（2021·全國·高一課時練習）下列說法中正確的是（

）A．是不大于3的自然數(shù)組成的集合B．由1，3，，，，，組成的集合有7個元素C．和表示相同的集合D．表示空集【答案】C【分析】由自然數(shù)集可判斷A；由集合元素的互異性可判斷B；由集合元素的無序性可判斷C；由表示以空集為元素的集合可判斷D.【詳解】對于A，不大于3的自然數(shù)組成的集合是，故A錯誤；對于B，由，結(jié)合集合元素的互異性，可知由1，3，，，，，組成的集合有5個元素，故B錯誤；對于C，由集合元素的無序性可知兩個集合相等，故C正確；對于D，表示空集，表示以空集為元素的集合，故D錯誤；故選：C二、多選題8．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．由所有實數(shù)組成集合，由立德中學某班會運動的所有學生組成的集合.均不存在.B．，由5個2組成的集合.則C．，F(xiàn)E，則可能有4個.D．，用列舉法表示集合E為.【答案】BC【分析】根據(jù)集合之間的關系，以及集合的表示方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：由所有實數(shù)組成的集合是空集，由立德中學某班會運動的所有學生組成的集合是，都存在，故錯誤；對：，由5個2組成的集合，根據(jù)集合中元素的互異性，故，故正確；對：，因為FE，故為含有且是的子集，共有4個，故正確；對：，故錯誤.故選：.9．（2021·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學高一階段練習）下列敘述正確的是（

）A．若，則B．C．，，則D．有個非空子集【答案】BD【分析】A選項：集合與集合的關系是包含與否；B選項：直接判斷即可；C選項：點集和數(shù)集之間沒有關系；D選項：一個集合中有n個元素，則它的非空子集的個數(shù)為.【詳解】是個集合，所以，A錯誤；是的一個子集，所以，B正確；是點集，是數(shù)集，所以集合與集合沒有關系，C錯誤；的非空子集有，與，共3個，D正確.故選：BD三、填空題10．（2020·四川·雙流中學高一階段練習）已知集合與相等，則實數(shù)__________．【答案】2【分析】由已知，兩集合相等，可借助集合中元素的的互異性列出方程組，解方程即可完成求解.【詳解】因為集合與相等，則，解得．故答案為：2.11．（2021·浙江·玉環(huán)中學高一階段練習）設集合，則用列舉法表示集合為______．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，則，對代入檢驗，注意集合的元素為坐標．【詳解】∵，則可得，則又∵，則當成立，當成立，∴故答案為：．12．（2020·甘肅·永昌縣第一高級中學高一階段練習）下列命題中正確的有________(寫出全部正確的序號).①{2，4，6}?{2，3，4，5，6}；②{菱形}?{矩形}；③{x|x2＝0}?{0}；④{(0，1)}?{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥.【答案】①③⑥【分析】根據(jù)集合間的基本關系中的子集、真子集的定義及元素與集合的關系即可求解.【詳解】對于①，2，4，6，則{2，4，6}?{2，3，4，5，6}，故①正確；對于②，菱形不屬于矩形，則{菱形}{矩形}，故②不正確；對于③，由，解得，則{x|x2＝0}?{0}，故③正確；對于④，，則{(0，1)}?{0，1}，故④不正確；對于⑤，集合與集合不能用屬于與不屬于關系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正確；對于⑥，，故⑥正確.故答案為：①③⑥.13．（2022·湖南·高一課時練習）用適當?shù)姆柼羁眨海?）______；

（2）______；（3）R______；

（4）______．【答案】

=

【分析】根據(jù)集合子集的定義及集合相等的概念求解.【詳解】由集合的子集、集合的相等可知（1），（2）=，（3），（4）故答案為：，=，，14．（2021·浙江省青田縣中學高一期中）設全集，對其子集引進“勢”的概念：①空集的“勢”最??；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，依次類推.若將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列，則排在第位的子集是___________.【答案】【分析】寫出包含元素個數(shù)從小到大的子集個數(shù)，發(fā)現(xiàn)含有小于等于2個元素的子集的個數(shù)為16個，含有小于等于3個元素的子集的個數(shù)為26個，故判斷出第位的子集在含有3個元素的子集中，由于第23位離第26位較近，所以從后面往前找，最終求得結(jié)果【詳解】不含任何元素的子集個數(shù)有1個，含有一個元素的子集個數(shù)有5個，含有兩個元素的子集個數(shù)有10個，含有3個元素的子集個數(shù)有10個，因為1+5+10+10=26>23，故排在第位的子集在含有3個元素的子集中，第26位的子集為，第25位的子集為，第24位的子集為，第23位的子集為故答案為：15．（2021·江蘇·高一課時練習）有下列命題：①空集是任何集合的真子集；②設，若，則；③.其中，正確的有_________.（填序號）【答案】②③【分析】根據(jù)空集不是本身的真子集即可判斷①，根據(jù)子集的概念即可判斷②③.【詳解】解：空集不是空集的真子集，故①錯誤；由子集的概念可得，設，若，則，故②正確；由子集的概念可得，故③正確.故答案為：②③.四、解答題16．（2022·湖南·高一課時練習）只有一個元素的集合，例如，它有兩個子集：空集和．兩個或三個元素組成的集合各有多少個子集？你能找出一般規(guī)律嗎？【分析】利用子集的定義及集合的表示即得.【詳解】對于兩個元素組成的集合，它有4個子集：；對于三個元素組成的集合，它有8個子集：；規(guī)律：一般地對于有n個元素的集合，共有個子集.17．（2021·安徽·涇縣中學高一階段練習）已知集合.(1)判斷是否屬于集合A；(2)若正整數(shù)能表示為某個整數(shù)的平方，，證明：；(3)若集合，證明：.【答案】(1)屬于集合A；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】(1)將2，5，25拆成兩個整數(shù)平方和即可；(2)由題可設，，由此即可證明；(3)根據(jù)m與n的奇偶分類討論即可.(1)由，可知屬于集合A；(2)由題可設，又由，設，有，由，有，故有；(3)①當都為偶數(shù)時，不妨設，有，此時為4的倍數(shù)，而偶數(shù)，此時；②當都為奇數(shù)時，不妨設，有，此時為2的倍數(shù)，而偶數(shù)，此時；③當一奇一偶時，不妨設，有，此時被4整除余1，而集合中的元素被4整除余3，此時.由①②③可知，.18．（2021·全國·高一專題練習）含有有限個元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù).例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和與交替和都是5.（1）寫出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的總和；（2）已知集合，根據(jù)提示解決問題.①求集合所有非空子集的元素和的總和；提示：方法1：，先求出在集合的非空子集中一共出現(xiàn)多少次，進而可求出集合所有非空子集的元素和的總和；方法2：如果我們知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的總和為，可以用表示出的非空子集的元素和的總和，遞推可求出集合所有非空子集的元素和的總和.②求集合所有非空子集的交替和的總和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【分析】（1）寫出集合{1，2，3}的非空子集，根據(jù)交替和的概念，求得各個交替和，綜合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，數(shù)字1、2、3各出現(xiàn)的次數(shù)，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，數(shù)字1、2、3、4各出現(xiàn)的次數(shù)，根據(jù)規(guī)律，推測出集合M中各數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)，即可得答案.②分別求得集合的交替和總和，根據(jù)規(guī)律，總結(jié)出n個元素的交替和總和公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】（1）集合{1，2，3}的非空子集為{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分別為1，2，3，集合{2，1}的交替和為2-1=1，集合{3，1}的交替和為3-1=2，集合{3，2}的交替和為3-2=1，集