大會(huì)2015集巖石材料裂紋演化的熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理

瑀，，，*（中國(guó)巖土力學(xué)巖土力學(xué)與工程國(guó)家，+（山東科技大學(xué)礦業(yè)與安全，山東青島“εv意義的物理量(熵S、內(nèi)能U、測(cè)度V或應(yīng)變?chǔ)?、速?描述裂紋演化的宏微觀狀態(tài)，將裂紋尖端的巖石材料中裂紋的起裂、擴(kuò)展、貫通問題是巖石力學(xué)基礎(chǔ)理論研究中的重要課題，本文在熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)上對(duì)裂紋演化進(jìn)行分析。試圖建立一種統(tǒng)一的表述方式，描述裂紋演化的全過程。裂紋演化熱力學(xué)方程(U-S-ε-v方程)的建為研究巖石材料中的裂紋演化情況，現(xiàn)在熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)巖石材料的裂紋演化熱力學(xué)方程，以期對(duì)裂紋演化過程的各個(gè)階段(穩(wěn)態(tài)演化、失穩(wěn)擴(kuò)展、止裂)進(jìn)行描述。研究單個(gè)裂紋的尖端，首先取裂紋尖端的鄰域范圍進(jìn)行分析，以熱力學(xué)第一定律為出發(fā)點(diǎn)，考慮裂紋尖端的能量守恒。采用“拖帶坐標(biāo)系”描述尖端的運(yùn)動(dòng)：假設(shè)有一斜交坐標(biāo)系附著于尖端上，如圖1，稱之為變化。1尖端坐考慮裂紋尖端微小的運(yùn)動(dòng)過程，由熱力學(xué)第一定律的推廣形式([2]、dUdEQ 其中，dU是尖端的內(nèi)能；dE是尖端運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)能；δQ是尖端吸收的外界能量；δW是尖運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)外做的功(相當(dāng)于能量耗散)U是狀態(tài)量，Q、W是過程量，所以分別用微分符號(hào)d和變分符號(hào)δ?，F(xiàn)在對(duì)方程(1)中右端的兩個(gè)函數(shù)δQ和δW分別進(jìn)行確定假定存在裂紋尖端熱力學(xué)系統(tǒng)σ-ε-T，T為恒定，則方程(1)中的元功δW 其中，σ為裂紋尖端的應(yīng)力，確定方法見裂紋尖端場(chǎng)有關(guān)內(nèi)容(、中國(guó)航空為裂紋尖端在微小過程內(nèi)的應(yīng)變，如圖2；d為能量密度，因?yàn)榭紤]到量綱問題，乘以體積即為能量量綱(焦耳J)2尖端由狀P1P2考慮彈性介質(zhì)， 定律E代入方程W 其中，E為巖石材料的彈性模量由熱力學(xué)第二定律可知，自然界發(fā)生的一切現(xiàn)象都是不可逆的，因?yàn)榘l(fā)生了能量耗散，從而給裂紋尖端提供動(dòng)力，裂紋的演化正是能量不斷耗散的過程。對(duì)裂紋尖端應(yīng)用熱力學(xué)第二定律，與上述熱力學(xué)第一定律相同，考慮一個(gè)微小過程吸收的微元熱量 其中，對(duì)于不可逆過程，T代表熱源溫度(環(huán)境溫度)，并且方程取不等號(hào)；對(duì)于可逆過程，T代表熱源溫度也代表裂紋系統(tǒng)的溫度，并且方程取等號(hào)；S是描述系統(tǒng)熱力學(xué)有序性的狀態(tài)函數(shù)，幾乎被認(rèn)為是熱力學(xué)中最重要的物理量。方程dE即為動(dòng)能變化dEd1Mv2 其中，M為裂紋鄰域空間內(nèi)的質(zhì)量，對(duì)于各項(xiàng)同性的均勻介質(zhì)來(lái)說(shuō)，其值為鄰域空間內(nèi)的測(cè)度與質(zhì)量密度的乘積M；v為從狀態(tài)P1到P2的裂紋擴(kuò)展速度變化量對(duì)方程(1)稍作變QdUdE 將方程(3)、方程(4)、方程(5)代入方程TdSQdUd1Mv2 將以上方程在裂紋擴(kuò)展的過程域P1P2內(nèi)積 dUP2d1Mv2

P1其中，P1、P2是裂紋演化過程中經(jīng)歷的兩個(gè)緊挨著的狀態(tài)，其間隔時(shí)間非常之小，可視為微小過程；Ω是裂紋尖端鄰域空間；V是尖端鄰域空間上的測(cè)度，因?yàn)槭瞧矫鎲栴}，因此取單位厚度，如圖3，單位厚度的測(cè)度為積分V。3尖端鄰域空間內(nèi)的測(cè)積分，得方TSSQQUU

1Mv'2v2

EV'22 的討論；Q1、Q2分別為狀態(tài)P1、P2時(shí)外界流入系統(tǒng)的能量；U1、U2分別為狀態(tài)P1、P2時(shí)的內(nèi)能M為裂紋鄰域空間內(nèi)的質(zhì)量，見方程(5)的討論；v'和v0分別為尖端在P1、P2時(shí)的裂速；'和TSQU1Mv21EV2 方程(10)就是所推導(dǎo)得到的巖石材料裂紋演化熱力學(xué)方程，描述了裂紋尖端能量參數(shù)、力學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系，因其含有重要變量：內(nèi)能U、熵S、應(yīng)變?chǔ)拧⒘阉賤，可稱之為U-S--v方程。在接下來(lái)的討論中將看到，以這個(gè)方程為中心衍生出一些比較重要的討論。裂紋演化熱力學(xué)方程(U-S-ε-v方程)的推現(xiàn)根據(jù)以上推導(dǎo)的裂紋演化熱力學(xué)方程進(jìn)行進(jìn)一步的推論分析。主要包括尖端形變方程、考慮熵和內(nèi)能的方程、裂紋相互作用方程。考慮尖端形變的U-S-ε-v方現(xiàn)分析裂紋尖端的形變情況上述推導(dǎo)中可見“測(cè)度V”等的敘述，實(shí)際上就是體積的概念，因?yàn)榭紤]到尖端的鄰域空間故將其稱為測(cè)度。當(dāng)尖端測(cè)度V在裂紋演化中發(fā)生變化，如從狀態(tài)P1到P2，顯然，這就不能用先前狀態(tài)P1的測(cè)度V代替狀態(tài)P2的測(cè)度了。這時(shí)的測(cè)度將發(fā)生改變，如圖3。由熱力學(xué)第一定律引出的物態(tài)方程p(V,T)可以將測(cè)度V視為狀態(tài)函數(shù)，從而確定在不同狀態(tài)時(shí)的測(cè)度情況，考慮p-T系統(tǒng)，根據(jù)凝聚態(tài)物理([2)可知存在各項(xiàng)同性固體的物態(tài)方程，由于本文研究彈性介質(zhì)中的微裂紋，考慮σ-T系統(tǒng)，并考慮到量綱一致性，則尖端測(cè)度方程可寫為 這個(gè)方程表示狀態(tài)T、σ時(shí)裂紋系統(tǒng)V(體積)，實(shí)際上是在(T0,σ0)點(diǎn)將(T,σ)Taylor級(jí)數(shù)展開，保留到一階項(xiàng)，因此方程(11)僅適T、σ偏離原狀T0、σ0范圍不太大時(shí)的情況。在過程域P1,P2內(nèi)，V0、T0、σ0分別表示在狀態(tài)P1時(shí)的測(cè)度、溫度、應(yīng)力，其中，應(yīng)力可用定律做變換；V、Tσ分別表示在狀態(tài)P2時(shí)待定的狀態(tài)變量，本節(jié)討論中，視V為未知量，κT分別為膨脹系數(shù)、等溫壓縮系數(shù)，它們都是狀態(tài)函數(shù)，分別由下式確定1V，

1V

VVT 其中，α為應(yīng)力不變的情況積隨溫度的相對(duì)變化率；κT為溫度不變的情況積隨應(yīng)力的相對(duì)變化率。它們都是可測(cè)量，由熱力學(xué)試驗(yàn)確定。如前所述，在T、σ偏離原狀態(tài)T0、σ0范圍不太大的情況下，α、κT可被視為常數(shù)。再者，由于不考慮溫度的變化，則方程(11)中的項(xiàng)(T-T0)=0。考慮彈性介質(zhì)，聯(lián)立定律 這樣，方程(11)可寫TSQU1Mv21EV21 方程(14)是表現(xiàn)測(cè)度變化的裂紋演化熱力學(xué)方程，是方程(10)程可以描述裂紋尖端的形變情況。引入熵平衡方程的U-S-ε-v方由熱力學(xué)中的熵平衡方程可知，裂紋系統(tǒng)內(nèi)的“熵增”由兩部分組成，一部分是由于裂紋自身不可逆演化產(chǎn)生的熵diS“熵產(chǎn)生”；另一部分是由于裂紋系統(tǒng)與外界環(huán)境的交換而產(chǎn)生的熵deS，稱為“熵流”或“供熵”，流入能量為“正熵流”，流出能量為“負(fù)熵流”。熵平衡方程為dSdiSde 則裂紋演化基本方 可進(jìn)一步寫為如下形TSSQU1Mv21EV2 關(guān)于這個(gè)方程的意義在下文中討論。將看到它可以解釋裂紋失穩(wěn)貫通、止裂等現(xiàn)象Boltzman關(guān)系的U-S-ε-v方現(xiàn)在考慮統(tǒng)計(jì)力學(xué)中著名的Boltzman關(guān)Skln則方程(10)進(jìn)一步寫為

2 Tk QU2M 1

2EV

其中Ω1、Ω2分別為過P1,P2端點(diǎn)狀態(tài)的熱力學(xué)幾率kBoltzman常數(shù)1.381023JK方程(18)的意義在下文說(shuō)明，它能合理解釋裂紋擴(kuò)展、貫通、止裂的現(xiàn)象考慮內(nèi)能增量的的U-S-ε-v方類比熱力學(xué)中的p-V-T系統(tǒng) [1]、[2])，對(duì)于裂紋的σ-ε-T系統(tǒng)來(lái)說(shuō)有如下內(nèi)能的具體表達(dá)形UT,VTCT,VdT

VT

0T TCT,VdT 其中，CV TCT,VdT V VT 0T 則裂紋演化基本方程(10)可進(jìn)一步寫為如下形TCT,VdTV TS1EV21Mv2 VT T V 0T 根據(jù)方程(20)，就可以由試驗(yàn)定量確定裂紋演化熱力學(xué)基本方程(10)中的內(nèi)能變化量描述裂紋尖端相互作用的的U-S-ε-v方根據(jù)方程(16)，考慮兩個(gè)裂紋尖端系統(tǒng)的熱力學(xué)方程TSSU1Mv21EV2i e

TSSU Mv2 i e 2方程中的ΔeS、ΔS、ΔU、Δv、Δε為變量，依據(jù)不同的裂紋尖端而不同。對(duì)于兩個(gè)不同的尖端系統(tǒng)，當(dāng)它們各自孤立時(shí)(即沒有發(fā)生貫通等相互作用)，有熵流等式ΔeS1=ΔeS2=0，并且其余的變量也不確定(可能相等、可能不等)。當(dāng)兩個(gè)裂紋尖端相互靠近，出現(xiàn)相互作用時(shí)，發(fā)生最明顯變化的是熵流，它將扮演一個(gè)重要的角色。此時(shí)，為了討論的方便，將這兩條裂紋的變量ΔiS、ΔU、Δv、Δε視為定值，尖端運(yùn)動(dòng)的不同由ΔeS反映，二者的ΔeS間存性關(guān)系eS1ke 于是有任意兩個(gè)裂紋尖端的熱力學(xué)方TSSU1Mv21EV2i e

TSkSU Mv2 i e 0存在四種情況k=0，即ΔeS1=ΔeS2=0k>0，即ΔeS1>ΔeS2。此時(shí)裂紋尖端1的熵流大于裂紋尖端2的熵流，即尖端1受到尖端的影響比尖端2受到尖端1的影響強(qiáng)烈k<0，即ΔeS1<ΔeS2。此時(shí)裂紋尖端2的熵流大于裂紋尖端1的熵流，即尖端2受到尖端的影響比尖端1受到尖端2的影響強(qiáng)烈將以上結(jié)論推廣至n個(gè)裂紋尖端的情eSnkmeSn1，km{k10,k20,k30,k4其中，km為尖端因子影響系多裂紋尖端中任意n個(gè)尖端的熱力學(xué)方程組TSkSU1Mv21EV2i me

TSkSU Mv2 i me TSkSU Mv EVi me

0TSk UMv2EV2i me 0綜合以上論述，外熵流的增量表現(xiàn)了裂紋尖端相互作用的影響情況。再者，引入Boltzman關(guān)系，將外熵流改寫為Boltzman關(guān)系kln

0,

0,

0,

m

e(n1)1結(jié)合熵平衡方 e12

1Mv21EV2TiS0kmk

0e11 0

TSkk e22U

Mv2 0i 00 e21 0

TSkk en2U

Mv2 0i 0

en1 00 e(n1)200

1Mv21EV2TiS0kmk

e(

U0

可以看到，在(n+1)個(gè)多裂紋尖端的系統(tǒng)中，任意一個(gè)裂紋尖端的總熵增都受到其它n個(gè)尖端的影響，并且由于km的取值不同，每個(gè)裂紋尖端下一步的發(fā)展情況不同，受裂紋相互作用的影響程度熵S和內(nèi)能U這兩個(gè)具有重要性的物理量，可對(duì)裂紋演化全過程進(jìn)行解釋。對(duì)方程(10)進(jìn)UTS1Mv21EV2

M

1EV2 1 裂紋演化方程中內(nèi)能的物理意由方程(29)可知，內(nèi)能描述了裂紋尖端目前的現(xiàn)狀。裂紋演化過程中內(nèi)能的增量總是趨向最小，它總有最大值(上限)?？烧J(rèn)為ΔU表示剩余的能量，即剩余的能量總是趨向最小，能量耗散一直持續(xù)，直至ΔU為非正。1EV2可視作系統(tǒng)對(duì)外做功的能力(消耗能量的能力)，它越大2 示剩余的能量(ΔU)越大 Mv可視作系統(tǒng)保持運(yùn)動(dòng)的能力(保持運(yùn)動(dòng)的潛力)，它越大表示 2余的能量越小裂紋演化方程中熵的物理意由方程(30)可知，熵描述了裂紋尖端將來(lái)的發(fā)展情況。裂紋演化過程中總的熵增量總是趨向最大，它總有最小值(下限)?？烧J(rèn)為TΔS表示系統(tǒng)將來(lái)的程度，即隨著裂紋系統(tǒng)的度越來(lái)越大。系統(tǒng)對(duì)外做功的能力1EV22

(消耗能量的能力)越大，則系統(tǒng)將來(lái)的度越??；統(tǒng)保持運(yùn)動(dòng)的能力1Mv22

(保持運(yùn)動(dòng)的潛力)越大，將來(lái)的度越大J下面引入熱力學(xué)中的兩個(gè)概念([2])，用以描述“總熵增ΔS的變化率”。熱力學(xué)中定義了熵源強(qiáng)度θ和熵流密J

，Js

于是熵平衡方程可寫s

s ts ts 定義了以上物理量，就可以用來(lái)分別描述裂紋穩(wěn)態(tài)演化和失穩(wěn)擴(kuò)展階段的熵增率的情況。θ表示自身的熵產(chǎn)生，Js表示外界帶來(lái)的熵產(chǎn)生，對(duì)于穩(wěn)態(tài)演化和失穩(wěn)擴(kuò)展，熵流密度Js均為零，因此總熵增率式(32)為sis

展的熵變化量遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)演化的熵變化量，又因?yàn)榱鸭y系統(tǒng)的總熵增率st等于自身產(chǎn)生的熵源強(qiáng)度θ。由此可斷定，在裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展階段的θ’要遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)階段的θ0，因此表現(xiàn)出了在相同時(shí)間內(nèi)，失穩(wěn)擴(kuò)展階段的總熵變化量S大于穩(wěn)態(tài)階段的S，即穩(wěn)態(tài)演化階段的熵增等于熵源強(qiáng)度在時(shí)間t1,t2內(nèi)的積t2dt t2is0dt

11 11失穩(wěn)擴(kuò)展階段的熵增等于熵源強(qiáng)度在時(shí)間t1,t2內(nèi)的積t2'dt

t22

S

t1于是有不等S' 由上述討論可知，由于裂紋穩(wěn)態(tài)演化階段的熵源強(qiáng)度θ0遠(yuǎn)小于失穩(wěn)擴(kuò)展階段的θ’，所以失穩(wěn)擴(kuò)展的裂紋速度急劇增長(zhǎng)，甚至呈加速增長(zhǎng)，于是遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)演化階段的裂紋擴(kuò)展速度。θ和熵流密度Js(1)認(rèn)為熵產(chǎn)生diS是描述裂紋自身發(fā)展情況(如單條裂紋穩(wěn)態(tài)演化和單條裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展)diS引出熵源強(qiáng)度θ，認(rèn)為穩(wěn)態(tài)演化和失穩(wěn)擴(kuò)展中的θ存在巨大差別，θ越大則裂紋速度越快或者裂紋之間的貫通效應(yīng)越劇烈，但是穩(wěn)態(tài)演化和失穩(wěn)擴(kuò)展均與外熵流deS(2)認(rèn)為熵流deS是描述裂紋受外界影響強(qiáng)弱程度(如裂紋貫通、止裂)的重要參數(shù)，建立了兩個(gè)裂紋尖端相互作用的熱力學(xué)方程，并將其推廣到n個(gè)裂紋尖端的情況。以熵流deS引出熵流密度Js，認(rèn)為不受止裂控制的裂紋外熵流密度JsΔS無(wú)限趨近于零，即裂紋自身和外界都沒有熵增。裂紋穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展。由于總熵變永不為負(fù)，所以裂紋在演化過程中做負(fù)功，存在能量耗散，能量耗散產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力用以克服材料本身做負(fù)功，直至內(nèi)能增量小于或等于裂紋對(duì)外做功的值才停止，在此之前裂紋系統(tǒng)的熱量增量一直為正，也就是裂紋尖端在吸熱，并且一直擴(kuò)展。此外，在裂紋的尖端最容易發(fā)生能量耗散，所以裂紋總是沿著尖端發(fā)展。分岔與彎曲。S的Boltzman表述為kln21，可知后繼狀態(tài)的熱力學(xué)幾率Ω2總大于先前狀態(tài)的Ω12由于能量耗散導(dǎo)致的材料介質(zhì)的物理力學(xué)性狀改變，以及系統(tǒng)的度增加，使得發(fā)生分岔或彎曲現(xiàn)象，以增大裂紋系統(tǒng)度。并且這個(gè)過程的熵增dS是由于自身的熵產(chǎn)生diS的，與熵流deS無(wú)關(guān)。裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。熵源強(qiáng)度θ越大，裂紋速度越快或裂紋之間的貫通效應(yīng)越劇烈，但是穩(wěn)演化和失穩(wěn)擴(kuò)展均與外熵流deS無(wú)關(guān)。再者，由于失穩(wěn)擴(kuò)展的熵變化量遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)演化的熵變化量(多了一個(gè)動(dòng)能項(xiàng))，又因?yàn)榱鸭y系統(tǒng)的總熵增率st等于自身產(chǎn)生的熵源強(qiáng)度θ。由此可斷定，在裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展階段的θ’要遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)階段的θ0，因此表現(xiàn)出相同時(shí)間內(nèi)失穩(wěn)擴(kuò)展階段的總熵變化量S大于穩(wěn)態(tài)階段的S。由于裂紋穩(wěn)態(tài)演化階段的熵源強(qiáng)度θ0遠(yuǎn)小于失穩(wěn)擴(kuò)展階段的θ’，所以失穩(wěn)擴(kuò)展的裂紋速度急劇增長(zhǎng)，甚至呈加速增長(zhǎng)，于是遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)演化階段的裂紋擴(kuò)展速度。耗的能量來(lái)自于介質(zhì)自身，直至自身能量被裂紋尖端的運(yùn)動(dòng)耗散完畢，裂紋才停止運(yùn)動(dòng)。人為止裂：巖石材料中的加錨止裂控制一方面控制住了裂紋尖端運(yùn)動(dòng)速度Δv的增量，使得尖端消耗能量的能1Mv2

(動(dòng)能)減少；另一方面，止裂也增加了尖端消耗能量的潛力1EV22

(對(duì)所做的功)。因此，對(duì)于裂紋尖端的剩余能量(內(nèi)能增量ΔU)和未來(lái)的度TΔS(熵增)，有如下發(fā)展趨勢(shì)：加錨止裂中，內(nèi)能增量ΔU呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，相當(dāng)于保持住了系統(tǒng)的能量；未來(lái)的度TΔS呈減小趨勢(shì)，相當(dāng)于控制住了系統(tǒng)的發(fā)展。巖石破裂。巖石介質(zhì)由于若干微裂紋的演化而發(fā)生能量耗散，從而失去能量，當(dāng)自身能量不足以抵抗外界的荷載時(shí)，巖石發(fā)生破壞。完全破壞后的巖石能量為零，不再有熵增，是一個(gè)超穩(wěn)定狀態(tài)。綜上所述，對(duì)于全過程，由于能量的耗散驅(qū)動(dòng)了裂紋的擴(kuò)展，使得裂紋發(fā)生損傷斷裂演化，能量源于材料自身，當(dāng)能量耗散殆盡，裂紋自然停止，或者在外界作用下徹底破壞，這兩者都達(dá)到了系統(tǒng)演化的盡頭，處于超穩(wěn)定狀態(tài)。本文從熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理的角度建立了巖石材料的裂紋演化方程，進(jìn)行了裂紋演化基本方程及其它的一系列推論方程。運(yùn)用這一系列方程可以描述裂紋演化過程的物理圖像、解釋裂紋演化過程中的現(xiàn)象。但是本文所建立的理論僅是初步的、不成，有待進(jìn)一步發(fā)展。1.熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)[M].：2.熱力學(xué)(第二版)[M].：APRELIMINARYTHEORYOFTHERMODYNAMICSANDSTATISTICALPHYSICSONCRACKEVOLUTIONOFROCKMATERIALSWANGLuyu1,2CHEN TANXuyan2MAYongshang1ZANG(1.InstituteofRockandSoil AcademyofSciences，Wuhan，Hubei 2.Col