全等三角形證明經(jīng)典50題2

三形有證已：AB=4，D是BC中點(diǎn)，111749AD是數(shù)，求A

ABECD

又＝CG∴EF＝已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD求證：B=2CAB

D

C

證明：連接BF和EF∵∠∠EDF解：延長使AD=DE∵是BC中∴BD=DC在△和BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△≌BDE∴AC=BE=2∵在△中AB-BEAEAB+BE∵AB=4即4-2＜2AD4+2＜AD＜3∴知是AB中°，

∴三角形BCF全等于角形EDF(邊角邊∴BF=EF,∠∠DEF連接BE在三角形BEF中∴∠∠BEF?！摺稀螦ED∴∠∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和角形中AB=AE,BF=EF,∠∠ABE+∠EBF=AEB+∠BEF=∴三形ABF和三角形全。∴∠∠EAF∠∠。

證明延長AB取點(diǎn)EAE＝AC，連接DE∵AD分∠BAC∴∠EAD＝∠∵AE＝AC，＝AD∴△AED≌△（）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝∴∠BDE＝∠∵∠ABC＝∠∠求證：

CD

12

AB

知∠1=2EF//AB，求證：EF=AC

∴∠ABC＝2E∴∠ABC＝2CADCB延長與，D為CP中點(diǎn)。連接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP為行四邊形又∠∴平行四邊形ACBP為形∴AB=CP=1/2AB已知：BC=DE，B=∠E，∠，F(xiàn)CD中，求證：1=∠2

AFCDEB過C∥EF交AD的長線于點(diǎn)GCGEF，可得，∠EFD＝＝DC∠＝∠（對頂角）∴△EFD△CGDEF＝∠CGD∠EFD又，EF∥∴，∠＝∠1∠∠∴∠CGD∠∴△為腰三角形，AC＝CG

已：平分CE，∠°證證明：在AE上取F使EF＝，連接CF∵⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝°∵＝，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠＝∵∠B∠D＝180°∠＋∠＝180∴∠＝CFA∵分∠∴∠DAC∠∵AC＝∴△ADC△（SAS

∴AD＝∴AE＝AFFEAD＋BE已：，，D是BC中點(diǎn)，是整數(shù)，求A

∴△ACD≌△∴AC=BE=2∵在△中AB-BE＜AE＜∵AB=4即4-2＜＜＜＜3∴

CGEF，可得，∠EFD＝DE＝∠＝∠GDC（對頂角）∴△EFD≌△CGDEF＝∠CGD∠EFD又∥∴∠EFD＝∠1∠1=∠2B

D

C

已：BC=DE，B=E∠∠，F(xiàn)是CD中，求證：∠2

∴∠CGD＝2∴△為腰三角形，解：延長使AD=DE∵是BC中∴BD=DC在△和BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC

ABECD

AC＝又＝CG∴EF＝已：AD平分∠，AC=AB+BD求證：B=2CA∴△≌BDE∴AC=BE=2

證明：連接BF和EF∵∠∠EDF

BD

C∵在△中AB-BEAEAB+BE∵AB=4即4-2＜2AD4+2＜AD＜3∴知是AB中°，

∴三角形BCF全等于角形EDF(邊角邊。∴BF=EF,∠∠DEF。連接。在三角形BEF中。∴∠∠BEF。又∵∠∠AED∴∠∠AEB?！郃B=AE。

證明延長AB取點(diǎn)EAE＝AC，連接DE∵AD分∠BAC∴∠EAD＝∠∵AE＝AC，＝AD∴△≌△（）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD求證：

CD

12

AB

在三角形ABF和角形中AB=AE,BF=EF,

∵AE＝AB+BE∴BD＝∴∠BDE＝∠ADCB解：延長使AD=DE∵是BC中∴BD=DC

∠∠ABE+∠EBF=AEB+∠BEF=AEF?！嗳蜛BF和三角形全。∴∠∠EAF∠∠。已∠CD=DEEF//AB，求證：EF=ACAFCD

∵∠ABC＝∠∠∴∠ABC＝2E∴∠ABC＝2C12.如，邊形ABCD中AB∥，分別平分∠ABC、∠BCD，點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。在△和BDE中AD=DE

B

E∠BDE=∠ADCBD=DC

過C∥EF交AD的長線于點(diǎn)G

在BC上取，連接

∵平∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE⊿（）∴∠A=∠∵AB//CD

∴BE=CE(等加等量，或等量減等量）∴△BEC是腰三角形∴∠∠是BAC平線AD上

∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE已知，是中AF=BD，，AC=7求DC∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+CFE=180∴∠D=又∵∠∠FCE

點(diǎn)AC>AB求證C

F

D

CCE平分∠BCD

A

A

EB∴⊿≌⊿（AAS∴∴13.已知：，EAB=∠BDEAF=CD，求證：∠E

B在AC上點(diǎn)E，使＝AB?！逜E＝AP＝∠EAP∠BAE

∵作AG∥BD交DE延線于G∴AGE全BDE∴AG=BD=5∴∽AF=AG=5∴．如圖，在ABC中BD=DC，F(xiàn)

C

∴△≌△BAP∴PE＝。＜EC

∠1=∠，求證AD⊥BC．解：延長AD至BC于點(diǎn)ABAB‖，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+，∵∠EAB=∠BDE，∴∠AED=∠ABD∴四邊形ABDE是行四邊形。∴得：AE=BD∵AF=CD,EF=BC∴三角形AEF全等于三角形，∴∠F=∠C已∠A=D求：∠∠ADB證明：設(shè)線段AB,CD所的直線交于AD<BC時E點(diǎn)是射BA,CD的點(diǎn)，當(dāng)AD>BC時E點(diǎn)是射線的點(diǎn)：△是腰角形?！郃E=DE而AB=CD

∴＜AC－AE＋∴－＜AC－AB。已知∠ABC=3∠，∠1=∠BEAE，求證：AC-AB=2BE證明：在AC取一點(diǎn)D使得角角C∵∠ABC=3C∴∠∠ABC-∠DBC=3∠C-∠∠；∵∠ADB=C+∠DBC=2∠C;∴∴AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中是BAD的角平分線，∴垂BD∵⊥AE∴點(diǎn)一定在直線BD上在等腰三角形中AB=AD垂直BD∴點(diǎn)也是BD中點(diǎn)

∵∴BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠∴DBC+1=∠∠2即∠ABC=∠∴△ABC是腰三角形∴AB=AC在△和△中｛AB=AC∠1=∠BD=DC∴△和ACD是等三角形（邊角邊）∴∠∠CAD∴是ABC的中垂線∴⊥∴AD．如圖OM平POQMA⊥OQ，、為垂足交OM于．求證：∠OBA

證明：∵平∠∴∠＝∠QOM∵M(jìn)A⊥，⊥OQ∴∠MBO∵OMOM∴△≌△（AAS∴OAOB∵ON∴△AON≌△BON（SAS∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=ONB∵∠ONA+ONB＝180

延長AC到E使AE=AC連ED∵AB=AC+CD∴CD=CE可得∠∠△CDE等腰∠∠分如圖①、分為線段AC上兩個動點(diǎn)DE⊥ACE⊥AC于FAB=CDAF=CE

∥，E為AB的點(diǎn)，（1求證eq\o\ac(△,：)AED△．（）看圖前，在不添輔助線的情況下除△EBC外再寫出兩個與△的積相等的三角形寫出結(jié)果，不要求證明A∴∠ONA＝∠ONB∴OM分如圖，已知AD∥BC，

BD交AC于M．（1求證，（2E兩移動到如圖②的位

E

O

D證明：∠的平分線與CBA的分線相交于的線交AP于D求證：．PCE

置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明不立請說明理由．

BC∴∠AED∵＝DE，DC＝AE∴△AED≌△∵為AB中∴AE＝

∵DC∥做

DAB

的延長線，與AP相

∴＝DC∵DC∥∴∠BEC∵＝交于F點(diǎn)∵∴∠∠CBA=180∵，均∠和CBA的角平分線∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90，EAB為角三角形在三角形ABF中AE⊥BF且AE為∠FAB的平分線∴三角形為等腰三角形，AB=AF,BE=EF

（1連接BE，DF．∵⊥于，BF⊥AC于F∴∠DEC=∠，DEBF

∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC分如圖，△ABC中∠度AB=ACBD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過點(diǎn)的直線于，直線CE的延長線于．求證：BD=2CE．F在三角形DEF與角形中∠EBC=且，DEF=

在eq\o\ac(△,Rt)DEC和eq\o\ac(△,Rt)BFA中∵AF=CE，AB=CD，

∠，∴三角形與角形為等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC．如圖，ABC中AD是CAB的平分線，且AB=AC+CD求證：∠C=2BA

∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)（HL∴．∴四邊形BEDF是行四邊形．∴MB=MD；（2連接BE，DF．∵⊥于，BF⊥AC于F∴∠DEC=∠，DEBF在eq\o\ac(△,Rt)DEC和eq\o\ac(△,Rt)BFA中∵AF=CE，AB=CD，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)（HL∴．∴四邊形BEDF是行四邊形．

C證明：∵∠∠°∴ABCE四點(diǎn)共元∵∠E=E∴∴∠ECA=∠EAC取線段BD的點(diǎn)G連接AG：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而ECA=∠GBA同弧上的圓周角相等）C

DB

∴MB=MD．

∴∠ECA=∠∠GBA=∠GAB

而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE、如圖：DF=CE，AD=BC∠∠C。求證：△≌△。

∴∠ADB=°∴BD⊥10分AB=AC，DB=DC，是AD的延長線上的一點(diǎn)。求證：BF=CFA

BC的點(diǎn)，試說明三只石凳，，M好在一條直線上證明：連接D

EF

C

∵AB∥CDAB證明：∵，∴，即DE=CF，在△AED和BFC中，∵AD=BC，∠∠C，DE=CF∴△≌△（SAS）分）如圖AE交點(diǎn)M點(diǎn)AM上BE∥BE=CF求證：是△ABC的線。AF

B在△與△中AB=ACBD=DC∴△≌ACD∴∠ADB=ADC∴∠∠FDC在△BDF與FDCBD=DC∠BDF=FDC∴△FBD≌△∴

∴∠∠∵M(jìn)是BC中點(diǎn)∴BM=CM在△△CFMBE=CF∠CBM=CM∴△BEM≌△（）∴CF=BE．已知：點(diǎn)F、C在一條直線上，＝BE∥DF，＝DF求證eq\o\ac(△,：)ABE△．B證明：∵‖CF

E

MC

分圖，CE=FB求證。ABF

∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵∴∠∠CFD（兩直線平行，內(nèi)∴∠E=，∠EBM=∠∵BE=CF∴△BEM≌△∴BM=CM∴AM是△的中線分如圖：在ABC中BA=BCD是AC的點(diǎn)求證：BD⊥。

ED∵AB=DCAE=DF,CE=FB∴△ABE=CDF

錯角相等）∵BE=DF∴eq\o\ac(△,：)ABE△（SAS32.已知：如圖所示，＝AD，BC＝DCF分是DC中點(diǎn)，求證：AE＝AF

D

∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=∴

DEA

C

30.園里有一條“Z道路

B

F∵△和△的條邊都相等∴△△BCD∴∠∠

ABCD，圖所示，其中AB∥，在，CD，三段路旁各有一只小石凳EM，BECFM在

連接BD∵BC=D

F直經(jīng)過點(diǎn)且ADC∴∠∠ABD∠CDB=∠ABD;F直經(jīng)過點(diǎn)且ADC

C

D

37.已知如圖,ACBC于C,∵BC=DC是中點(diǎn)∴；∵DE=BF∠ADC=∠ABC∴。

FEA證明：

DEAC于E,AD于ABC=AE．AB=5,的？A∵BD⊥如在四邊形ABCD中E∴°AC上的一點(diǎn)，1=2，∠∠4∵CE⊥AB求證:5=∠6∴BEC=90

EB∵AD⊥AB

D

D1532E64B

C

∴∠BDC=∠°∵∴∠DCB=∠∴∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)（AAS)∴BE=CD

∴∠BAC=∠又∵AC⊥C，DE⊥AC于E根據(jù)三角形角度之和等于度∴∠ABC=∠∵BC=AE，ABC≌△DAE（ASA）∴AD=AB=5證明：在△，ABC中∵AC=AC∠BCA=∠DCA∴△≌ABC兩角加一邊）∵AB=AD，BC=CD在△與△∠BCA=∠，，BC=CD

如ABC中AD為BAC的平分線，⊥AB于E，DFAC于F。求證：DE=DF．A

．如圖：AB=AC，⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為、，。求證：A∴△≌（兩邊夾一角）∴∠DEC=∠

E

F

EBMC．已知∥DEBCEFD，C在AFAD＝CF證eq\o\ac(△,：)ABC≌△DEF．∵AD=DF∴AC=DF

B證明：∵AD是∠BAC的平分線∴∠EAD=FAD∵⊥AB，DF⊥AC∴∠∠CFD=90∴∠AED與∠AFD=90°在△AED與△AFD∠∠FAD∠∠AFD

證明：∵∴∠B=C∵⊥，⊥AC∴∠BEM=CFM=90°在△△CMF∵∠∠∠BEM=∠°ME=MF∴△BME≌△（AAS∴．∵AB//DE∴∠A=∠

∴△AED△AFD（AAS∴AE=AF

．eq\o\ac(△,在)ABC中

ACB90

，又∵BC//EF∴∠F=∠BCA

在△AEO與△AFO∠EAO=∠FAO

ACMN∴△≌△（ASA

AO=AOAE=AF

于，BEMN于已如AB=ACBDAC

∴△AEO≌△AFO（）∴∠∠°

E

.(1)當(dāng)線繞旋到圖1AB垂足分別為D、，BD、CE相于點(diǎn)，證：．

∴AD⊥EF

的位置時，求證：①≌

；②

AD

；

∴△ABF△（SAS∴；

D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋到圖2的位置時）的結(jié)論還成立嗎？若成立給證明若不立，說明理由.（1①∵∠∠ACB=∠°∴∠CAD+∠ACD=90，BCE+CBE=90，ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠．∵AC=BC，∴△≌．②∵△≌△CEB∴CE=AD，．

（2）圖，根據(jù)（1≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF∵⊥AB，∴∠°，∴∠AEC+∠°∵∠ADE=BDM（對頂角相等∴∠∠BDM=90°在△中∠BMD=180-∠ABF-∠BDM=180-90°°，∴⊥BF．42．圖BE⊥，CF⊥，BM=AC，CN=AB求證AM=AN）AMAN。

在△和CDE中,AB=DE∠∠DAF=CD∴△≡△CDE（邊角邊∴FB=CE在四邊形BCEF中FB=CEBC=EF∴四邊形BCEF是行邊形∴‖EF如已知ACBDEA分別平分CAB和點(diǎn)E，則AB與相嗎請說明理由∴．（）∵∠ADC=∠CEB=∠

N

4

3

A°∴∠ACD=∠．又∵AC=BC∴△≌．

1

F

M2

E∴CE=AD，．∴﹣CD=AD﹣BE．如圖所示，已知AEAB，AF⊥AE=ABAF=AC求證⊥BFFEAMBC（1∵AEAB，AF⊥AC∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠∠BAF在△和中∵AE=ABEAC=∠，

BC證明：（1∵⊥AC，⊥AB∴∠ABM+BAC=90°∠ACN+∠°∴∠∠ACN∵BM=AC，∴△ABM≌△NAC∴（2∵△ABM≌△NAC∴∠∠N∵∠N+∠°∴∠∠BAN=90即∠MAN=90°∴AM⊥．如圖已知∠∠

在AB上點(diǎn)N使AN=AC∵∠CAE=∠EAN∴為公共,∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠又∵平BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=EBN∵為共邊∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD分圖已知:AD是BC上的中線,且．求證:BECF

OB=OC∠AOB=∠DOC△AOB∴

AO=DO

∵AB=DC,AC=DB，∴△ABC≌△，∴∠ABC=∠DCB又∵，AB=DC