(正)高等數(shù)學競賽練習冊答案

全國大學生數(shù)學競賽委員會關于舉辦第三屆全國大學生數(shù)學競賽的通知各省、市、自治區(qū)數(shù)學會、解放軍院校協(xié)作中心數(shù)學聯(lián)席會：為了培養(yǎng)人才、服務教學、促進高等學校數(shù)學課程的改革和建設，增加大學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)分析、解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學創(chuàng)新人才，為青年學子提供一個展示基礎知識和思維能力的舞臺，經中國數(shù)學會批準，第三屆全國大學生數(shù)學競賽由上海同濟大學承辦。經全國大學生數(shù)學競賽委員會研究確定，本屆比賽分區(qū)預賽在2011年10月29日（星期六）上午9：00—11：30舉行，決賽同濟大學舉行。的具體事宜通知如下：（1）參賽對象：于2012年3月份的第三周周六上午在現(xiàn)將競賽大學本科二年級或二年級以上的在校大學生。競賽分為非數(shù)學專業(yè)組和數(shù)學專業(yè)組(含數(shù)學與應用數(shù)學加非數(shù)學專業(yè)組的競賽（2）競賽內容：非數(shù)學專業(yè)組競賽內容為本科高等數(shù)學內容（高等數(shù)學內容為理工科本科教學大綱規(guī)定的高等數(shù)學的教學內容）。數(shù)學專業(yè)組競賽內容含數(shù)學分析、高等代、信息與計算科學專業(yè)的學生)。數(shù)學專業(yè)學生不得參。數(shù)和解析幾何（均為數(shù)學專業(yè)本科教學大綱規(guī)定的教學內容），所占比重分別為50%、35%及15%左右。（3）獎項的設立：設賽區(qū)（一般以省、市、自治區(qū)作為賽區(qū)，軍隊院校為一個獨立賽區(qū)）獎與全國決賽獎。賽區(qū)獎。按照重點學校與非重點學校，數(shù)學每個賽區(qū)的獲獎總名額不超過總參賽人數(shù)的15%（其中一等獎、二等獎、三等獎分別占各類獲獎總人數(shù)的20%、30%、50%）。冠名為“第三屆全國大學生數(shù)學競賽（**賽區(qū)）*等獎”。獎。參加全國少于5名（其中數(shù)學類2名，非數(shù)學最后入選名單由競賽組織委員會批準。決賽階段的評獎等級按絕對分數(shù)評獎。的獲獎證書均加蓋“中國數(shù)學會普及工作委員會”的公章，獲獎證類專業(yè)與非數(shù)學類專業(yè)分別評獎。決賽決賽的總人數(shù)不超過300人。每個賽區(qū)參加決賽的名額不類3名）,由各賽區(qū)在賽區(qū)一等獎獲得者中推選。分區(qū)預賽和決賽書由承辦單位統(tǒng)一印制。每份獲獎證書，承辦單位收取工本費5元。（4）命題、閱卷、評獎工作：分區(qū)預賽和決賽的試題由全國大學生數(shù)學競賽委員會統(tǒng)一組織專家命題。分區(qū)預賽的試卷印刷、保密、閱卷、評獎工作，由各區(qū)統(tǒng)一安排，由各賽個賽區(qū)的競賽負責人統(tǒng)一部署。各賽區(qū)在考試結束后，當堂密封試卷，及時送交到賽區(qū)指定試卷評閱點集中閱卷。評獎工作由各賽區(qū)自行組織。決賽階段的試卷印刷、保密、評閱工作在全國大學生數(shù)學競賽委員會領導下，由承辦單位組織進行。評獎工作由全國大學生數(shù)學競賽委員會組織專家組評定。（5）決賽試題和獲獎名單將在全國大學生數(shù)學競賽網站上公布。中國數(shù)學會普及工作委員會二〇一一年五月十二日

一、函數(shù)、極限、連續(xù)（競賽大綱）1．函數(shù)的概念及表示法、簡單應用問題的函數(shù)關系的建立.2．函數(shù)的性質：有界性、單調性、周期性和奇偶性.3．復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質及其圖形、初等函數(shù).4．數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質、函數(shù)的左極限與右極限.5．無窮小和無窮大的概念及其關系、無窮小的性質及無窮小的比較.6．極限的四則運算、極限存在的單調有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.7．函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點的類型.8．連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性.9．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).1-1實值函數(shù)F(x)和G(x)都定義在整個實數(shù)軸上，并且滿足limF(x)=p，limG(x)=q，x→ax→p討論：是否有l(wèi)imG(F(x))=q，若成立則證明，若不成立，請舉例說明。x→a1-2設a>0，{x}滿足：nx>0,x=1(x+a),n=0,1,2",2x0n+1nn證明：{x}收斂，并求limx。n→∞nn1-3設x>0,x=x2+x(n=1,2,...)，試計算lim(1++...+)。11+n+1nn+1x+1x1n1n→∞x121-4設x>0,x=1(n=1,2,...)，求limx。n→∞n3(1+x)nn1+3+xn1-5求極限lim2sin2n+cos2n。nn→∞1-6求極限lim1+bn+(b2/2)n(b>0)。nn→∞∑a=n(nx+k)(nx+k+1)(x>0)，求lima。1-7設nnn→∞k=1λ1-8求不等于0的數(shù)，使得I=limn(1)2005/[nλ?n?=]1/2006。λn→∞1-9設{a}滿足lim1∑na=l，證明：n→∞nk=1nk（1）若limn(a?a)=0，則lima=l；nn?1nn→∞n→∞∑n→∞k=2（2）若lima=l，則I=limk(a?a)/n=0。nnkk?1n→∞1-10求極限limsin(xx)?sin(ax)a>。(1)a?aaxx→axx1-11求極限I=limn[arctan[ln(n+1)]?arctan(lnn)]。n→∞1-12若有數(shù)組{a,a,"a}滿足01na+2a+22a2an?1+2nan?1n=0，nn+12+"+01123證明：alnnx+"+aln2x+alnx+a在(1,e2)內必有一個零點。n2101-13設xn+x=1在(0,1)中的根為a(n∈N)，試證明：a→1(n→∞)。nn∑(n+1)21，求x=limx。1-14nknn→∞k=n21-15設a>0，求liman+an+"an。n12mn→∞i∑∞1-16求a的和，其中a=1，a=1/(a+a+"+a)?2。n1n+112nn=1(1?sinx)(1?3sinx)"(1?nsinx)(1?sinx)n?1lim1-17x→π2xαlncosx?arctan4?x2lim1-18。βln(1?2x)?lncosxx→01-19limtann(π+2)4nn→∞π1-20limsin(n2+1)n→∞???a+xa+"+xa?????x(a>0)1-21limn→∞12nni1+x1-22設x=4，x=，求limx。n?121nxnn→∞n?1x21-23設f(x)=n1+xn+()n，0x≥，求n→∞limf(x)。n2n?x(1+x),x≤0???πcosx21-24已知函數(shù)f(x)=，求f(x)的間斷點，并說明其類型。?πsin?,x>0x24??二、一元函數(shù)微分學（競賽大綱）1.導數(shù)和微分的概念、導數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系、平面曲線的切線和法線.2.基本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)和微分的四則運算、一階微分形式的不變性3.復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法4.高階導數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導數(shù)5.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰...勒定理.6.洛必達求未定式極限.(L’Hospital)法則與7.函數(shù)的極值、函數(shù)單調性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.其簡單應用.率、曲率半徑.8.函數(shù)最大值和最小值及9.弧微分、曲2-1設函數(shù)f具有一階連續(xù)導數(shù)，"(0)存在，且'(0)=0，f(0)=0，ff?f(x),x≠0,x=0.g(x)=??x?a,?（1）確定，使處處連續(xù)；ag(x)（2）對以上所確定的，證明a具有一階連續(xù)導數(shù).g(x)1?f(x)?2-2設f(x)在x=0的鄰域具有二階導數(shù)，且x→0lim1+x+=e3，試求x????xf(0)，f′(0)及f′′(0).2-3設函數(shù)()在點0=處有定義，f(0)=1，且limln(1?x)+sinx?f(x)=0。證明：fxxx→0ex2?1′函數(shù)f(x)在點并求f(0)。x=0處可導，=+>，證明：存在常數(shù)A、B，使得當x→0+時，恒2-4設函數(shù)f(x)(1x)1x(x0)有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常數(shù)A、B。2-5設f(x)在(?∞,+∞)內二階可導，且f(x)0?！洹洹佴圈龋?）證明：對于任何非零實數(shù)x，存在唯一的(x)(0<(x)<1)，使得+′θ。f(x)=f(0)xf(x(x))θ（2）求lim(x)。x→0α2-6求使不等式(1+1)n+α≤e≤(1+1)n+β對所有的自然數(shù)n都成立的最大的數(shù)nnβ和最小的數(shù)。2-7設x>0,x=x2+x(n=1,2,...)，試計算lim(1++...+)。11+n+1nn+1x+1x11n→∞x12n2-8設x>0,x=+n1(n=1,2,...)，求limx。3(1+x)n3+x1nnn→∞2-9設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導，且f(a)f(b)>0，ξ′ξξf(a)f(a+b)<0，證明：至少存在一點∈(a,b)，使得f()=f()。2′′≥>2-10設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內二階可導，且|f(x)|m0，m為常數(shù)，又f(a)=f(b)=0，證明：max|f(x)|≥m(b?a)2。8a≤x≤b?∞+∞上可微，且存在常數(shù)：2-11設f(x)在(,)k,b,k,b(k<k)，使得112212lim[f(x)?(kx+b)]=0，lim[f(x)?(kx+b)]=0，1122x→?∞x→+∞ξξk∈(k,k)，存在，使得f'()=k。12則對任意的2-12設f(x),g(x)在[a,b]上可取到f'(a)/g'(a)與f'(b)/g'(b)之間的一切值。導，且g'(x)≠0(x∈[a,b])，則函數(shù)f'(x)/g'(x)可abpq1/p+1/q=1，則ab≤+(a>0,b>0)。pq2-13設p>1,q>1，且2-14已知函數(shù)f(x)在[0,1]上三階可導，且=?f(0)1,f(1)=0,f′(0)=0，證明：ξ?x∈(0,1),?∈(0,1),使f(x)=?1+x2+′′′ξf()。x2(x?1)3!′′≤2-15設函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可導，且滿足|f(x)|1，f(x)在區(qū)間(0,1)內取得最大值。證明：|f(0)|+|f(1)|≤1。142-16設函數(shù)f(x)在(?∞,+∞)內二階可導，且f(x)和f′′(x)在(?∞+∞,)內有界，證明：f′(x)在(?∞+∞,)內有界。2-17設函數(shù)f(x)在(?∞,+∞)內三階可導，且f(x)和f′′′(x)在(?∞,+∞)內有界，f(x)和f′′(x)在(?∞,+∞)內有界′。證明：?∞+∞內有f(x)在(,)二階導數(shù)，并且|f(x)|≤M，|f′′(x)|≤M，2-18設函數(shù)02?∞<x<+∞。證明：|f′(x)|≤2MM，?∞<x<+∞。022-19設0ab<<，證明：不等式<<1成立。ab2alnb?lnab?aa2+b22-20設f(x)=1/(xln2)?1/(2x?1)(x≠0)，f(0)=1/2，求f'(0)。2-21設f(x)=x3arcsinx,求f(2008)(0).+??f(x,y)=4x4y2x22xyy?的極值。2-22求函數(shù)422π2-23已知t為常數(shù)，且maxcosx+x?t=，求t的值。x∈[0,2]π2-24（1）證明f(x)=xn+nx?2（n為正整數(shù)）在(0,+∞)上有唯一正根a；nn（2）計算lim(1+a)nnx→∞xxx2-25證明：對?x∈R,1+x+++4>0。232!3!4!1?++?eee2x3xxsinx2-26求limx→0.???3?f(x)二階導數(shù)，且lim=2，求f"(0)。x→01?cosx2-27已知f(x)具有連續(xù)的2-28設f(x)在點x的某領域內有五階導數(shù)，且0f'(x)=f"(x)=f"'(x)=f(4)(x)=0，0000而f(5)(x)>0，問x是否為f(x)的極值點？（x，f(x)）的拐點？0000f(x)=1，且2-29設x→0f"(x)>0，證明：f(x)≥x。limx2-30設f"(x)<0，f(0)=0，證明：x>0，x>0，有對任意有12f(x+x)<f(x)+f(x)。12122-31設f(x)在[?1,1]上二次可導，若有f(?1)=0，f(0)=0，f(1)=1，ξξf"()=1。則存在∈(?1,1)，使得2-32設f(x)在[?1,1]上三次可導，若有f(?1)=f(0)=0，f(1)=1，f'(0)=0，ξξf"'()≥3。則存在∈(?1,1)，使得2-33設f(x)在(?∞,+∞)上可微，證明：若存在極限limf(x)=a，limxf'(x)=bx→+∞x→+∞則b=0。2-34計算極限lim1lnsinxx2xx→02-35設f(x)在(?∞,+∞)上可微，且滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,x,y∈(?∞,+∞)，f(x)=x2+f'(0)x。證明：2-36設f在上二階可微，==，>，則方程f"(x)=0f'(a)f'?(b)0[a,b]f(a)f(b)0+在內至少有一個根.(a,b)2-37設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)=0，則在[a,b]上?任一連續(xù)函數(shù)ξξ?ξξ(x)，有∈(a,b)，使得f'()+()f()=0。2-38設f(x)在[a,+∞)上連續(xù)，在[a,+∞)上可導，且f'(x)>1，若f(a)<0，證明：方程f(x)=0在(a,a?f(a))內有唯一實根。12-39設f(x)在[1,2]上連續(xù)，在(1,2)內可導，且f(1)=，f(2)=2，證明：存2ξ2f()。ξ在ξ∈(1,2)，使得f'()=ξ2-40設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b)=1，證明：存在ξηηη,∈(a,b)，使得eη?ξ[f()+f'()]=1。2-41設f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0，對于x∈(0,1)，有|f'(x)|≤|f(x)|，證明：在[0,1]上f(x)≡0。2-42設f(x)在[0,1]上具有二階連續(xù)導數(shù)，且有f(0)=f(1)=0，|f"(x)|≤A，x∈(0,1)，證明：|f'(x)|≤A。22-43設f(x)在[0,2]上具有三階連續(xù)導數(shù)，且f(0)=1，f(2)=2，f'(1)=0，ξξ(0,2)內至少存在一點，使得|f"'()|≥3。證明：在2-44設f(x)在[0,1]上具有二階導數(shù)，且滿足條件f(x)≤a，f′′(x)≤b，其中a,b都是非負常數(shù)，c是(0,1)內的任一點，證明f′(c)≤2a+b2。??12-45設??=0.證明：?∈(0,1)ξ，使′′′ξ|f()|≥24fC∈3[0,1],f(0)=1,f(1)=2,f'??22-46設f(x)在(?∞,+∞)上具有三階連續(xù)導數(shù)，且limf(x)=A（有限），x→∞limf"'(x)=0，證明：limf'(x)=limf"(x)=0。x→∞x→∞x→∞1111<nplnn，n>1,p≥1。np+1p2+112-47證明：n<?lnnnnnp+1?pp(p+1)2[]12-48lim1?cosx?cos2x"ncosnxx→0x22-49limn2(arctana?arctanan+1)n→∞n1x2+1?1+x2lim22-50(cosx?ex)sinx22x→02-51設函數(shù)y=y(x)由方程2y?2y2+2xy?x2=1確定，求y=y(x)的駐點，3并判斷它是否為極值點。2-52如圖所示，設a河寬為，一條船從岸邊一點出發(fā)駛向對岸，船頭總是指O向對岸與點相對的一點。假設在靜水中船速為常數(shù)，河流中水的流速為常BVO1數(shù)，試求船過河所走的路線(曲線方程)；V2并討論在什么條件下（1）船能到達對岸；（2）船能到達點B.三、一元函數(shù)積分學（競賽大綱）1.原函數(shù)和不定積分的概念2.不定積分的基本性質、基本積分公式.3.定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定積分和定積分的部積分法.5.有理函數(shù)6.廣義積分7.定積分的.及其導數(shù)換元積分法與分、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分..應用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值．∫3-1計算不定積分I=ln(x+1+x2)dx。1+x23-2計算∫dxcos(3+x)?sin(5+x).3-3設f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內二階可導，且f′′(x)≠0，滿足關系式∫∫1xf(x)dx=0。證明：f(x)在[0,1]上恰好有兩個零點。1f(x)dx=003-4設y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的正值連續(xù)函數(shù)。ξξξ（1）證明：存在∈(0,1)，使得在區(qū)間[0,]上以f()為高的[,1]上以y=f(x)為曲邊的（2）如果f(x)在（0,1）內可導，且f′(x)>?2f(x)，證明：（1）中的是矩形面積，等ξ于在區(qū)間曲邊梯形面積；ξ唯x一的?！?-5設在(?∞,+∞)內，函數(shù)f(x)連續(xù)，g(x)=f(x)xf(t)dt單調減少，證明：0f(x)≡0。ξ3-6設函數(shù)f(x)在[a,b]上二階連續(xù)可導，證明：存在∈(a,b)，使∫(b?a)3f′′(ξ)。f(x)dx=(b?a)f()+bab+224a3-7設函數(shù)f(x)在[a,b]上有連續(xù)導數(shù)，在(a,b)內二階可導，且f(a)=f(b)=0，∫bf(x)dx=0，證明：aξ′ξξ（1）在(a,b)內至少存在一點，使得f()=f()；ηηξ′′ηη（2）在(a,b)內至少存在一點，≠，使得f()=f()。3-8設函數(shù)f(x)在[0,1]上有連續(xù)的導數(shù)，且f(0)=f(1)=0。證明：∫{}′。|1f(x)dx|≤1max|f(x)|4x∈[0,1]03-9設函數(shù)f(x)在(0,+∞)內可微，且lim[f(x)+f′(x)]=0。證明：limf(x)=0。x→+∞x→+∞∫+∞3-10計算反常積分dx。?2ex(x2+1)220∫3-11計算定積分=1+x2I1ln(1+x)dx。0∫=∫xπ1+tanu23-12計算f(x)dx，其中f(x)xπ2du。102∫3-13設f′(x)=arcsin(x?1)2及f(0)=0，求1f(x)dx.0∫∫3-14設A=πcosxdx(x+2)2，將積分dx表示成A的表達式。πsinxcosxx+1200∫3-15求定積分exdx。π21sinx+1+cosxπ43-16設f(x),g(x)都是[0,a]上的連續(xù)函數(shù)，且對任意x∈[0,a]，恒有f(x)=f(a?x),g(x)+g(a?x)=k，其中k為常數(shù)，證明：∫∫f(x)g(x)dx=kf(x)dx。aa200∫3-17求定積分=π4tan2nxdx。I2n03-18計算極限lim1[n2?1+2n2?22+...+(n?1)n2?(n?1)2]。n→∞n33-19求極限lim[n+nn→∞(n+1)2(n+2)2+"+n(n+n)2]。3-20求lim[(1+)(1+)"(1+n)]nn→∞121。nnn∑n23-21求lim。nn→∞j=1n2+j2∫3-22f(x)在[0,1]上可導，且f(0)=0，又f(x)滿足關系f′(x)1f(x)dx=25，0求f(x)。3-23求所有(0,+∞)上的正連續(xù)函數(shù)g(x)，使得?x>0有∫∫x[g(t)]2dt=1(xg(t)dt)2。x12003-24問：是否存在區(qū)間[0,1]上連續(xù)的正函數(shù)f(x)，使得下面的三個式子同時成立∫1f(x)dx=1,∫xf(x)dx=a,∫x2f(x)dx=a2，其中a為常數(shù)。110003-25設f′′(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(0)=f(1)=0，求證：（1）∫f(x)dx=1∫x(x?1)f′′(x)dx；11200（2）∫f(x)dx≤1maxf′′(x)。1120≤x≤10π3-26設f(x)在[0,2]上具有一階連續(xù)導數(shù)，且f′(x)≥0，求證：對任意自然數(shù)n有∫2πf(x)sinnxdx≤2[f(2)f(0)]。π?n0∫3-27設f(x)為[0,1]上的非負連續(xù)函數(shù)，且f(x)≤1+2xf(t)dt，證明：20f(x)≤1+x，x∈[0,1]。≤′≤且f(0)=0，證明：3-28設f(x)在[0,1]上可導，0f(x)1∫(1f(x)dx)2∫≥1f3(x)dx。00∫3-29設a≤1，求I(a)=x?aexdx的最大值。1?1∫，求3-30設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，且F(0)=1,F(x)f(x)=cos2x|f(x)|dx.π0+∞上可導，f(0)=0，且其反函數(shù)為3-31設f(x)在[0,)g(x)，若∫f(x)g(t)dt=x2ex，求。f(x)0∫d1cos(ln)dx，其中n為自然數(shù)。x3-32計算I=1?2nπdxe3-33設f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內可導，f(0)=0,0≤f′(x)≤1，∫求證：[∫f(x)dx]2≥1f3(x)dx100∫試求dx3-34設y=y(x)是由方程y(x?y)2=x所確定的隱函數(shù)，I=x?3y.∫I=2+2+"+2+xdx（其中有n重）。3-35求不定積分3-36設f(x)是(?∞,+∞)上嚴格遞增的可微函數(shù)，且F'(x)=f(x)，g(x)是f(x)的反函數(shù)，用F(x)，g(x)表示g(x)的原函數(shù)G(x)。3-37設有拋物線l:y=ax2+bx+c(a<0)，且l過兩點(0,0)，(1,2)，試求a,b,c11的值，使得曲線l與曲線l:?x2+2x所圍成的平面區(qū)域之面積S最小。12∫xdx7。3-38證明：I=limn3n→∞=2n1+x245n∫?1xa?x2dx(a>1)3-39計算積分1?11???????????n2123n222"?+??+??+??+??3-40求極限?lim1→∞111???????2??n??n??n??n??222n3-41求lim??1++?+???+n+n?n??111n+nn+2nn+3n?x→∞∫∫∫∫1??，則有?yf(x)f(y)f(t)dt??dy?dx=?1f(x)dx?????x???。3-42設f(x)∈C[0,1]31???60000∫3-43設f(x)在[a,b]上一階導數(shù)連續(xù)，f(a)=f(b)=0，且bf2(x)dx=1，則有：a∫∫??????>1。4????b[f'(x)]2dxbx2f2(x)dx??aa3-44設f(x)在[0,+∞)上單調減少的連續(xù)函數(shù)，證明：∫x(x2?3t2)f(t)dt≥0。0∫3-45設f(x)在(?∞,+∞)上一階導數(shù)連續(xù)，且有+∞x2f2(x)dx<+∞，?∞∫+∞[f'(x)]2dx<+∞，證明:?∞∫∫ftdt?(x≥0).+∞['()]?????12?1xfx≤?+∞tf2(t)??(1)()4222??xx∫+∞f2(x)dx2+∞x2f2(x)dx?∞≤?∫∫+∞[f'(x)]2dx??2(x≥0)????11??2(2)????∞?∞3-46求I=limxsin(xπ+t)dt。∫x→+∞03-47設f(x)在[1,+∞)上可微，f(1)=1，若有f'(x)=1/(x2+f2(x))(1≤x<∞)，π則limf(x)<1+。4x→+∞∫dx3-48計算積分I=(a>1)。1?1(a?x)1?x2ax?sinxln(1+t2)3-49確定a,b,c，使得lim=c≠0?！襵→0xdttb∑n→∞i=1(n+k)(n+k+1)。n43-50求極限limn∫1π，證明：0≤x≤時，f(x)≤3-51設f(x)=x(t?t2)sinntdt(n∈N)。(n+2)(n+3)03-52設f(x)在[?2a,2a](a>0)上具有連續(xù)導數(shù)，計算1∫I=lima[f(t+a)?f(t?a)]dt.a→0+4a2?a∫x5?sin4x1+x23-53計算1[()"+sinx]dx。cos2x?1∫sin(2n+1)xdx。sinxπ3-54計算積分20∫1+∞3-55計算積分(1+xn)(1+x2)dx。03-56設f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調增加，證明∫a+bbf(x)dx?！襜xf(x)dx≥2aa3-57設f(x)在[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)，證明：∫∫bf(x)dx|+b|f'(x)|dx≥max|f(x)|1|b?aa≤x≤baaπ3-58設f'(x)在[0,2]上連續(xù)，且0f'(x)>，證明：對任意n有：∫2|f(x)sinnxdx|≤[f(2)?f(0)]。ππ2n013-59設實值函數(shù)F(x)滿足F(1)=1，并且對于x≥1，若F'(x)=x2+F2(x)πl(wèi)imF(x)存在，并且小于1+。4證明：x→∞∫3-60設f(u)∈C2，且F(x,y)=yf(xyz)dz，求F(x,y)。xxLy1=?（0≤x≤1）、x軸和y所圍成的平面區(qū)域被曲線3-61假設曲線：1x2L：2y=ax分為面積相等的的兩部分，其中a是大于零的常數(shù)，試確定a的值。2[]ππ3-62求曲線y=xsinx,x∈,2與x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉所得的旋轉體體積。3-63設在區(qū)間(?∞,+∞)連續(xù)，F(xiàn)(x)=21af(x)∫x+af(t)dt(a>0),G(x)=∫f(t)dt,xx?a0試解答下列問題：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F′(x)；limF(x)==f(x)（3）求證：；a→0[]M、m,（4）設在?+內的最大值和最小值分別是求證：xa,xaf(x)F(x)?f(x)≤M?m.四、多元函數(shù)微分學（競賽大概念、二元函數(shù)的幾何意義.2.二元函數(shù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質.3.多元函數(shù)偏導數(shù)和充分條件.綱）1.多元函數(shù)的極限和連續(xù)的全微分、全微分存在的必要條件和4.多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法.5.二階偏導數(shù)、方向導數(shù)和梯度.6.空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.7.二元函數(shù)的二階泰勒公式.8.多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用.4-1設z=z(x,y)二階連續(xù)可微，并且滿足方程A?+2B?+C?=0，其中，22??xy2z?y2zz?x2αβαβB2?AC>0，若令u=x+y,v=x+y，試確定常數(shù),的值，使原方程變?yōu)?=0，并求出z(x,y)。2?u?vz??y?y2arctan,xy≠0，當xx2arctan4-2設f(x,y)=xy=0時，求xyf(x,y)。?xyxy=0??04-3設函數(shù)滿足與，，求u(x,2x)，u(x,2x)=xu(x,2x)=x2u(x,y)u?u=0xxyyx，（表示對的一階偏導數(shù)，其他類推）xx.u(x,2x)xyu(x,2x)uyyuxx4-4在曲面(xy+y2z+z2x)2+(x?y+z)=0上點（0,0,0）處的切平面內求一點P，2使點。P到點A（2,1,2）和點B（-3,1,-2）的距離的平方和最小xy22(x?)+y2=1內部的橢圓+=1的面積最4-5求a,b的值，使得包含在圓12ab22?。╝>0，b>0,a≠b）。π4-6設橢球面切平面。求：Σ:x+3y2+z2=1，為Σ在第一卦限內的2π（1）使與三坐標平面所圍成的四面體的體積最小的切點坐標；π（2）使與三坐標平面截出的三角形面積最小的切點坐標。4-7設函數(shù)f(u)可導且f′(u)≠0，證明：旋轉曲面z=f(x2+y2)的法線與轉軸相交。4-8設f(x,y)在R2中連續(xù)，f(0,0)=0，f(x,y)存在偏導數(shù)，且當x+y≤5時，22|gradf|≤1，證明：|f(1,2)|≤5。4-9在平面上給一邊長分別為a、b、c的三角形，在它上面做無數(shù)個定高h的錐體，求側面積最小的錐體。4-10設ΔABC為正三角形，邊長為a，P為ΔABC內任意一點，由P向三邊引D、E、F。試求ΔDEF的面積最大值。垂線與三邊的交點分別為4-11設函數(shù)f(x,y)可微，f′(x,y)=?f(x,y),f(0,)=1，且滿足πx2??n?limf(0,y1)=ecoty，求f(x,y)。+?nf(0,y)n→∞五、多元函數(shù)積分學（競賽大綱）1.二重積分和三重積分的概念及性質、二重積分的計算(直角坐標、極坐標)、三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).2.兩類曲線積分的概念、性質及計算、兩類曲線積分的關系.3.格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關的條件、已知二元函數(shù)全微分求原函數(shù).4.兩類曲面積分的概念5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和6.重積分曲面積分的應用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、、性質及計算、兩類曲面積分的關系.旋度的概念及計算.、曲線積分和曲面面積、弧長、質量、質心、轉動慣量、引力、功及流量等)5-1計算下述積分：∫∫y?x2dxdy，D其中D是矩形區(qū)域x≤1，0≤y≤2。∫∫15-2設fx∈C0+∞且滿足方程f(t)=e()[,)，求f(t)。+π4t2f(x2+y2)dxdy2x2+y2≤4t25-3將均勻的拋物形體Ω:x2+y2≤z≤1放在水平桌面上，證明：當形體處于穩(wěn)θ=arctan3。定平衡時，它的軸線與桌面的夾角為2∫∫ππ5-4設D:xy1+≤，證明：≤sin(x2+y2)3dxdy≤2。22611655D{}∫∫5-5設D=(x,x)|0≤x≤2,0≤y≤2，（1）計算B=xy?1dxdy；（2）設f(x,y)∫∫∫∫D在D上連續(xù)，且有f(x,y)dxdy=0,xyf(x,y)dxdy=1，試證：存在DDξηξη(,)∈D，使得|f(,)|≥1。B∫∫f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明：1edxye?f(y)dy≥1。f(x)5-6設函數(shù)00{5-7已知∫2sin(x2)dx=a,求sin(x?y)2dxdy，其中D=(x.y)x≤1,y≤1。∫∫}0D∫∫adxbemax{b2x2,a2y2}dy。5-8計算00∫ππxydxfyxdy[()cos?]+['()sin?]，其中ACB為連接5-9計算曲線積分fyACBππB(3,4)的線段AB之下方的任意路線，且該路線與線段AB所圍成點A(,2)與點的圖形的面積為1，f(x)是連續(xù)可導的函數(shù)。5-10求曲線積分I=∫(exsiny?b(x+y))dx+(excosy?ax)dy，其中a與b為L正常數(shù)，L為從點A（2a，0）沿曲線O（0,0）的弧。y=2ax?x2到點w∫∫5-11計算(x?y)dxdy+(y?z)xdydz，其中Σ為柱面x+y2=1及平面2Σz=0,z=3所圍成的空間閉區(qū)域Ω的邊界曲面的外側。5-12求曲線lnx+lny=1所圍成的平面圖形的面積。?=zey?(1≤y≤2z)繞軸旋轉一周所成曲面的下5-13設曲面為曲線=x0?S側，計算曲面積分∫∫I=4zxdydz?2zdzdx+(1?z2)dxdyS∫∫∫5-14計算(x+y+z)2dV，其中Ω:+y2+z2≤1。x2a2b2c2Ωv∫?x+y2+z2=a2，a>0。2?[(x2)(y3)2]ds++?，其中Γ:x+y+z=0?5-15計算ΓI=2w∫∫5-16計算(x2+2y2+3z2)dS，其中Σ:x+y2+z2=2y。2Σ?+≥+xy2,zxy2，計算曲面積分f(x,y,z)dS，其?∫∫225-17已知函數(shù)f(x,y,z)=中Σ:x2+y2+z2=2。??0,z<x2+y2?Σ∫∫5-18計算曲面積分I=(y2?2y)dzdx+(z+1)2dxdy，其中，Σ為曲面z=x+y22Σ被平面z=1與z=2截下的那部分的外側。v∫5-19計算，其中L為不通過原點O(0,0)的簡單光滑閉曲線，且L(xy)dx+(x+4y)dy?x2+4y2L為逆時針方向。5-20設函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D:x2+y2≤1上有二階連續(xù)偏導數(shù)，且∫∫，證明：(x+y)dxdy=π。?f?f???2f+?2f=e?(x2+y2)?x2?y2xy2eD5-21設曲面Σ為球面x2+y2+z2=a2，M(x,y,z)是空間中任意一點，計算0000曲面積分w∫∫，其中，=(x?x)2+(y?y)2+(z?z)2。ρdSρ000Σ∫5-22設f(0)=3，試確定可微函數(shù)f(x)使曲線積分(1+y)f(x)dx+(f(x)+x)dyL與路徑無關。∫∫σf(t)在[0,+∞)上可導，且滿足f(t)=eπt2+f(x2+y2)d，其中，5-23設函數(shù)DD:x2+y2≤t2。求f(t)。5-24設函數(shù)f(t)在[0,+∞)上連續(xù)，Ω(t)={(x,y,z)∈R3|x2+y2+z2≤t2,z≥0}，S(t)是Ω(t)的表面，D(t)是Ω(t)在xoy平面上的投影區(qū)域，L(t)是D(t)的邊界曲線，已知當t∈(0,+∞)時，恒有vw∫∫∫L(t)=∫∫f(x2+y2)d+f(x2+y2)x2+y2ds+(x2+y2+z2)dS，S(t)x2+y2+z2dV∫∫∫σD(t)Ω(t)求f(t)的表達式。六、無窮級數(shù)（競賽大綱）1.常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質與收斂的必要條件.2.幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.3.任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.4.函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.5.冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和函數(shù).6.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法.冪級數(shù)展開式.8.函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級數(shù)、函數(shù)在[0,l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)7.初等函數(shù)的傅里葉級數(shù)、狄利克雷(Dirichlei)定理、函∑∞an!n6-1討論級數(shù)(a>0)的斂散性。nnn=16-2設函數(shù)f(x)在x=0的某領域內具有二階連續(xù)導數(shù)，且lim=0，證明：f(x)xx→0∑∞級數(shù)f(1)絕對收斂。nn=1∑∞6-3證明：級數(shù)條件收斂。?(1)nn+(?1)nn=2∑，求的值∫∞6-4設ax|sinx|dx,n=1,2,...=π。nann2n0n=16-5討論級數(shù)1?1+1?1+...+?1+...的收斂性。(2n)x12n?132x4x∫??6-6設函數(shù)(x)在(,)?∞+∞連續(xù)，周期為，且(x)dx=0，函數(shù)11f(x)在[0,1]0∑∫∞?a=上有連續(xù)導數(shù)，設f(x)(nx)dx，求證：級數(shù)a收斂。12nn0n=1∑∞6-7對實數(shù)p，討論級數(shù)的收斂域。xnnplnnn=2∑證明：級數(shù)收斂的∑∞+{}∞6-8設正數(shù)列a單調增加，充要條件是級數(shù)1n+...anaaa2n=1nn=11n收斂?！啤?-9設a=4,a=1,a=n(n?1)a,n≥2，（1）求冪級數(shù)axn的和函數(shù)S(x)；01n?2nnn=0（2）求S(x)的極值。∑∑∞?(1)n3n+1n=0∞6-10求冪級數(shù)x3n的收斂域與和函數(shù)，并求的和。?(1)n3n+1n=0∑∞6-11求冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)。x4n(4n)!n=0∑∞6-12將函數(shù)f(x)=arctan展開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。(1)n2n+1n=0?1?2x1+2x∑6-13求lim1n([2n]?2[n])。n→∞nk=1kk∫=n+1dx，n=1,2,...,其中p為正數(shù)，證明：（1）當p>1時，級數(shù)6-14設anπxp+1sinxn∑∑∞∞a絕對收斂；（2）當0<p≤1時，級數(shù)a收斂。nnn=0n=0∑??∞n3π6-15分析級數(shù)sin??的收斂性。?n2+1?n=16-16設函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，且F(0)=1,F(x)f(x)=cos2x，∑∫∞a=nπ|f(x)|dx,n=1,2,...,求冪級數(shù)xn的收斂域與和函數(shù)。annn2?10n=2∑???∑n∞x1∞???的收斂區(qū)間，并討論端點的斂散性，其中(?1)na發(fā)n6-17求冪級數(shù)??a+1?n=0n=0n散，且0<a<a(n∈N)。n+1