向量的數(shù)量積(一)+課件【核心知識精研精講】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

向量的數(shù)量積(一)1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生

位移s所做的功.2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.3.會計算平面向量的數(shù)量積.

“哼”老豬我偏要向右！我老沙喜歡天天向上八戒、沙僧把同樣質(zhì)量大寶箱拖動同樣的位移進(jìn)入白馬寺，他們做的功是否一樣？F2.

F1

.θ兩向量的夾角與垂直1問題一如圖所示，一物體在力F作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosα.

(1)這個公式有什么特點？請完成下列填空：①W(功)是

量；②F(力)是

量；③s(位移)是

量；④α是

量.(2)你能用文字語言表述功的計算公式嗎？數(shù)向向數(shù)提示：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積.非零向量∠AOB知識梳理當(dāng)θ＝0時，a與b

；

同向當(dāng)θ＝π時，a與b

；

反向...θθ2.垂直：如果a與b的夾角是

，則稱a與b垂直，記作

.知識梳理注意a⊥b.例1

已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？1.畫出圖形2.確定是否共起點a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°ab60°30°a＋ba－b..反思感悟求兩個向量夾角的步驟和注意事項起點重合求兩個向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.系數(shù)正負(fù)決定方向特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數(shù))的夾角為θ0，當(dāng)λ1λ2<0時，θ0＝180°－θ；當(dāng)λ1λ2>0時，θ0＝θ.

√跟蹤訓(xùn)練1兩向量的數(shù)量積2知識梳理1.已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作

，即

.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

.2.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.|a|·|b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ0知識梳理兩個向量平行注意同向和反向特別地，a·a＝|a|2或|a|＝

.≤向量數(shù)量積與模的關(guān)系兩個向量的夾角公式知識梳理注意(1)數(shù)量積運算中間是“·”，不能寫成“×”.(2)向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個零向量.(4)|a|2＝a2是求向量的長度的工具.(5)溝通了向量運算與數(shù)量之間的關(guān)系.例2已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積.解

(1)a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.兩個向量平行注意同向和反向(2)當(dāng)a⊥b時，θ＝90°，a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.反思感悟求平面向量數(shù)量積的步驟求夾角求a與b的夾角θ，θ∈[0，π].求模分別求|a|和|b|標(biāo)準(zhǔn)寫法求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ，要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省去.

(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為60°，則a·b＝____.10跟蹤訓(xùn)練2解析如圖，△ABC是邊長為6的正三角形，－18跟蹤訓(xùn)練2投影向量3

知識梳理投影投影知識梳理

.知識梳理注意(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量.(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.例3√例3分析

如圖，取AC的中點D，連接OD.數(shù)量積的幾何意義三角形外心的應(yīng)用例3解析

如圖，取AC的中點D，連接OD，因為O是△ABC的外心，所以O(shè)D⊥AC，－1反思感悟向量的投影①任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθ

e②θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量跟蹤訓(xùn)練3解析

a在b上的投影向量為|a|cos120°·e＝－e.√跟蹤訓(xùn)練3(2)已知|b|＝4，a與b的夾角θ＝60°，則向量b在向量a方向上的投影向量的模為_____.

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