高中數(shù)學(xué)1-2學(xué)案：3．3　復(fù)數(shù)的幾何意義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解復(fù)數(shù)的幾何意義，會(huì)用復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)。2。了解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義.3。掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法．知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的幾何意義思考1復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R)與有序數(shù)對(duì)（a,b)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？思考2有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？思考3復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間能一一對(duì)應(yīng)嗎？思考4復(fù)數(shù)z＝a＋bi、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b）、向量eq\o(OZ，\s\up6(→))三者有何關(guān)系？1．復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做__________，x軸叫做________，y軸叫做________．2．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R)eq\o（→，\s\up7（一一對(duì)應(yīng)））復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)eq\o（→,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)））向量eq\o（OZ,\s\up6（→)).知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的模及意義1．定義:向量eq\o（OZ，\s\up6（→）)的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記為｜z|.2．公式：｜z｜＝eq\r(a2＋b2）.3．幾何意義：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離．知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1－z2對(duì)應(yīng)的向量？思考3類比絕對(duì)值|x－x0|的幾何意義，說明｜z－z0|(z，z0∈C）的幾何意義．1.如圖所示，設(shè)向量eq\o(OZ1，\s\up6（→))，eq\o(OZ2,\s\up6（→））分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di對(duì)應(yīng),且eq\o（OZ1,\s\up6(→））和eq\o（OZ2,\s\up6（→))不共線,以eq\o(OZ1，\s\up6（→)），eq\o（OZ2，\s\up6(→））為鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2.則向量eq\o(OZ,\s\up6（→)）與復(fù)數(shù)__________________相對(duì)應(yīng);向量eq\o（Z2Z1，\s\up6（→))與復(fù)數(shù)________________相對(duì)應(yīng)．2．｜z1－z2|＝eq\r（a－c2＋b－d2），即兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．類型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)例1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋（m2－3m＋2）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1）在虛軸上；（2）在第二象限；（3）在直線y＝x上,分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．反思與感悟按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn),就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f（1－2i，m－i）(m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z。(1)若點(diǎn)Z在虛軸上，求m的值;(2）若點(diǎn)Z位于第一象限,求m的取值范圍．類型二復(fù)數(shù)的模及其幾何意義例2已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r（3）－i，z2＝－eq\f(1,2）＋eq\f(\r(3),2）i.(1）求｜z1｜及|z2｜的值并比較大小;（2)設(shè)z∈C，滿足｜z2|≤｜z｜≤｜z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?反思與感悟（1）復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R)的模即向量eq\o(OZ，\s\up6(→）)的模，復(fù)數(shù)的?？梢员容^大?。?）復(fù)數(shù)的模的意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，也可類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來加深理解．跟蹤訓(xùn)練2（1)已知0<a<2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a,虛部是1,求|z|的取值范圍；（2）若|z｜的取值范圍是(1)中所求，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形．類型三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義例3在復(fù)平面內(nèi),A,B,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABDC，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長(zhǎng)．反思與感悟（1）根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算,同樣滿足三角形和平行四邊形法則．(2)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可靠．跟蹤訓(xùn)練3已知|z1|＝｜z2｜＝｜z1－z2|＝1，求|z1＋z2|。1．設(shè)z＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為________．2．復(fù)數(shù)z＝eq\f(－1＋i，1＋i）－1在復(fù)平面內(nèi)，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第________象限．3．復(fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量eq\o（OA，\s\up6（→))與eq\o（OB,\s\up6(→)）,則向量eq\o（AB，\s\up6(→）)表示的復(fù)數(shù)是____________．4．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝(m－3）＋2eq\r(m)i的點(diǎn)在直線y＝x上，則實(shí)數(shù)m的值為________．1．復(fù)數(shù)的幾何意義這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決．復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)．2．復(fù)數(shù)的模（1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z｜＝eq\r（a2＋b2);(2）從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離，類比向量的模可進(jìn)一步引申：｜z1－z2｜表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1一一對(duì)應(yīng)．思考2一一對(duì)應(yīng)．思考3能一一對(duì)應(yīng)．思考4復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b)來表示，也可以用向量eq\o（OZ,\s\up6(→）)來表示，三者的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的．1．復(fù)平面實(shí)軸虛軸知識(shí)點(diǎn)三思考1如圖，設(shè)eq\o（OZ1，\s\up6（→）),eq\o（OZ2,\s\up6（→))分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di對(duì)應(yīng),則有eq\o（OZ1，\s\up6（→)）＝(a，b)，eq\o(OZ2，\s\up6（→)）＝(c，d)，由向量加法的幾何意義eq\o（OZ1,\s\up6（→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(a＋c，b＋d),所以eq\o(OZ1，\s\up6(→)）＋eq\o(OZ2，\s\up6（→））與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d）i對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行．思考2z1－z2可以看作z1＋(－z2）．因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行,所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1－z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖）．圖中eq\o(OZ1，\s\up6(→））對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，eq\o(OZ2，\s\up6（→))對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則eq\o(Z2Z1,\s\up6（→))對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1－z2.思考3|z－z0｜（z，z0∈C）的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離．1．z1＋z2z1－z2題型探究例1解復(fù)數(shù)z＝（m2－m－2)＋(m2－3m＋2）i的實(shí)部為m2－m－2,虛部為m2－3m＋2。(1）由題意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1。（2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，，m2－3m＋2〉0,））∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－1〈m〈2,,m>2或m<1，))∴－1〈m〈1.（3）由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2。跟蹤訓(xùn)練1解z＝eq\f（1－2i，m－i)＝eq\f（1－2im＋i,m－im＋i）＝eq\f(m＋2,m2＋1）＋eq\f（1－2m，m2＋1）i，（1）∵點(diǎn)Z在虛軸上，∴eq\f(m＋2，m2＋1）＝0,則m＝－2.(2)點(diǎn)Z位于第一象限，則m＋2〉0且1－2m〉0，解得－2<m<eq\f(1，2).故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－2，eq\f(1,2)）．例2解(1)由復(fù)數(shù)模的定義:|z1|＝|eq\r（3)－i|＝2，|z2|＝|－eq\f(1，2)＋eq\f(\r（3），2)i｜＝1。∴｜z1|〉｜z2|。(2）設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R）,則1≤｜z|≤2.∴1≤x2＋y2≤4.因?yàn)閤2＋y2≥1表示圓x2＋y2＝1及其外部所有點(diǎn)組成的集合,x2＋y2≤4表示圓x2＋y2＝4及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合．∴滿足條件的點(diǎn)Z（x，y)的集合是以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)，如圖所示．跟蹤訓(xùn)練2解（1)由題意得z＝a＋i,根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義可得｜z|＝eq\r(a2＋1）。因?yàn)?〈a<2，所以1〈a2＋1〈5。故1〈|z｜＝eq\r（a2＋1）<eq\r(5).（2)由(1）知1〈｜z｜<eq\r（5),易得滿足條件1〈｜z｜〈eq\r(5）的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心、分別以1和eq\r(5）為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界，如圖：例3解由復(fù)數(shù)加減法幾何意義:eq\o（AC，\s\up6(→))對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z3－z1,eq\o（AB,\s\up6（→）)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2－z1，eq\o(AD,\s\up6(→)）對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z4－z1，根據(jù)向量的平行四邊形法則,得eq\o(AD,\s\up6(→)）＝eq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\o（AC,\s\up6（→）)?！鄗4－z1＝(z2－z1）＋(z3－z1），∴z4＝z2＋z3－z1＝（5＋i）＋（3＋3i)－(1＋i）＝7＋3i，∴AD的長(zhǎng)為｜eq\o（AD,\s\up6（→）)｜＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－（1＋i)|＝|6＋2i｜＝2eq\r(10）.跟蹤訓(xùn)練3解方法一設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b,c，d∈R），∵｜z1|＝|z2｜＝｜z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1,①(a－c)2＋(b－d）2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1，∴|z1＋z2｜＝eq\r(a＋c2＋b＋d2)＝eq\r(a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd)＝eq\r（3）。方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1、z2、z1＋z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C?！遼z1|＝|z2｜＝|z1－z2|＝1,∴△OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形,∴四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長(zhǎng)為1的菱形，且｜z1＋z2｜是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)，∴|z1＋z2｜＝|OC｜＝eq\r（|OA|2＋｜AC|2－2|OA｜｜AC|cos120°)＝eq\r(3）。達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．5解析z＝（2－i)2＝3－4i，所以｜z|＝｜3－4i|＝eq\r（32＋－42）＝5.2．二解析∵z＝eq\f(ii＋1,1＋i）－1＝i－1,∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（－1,1)在第二象限．3．－6－8i解析因?yàn)閺?fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量eq\o(OA，\s\up6（→）)與eq\o（OB，\s\up6（→）)，所以eq\o（OA，\s\up6（→）)＝（4,3），eq\o（OB，\s\up6(→))＝(－2，－5)，又eq\o（AB，\s\up6（→