勾股定理（全國一等獎(jiǎng)）

18.1勾股定理(1)史話·勾股定理

勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，它在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，國內(nèi)外都有很多科學(xué)家、知名人士對此都有過研究，至今已有500多種證明方法.國內(nèi)：公元十一世紀(jì)周朝數(shù)學(xué)家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算經(jīng)》中有所記載.

公元3世紀(jì)三國時(shí)代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，把勾股定理敘述成：勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之即弦.

國外：公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

公元前4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)很好的證明.

1876年4月1日，加菲樂德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個(gè)證法.在行距、列距都是1的方格網(wǎng)中，任意作出幾個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形，分別以三角形的各邊為正方形的一邊，向形外作正方形，如圖，并以S1

，S2

與S3分別表示幾個(gè)正方形的面積．探究：觀察圖(1)，并填寫：S1＝個(gè)單位面積；S2＝個(gè)單位面積；S3＝個(gè)單位面積．觀察圖(2)，并填寫：S1＝個(gè)單位面積；S2＝個(gè)單位面積；S3＝個(gè)單位面積．圖(1)，(2)中三個(gè)正方形面積之間有怎樣的關(guān)系，用它們的邊長表示，是：．918991625a2+b2=c2結(jié)論：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.說一說：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此，我們稱上述定理為勾股定理國外稱之為畢達(dá)哥拉斯定理（Pythagorastheorem）如果直角三角形的兩直角邊用a，b表示，斜邊用c表示，那么勾股定理可表示為：a2+b2＝c2AC2+BC2＝AB2拼一拼ccccabababab給出一個(gè)邊長為c的正方形和四個(gè)直角邊分別為a，b三角形，你能把它們拼成一個(gè)正方形嗎？想一想：我們怎樣用面積計(jì)算的方法來證明勾股定理呢？

已知：如圖，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，求證：a2+b2＝c2.ccccabababababcACBA1B1C1D1EFGH證明：由拼圖可知：大正方形的邊長為(a+b),小正方形的邊長為c，∵大正方形EFGH的面積減去4個(gè)△ABC的面積等于中間的小正方形A1B1C1D1的面積.化簡，得：a2+b2＝c21.求下列圖中字母所表示的正方形的面積.練一練225400A22581B＝625＝1442.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，

AC＝b.（1）a＝6，b＝8，求c；（2）a＝8，c＝17，求b.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，

在用勾股定理時(shí)，需要知道直角三角形中的兩條邊長，才能求出第三邊長.想一想：3.△ABC中，AB=10，AC=17，BC邊上的高線AD=8，求線段BC的長．解：本題分兩種情況討論：（1）如圖1，當(dāng)AD在△ABC內(nèi)時(shí)，在Rt△ABD中，1017ABCD圖18BD2+AD2＝AB2在Rt△ADC中，DC2+AD2＝AC2∴BC=BD+DC＝6+15＝21；（2）如圖2，當(dāng)AD在△ABC外時(shí)，由（1）知：BD＝6，DC＝15，∴BC=BD－DC＝15－6＝9，綜合上述，BC的長為9或21.ABC8D1710圖2(2)勾股定理及證明方法；小結(jié)與反思(1)勾股定理的由來；1.本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容，與同伴交流.2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲和經(jīng)驗(yàn)？談?wù)勀愕母形?(3)勾股定理的簡單應(yīng)用.

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