二計(jì)算機(jī)組成原理

二計(jì)算機(jī)組成原理第一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.3定點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算3.3.1移位運(yùn)算3.3.2補(bǔ)碼加減運(yùn)算與溢出3.3.3乘法運(yùn)算3.3.4除法運(yùn)算第二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.3.1移位運(yùn)算移位運(yùn)算在計(jì)算機(jī)中有著非常重要的意義。例如在計(jì)算機(jī)中沒(méi)有乘、除法運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)時(shí)，可以用移位與加、減法運(yùn)算相結(jié)合的辦法進(jìn)行處理。第三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)定點(diǎn)表示的數(shù)據(jù)，計(jì)算機(jī)中小數(shù)點(diǎn)的位置是事先約定的，因此，二進(jìn)制表示的機(jī)器數(shù)在相對(duì)于小數(shù)點(diǎn)作n位左移或右移時(shí)，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)該數(shù)乘以或除以2n。由于計(jì)算機(jī)中機(jī)器數(shù)的字長(zhǎng)往往是固定的，當(dāng)機(jī)器數(shù)左移或右移時(shí)，必然會(huì)使數(shù)據(jù)的低位或高位出現(xiàn)空位，對(duì)空位是進(jìn)行補(bǔ)0還是補(bǔ)1與機(jī)器數(shù)表示的是有符號(hào)數(shù)還是無(wú)符號(hào)數(shù)有關(guān)，對(duì)于有符號(hào)數(shù)的移位叫算術(shù)移位。第四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)于正數(shù)，由于[X]原=[X]補(bǔ)=[X]反=真值，故移位后出現(xiàn)的空位均以0進(jìn)行補(bǔ)充。對(duì)于負(fù)數(shù)，由于原碼、補(bǔ)碼和反碼的表示形式不同，故當(dāng)機(jī)器數(shù)移位時(shí)，對(duì)其空位的填充規(guī)則也不同。表3-12列出了三種不同碼制的機(jī)器數(shù)移位后的添補(bǔ)規(guī)則。必須注意的是：不論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，移位后其符號(hào)位均不變，這是算術(shù)移位的重要特點(diǎn)。第五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五表3-12不同編碼機(jī)器數(shù)移位后的添補(bǔ)規(guī)則碼制添補(bǔ)代碼正數(shù)原碼、補(bǔ)碼、反碼0負(fù)數(shù)原碼0補(bǔ)碼左移添0右移添1反碼1第六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五由上表可得出如下結(jié)論：（1）機(jī)器數(shù)為正時(shí)，不論左移或右移，添補(bǔ)代碼都為0。（2）由于負(fù)數(shù)的原碼其數(shù)值部分與真值相同，故在移位時(shí)不論左移或右移，只要使符號(hào)位不變，其空位均補(bǔ)0。第七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）由于負(fù)數(shù)的反碼其數(shù)值位表示與真值正好相反，故移位后添補(bǔ)的均為1（此時(shí)仍需保持符號(hào)位不變），即相當(dāng)于對(duì)真值補(bǔ)0。第八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（4）分析任意負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼可發(fā)現(xiàn)當(dāng)對(duì)其由低位向高位找到第一個(gè)“1”時(shí)，在此“1”左邊的各位均與對(duì)應(yīng)的反碼相同，而在此“1”右邊的各位均與對(duì)應(yīng)的原碼相同。故負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼左移時(shí)，空位出現(xiàn)在低位，添補(bǔ)的代碼與原碼相同，即為0；右移時(shí)，空位出現(xiàn)在高位，添補(bǔ)的代碼與反碼相同，即為1。第九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：設(shè)機(jī)器數(shù)字長(zhǎng)為8位（含一位符號(hào)位），若X=±27，寫出X對(duì)應(yīng)的原碼、反碼和補(bǔ)碼的形式，并求出三種機(jī)器數(shù)左、右移一位后的表示形式及對(duì)應(yīng)的真值。有符號(hào)數(shù)的移位稱為算術(shù)移位，無(wú)符號(hào)數(shù)的移位稱為邏輯移位。邏輯移位的規(guī)則是：邏輯左移時(shí)，高位移出，低位空位補(bǔ)0；邏輯右移時(shí)，低位移出，高位空位補(bǔ)0。第十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.3.2補(bǔ)碼加減運(yùn)算與溢出加減法運(yùn)算是計(jì)算機(jī)中最基本的算術(shù)運(yùn)算，一般計(jì)算機(jī)中都采用補(bǔ)碼表示來(lái)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。1、補(bǔ)碼加減運(yùn)算的基本公式補(bǔ)碼加法的基本公式為：[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)第十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五按照補(bǔ)碼的定義，此公式可進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，以小數(shù)為例證明如下：證明：真值X、Y的符號(hào)共有四種情況。（1）X>0，Y>0，則X+Y>0根據(jù)補(bǔ)碼定義可得：[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=X+Y=[X+Y]補(bǔ)（Mod2）第十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）X>0，Y<0根據(jù)補(bǔ)碼定義：[X]補(bǔ)=X，[Y]補(bǔ)=2+Y，則[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=2+（X+Y）①當(dāng)|X|≥|Y|時(shí)，0≤X+Y<1（正數(shù)），模2時(shí)，2+（X+Y）=X+Y所以[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=2+（X+Y）

=X+Y=[X+Y]補(bǔ)（Mod2）②當(dāng)|X|<|Y|時(shí)，-1≤X+Y<0（負(fù)數(shù)），[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=2+（X+Y）=[X+Y]補(bǔ)第十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）X<0，Y>0（可仿照（2）證明）（4）X<0，Y<0，則X+Y<0根據(jù)補(bǔ)碼定義：[X]補(bǔ)=2+X，[Y]補(bǔ)=2+Y，則[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=2+X+2+Y=2+（2+X+Y）因?yàn)椋╔+Y）<0，而且其絕對(duì)值又小于2，則0≤（2+X+Y）<2；在模2情況下，2+（2+X+Y）=2+X+Y=2+（X+Y）=[X+Y]補(bǔ)所以：[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=[X+Y]補(bǔ)第十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五由以上各種情況的證明，可得到結(jié)論：[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=[X+Y]補(bǔ)由補(bǔ)碼加法的基本公式，可得到補(bǔ)碼減法的基本公式：[X-Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)即：[X-Y]補(bǔ)=[X+（-Y）]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)。第十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)以上加減運(yùn)算的基本公式，可得到補(bǔ)碼運(yùn)算的規(guī)則如下：①、參加運(yùn)算的操作數(shù)均用補(bǔ)碼表示。②、符號(hào)位參與運(yùn)算。③、對(duì)于兩數(shù)相加減的各種情況，計(jì)算機(jī)都執(zhí)行求和操作。④、運(yùn)算結(jié)果仍為補(bǔ)碼表示。第十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在補(bǔ)碼機(jī)器中，對(duì)于參與運(yùn)算的X和Y兩個(gè)數(shù)，都以補(bǔ)碼形式表示在機(jī)器中，即機(jī)器內(nèi)存放的是[X]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)的形式，所以對(duì)于加法運(yùn)算來(lái)說(shuō)，比較簡(jiǎn)單，而對(duì)于減法運(yùn)算，需要考慮怎樣從[Y]補(bǔ)變換到[-Y]補(bǔ)的形式，然后參加運(yùn)算。第十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五不論Y的真值是正是負(fù)，已知[Y]補(bǔ)求[-Y]補(bǔ)的方法都是將[Y]補(bǔ)的符號(hào)位連同數(shù)值位一起求反后末位加1，這是因?yàn)閅和-Y肯定為一正一負(fù)，且絕對(duì)值相同。第十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知：x=0.1001，y=-0.0110，求x+y=?例：已知：x=-0.1001，y=-0.0101，求x+y=?例：已知：x=0.1001，y=0.0110，求x-y=?例：已知：x=-0.1001，y=-0.0110，求x-y=?第十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、溢出及其判別方法計(jì)算機(jī)的加法器和寄存器都有固定的位數(shù)，當(dāng)選定了數(shù)據(jù)表示格式后，所能表示的數(shù)據(jù)范圍也就相應(yīng)確定了。當(dāng)運(yùn)算結(jié)果超出機(jī)器數(shù)所能表示的范圍時(shí)，稱為溢出。第二十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例如：字長(zhǎng)4位，采用補(bǔ)碼表示，則表數(shù)范圍為-8~+7。如果x=+6，y=+3，則：

[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=0110+0011=1001=[x+y]補(bǔ)可得x+y=-7，而正確結(jié)果應(yīng)該是+9。這是因?yàn)橹挥幸粋€(gè)符號(hào)位，使得結(jié)果符號(hào)錯(cuò)亂。在這種情況下，符號(hào)位是數(shù)值，如果當(dāng)作符號(hào)，留下的結(jié)果將是不正確的。第二十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五兩個(gè)異號(hào)數(shù)相加不會(huì)產(chǎn)生溢出，只有兩同號(hào)數(shù)相加才有可能產(chǎn)生溢出。兩個(gè)同號(hào)數(shù)相減也不會(huì)出現(xiàn)溢出，只有兩個(gè)異號(hào)數(shù)相減才會(huì)出現(xiàn)溢出。當(dāng)兩個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算的結(jié)果大于機(jī)器所能表示的最大正數(shù)時(shí)稱為正溢。運(yùn)算結(jié)果小于機(jī)器所能表示的最小負(fù)數(shù)時(shí)稱為負(fù)溢。第二十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五需要說(shuō)明的是，溢出是指運(yùn)算結(jié)果超出表數(shù)范圍，它既不是最高數(shù)值位向符號(hào)位的進(jìn)位，也不是符號(hào)位本身產(chǎn)生的進(jìn)位。下面通過(guò)幾個(gè)例子加以說(shuō)明。第二十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)最高數(shù)值位向符號(hào)位產(chǎn)生進(jìn)位時(shí)，可能產(chǎn)生溢出（c），也可能不產(chǎn)生溢出（a）和（b）；符號(hào)位本身產(chǎn)生的進(jìn)位也是如此。只有在最高數(shù)值位向符號(hào)位有進(jìn)位而符號(hào)位本身不產(chǎn)生進(jìn)位（c），或者最高數(shù)值位不向符號(hào)位產(chǎn)生進(jìn)位而符號(hào)位本身卻產(chǎn)生進(jìn)位（d）時(shí)，才發(fā)生溢出。這可作為判斷溢出的條件。第二十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五補(bǔ)碼定點(diǎn)加減法運(yùn)算中，常用的判斷溢出的方法有兩種：（1）采用變形補(bǔ)碼判斷溢出變形補(bǔ)碼是采用2位符號(hào)位的補(bǔ)碼，即用“00”表示正號(hào)，用“11”表示負(fù)號(hào)。它是以4為模的（對(duì)小數(shù)來(lái)說(shuō)），其定義為：[X]補(bǔ)=X0≤X<14+X-1≤X<0（mod4）第二十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在采用變形補(bǔ)碼進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，兩位符號(hào)位與數(shù)值位同時(shí)參與運(yùn)算，而且高位產(chǎn)生的進(jìn)位自動(dòng)丟失（執(zhí)行了模4操作），則可以得到正確的結(jié)果。

[X+Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)第二十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五利用變形補(bǔ)碼進(jìn)行溢出判斷的原則是：如果結(jié)果的兩位符號(hào)位不相同，則表示溢出，否則沒(méi)有溢出（此時(shí)等同異或運(yùn)算）。不論在何種情況下，最高位即第一位符號(hào)位為真正的符號(hào)。第二十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例如：[x]補(bǔ)=001010[y]補(bǔ)=001001

則[x+y]補(bǔ)=010011[x]補(bǔ)=110001[y]補(bǔ)=110111

則[x+y]補(bǔ)=101000

此兩例都為溢出的情況。第二十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例如：[x]補(bǔ)=000101[y]補(bǔ)=000111

則[x+y]補(bǔ)=001100[x]補(bǔ)=111011[y]補(bǔ)=110111

則[x+y]補(bǔ)=110010

此兩例都為不溢出的情況。第二十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在采用變形補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的兩位符號(hào)應(yīng)該相同。如果兩個(gè)符號(hào)位同時(shí)為0，則表示結(jié)果為正數(shù)；如果同時(shí)為1，則表示結(jié)果為負(fù)數(shù)。如果兩個(gè)符號(hào)位不同，則表示產(chǎn)生了溢出，且左邊的符號(hào)位表示結(jié)果的正確符號(hào)，所以如果運(yùn)算結(jié)果的兩位符號(hào)位為“01”，則表示產(chǎn)生了正溢出；如果運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)位為“10”，則表示產(chǎn)生了負(fù)溢出。第三十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五需要說(shuō)明的是，在使用雙符號(hào)位時(shí)，寄存器內(nèi)的操作數(shù)其實(shí)只需保存一個(gè)符號(hào)位就可以了，因?yàn)閷?duì)于任何正確的數(shù)據(jù)，它的兩個(gè)符號(hào)位的值都是相同的。但是在加法器中又要有雙符號(hào)位，所以在相加時(shí)，寄存器中的一位符號(hào)位的值要同時(shí)輸入到加法器中的兩個(gè)符號(hào)位中。第三十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）利用符號(hào)位的進(jìn)位信息判斷溢出由于減法運(yùn)算在計(jì)算機(jī)中也是利用加法實(shí)現(xiàn)的，所以符號(hào)不同的數(shù)在進(jìn)行減法時(shí)，減數(shù)的相反數(shù)在求補(bǔ)后的符號(hào)與被減數(shù)的符號(hào)應(yīng)該是一致的。因此，不論作加法還是減法，只要參加運(yùn)算的兩個(gè)操作數(shù)的符號(hào)相同，而運(yùn)算結(jié)果與參加運(yùn)算的原操作數(shù)的符號(hào)不同，就可以判定為溢出。第三十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例如：[x]補(bǔ)=11011[y]補(bǔ)=10011[x+y]補(bǔ)=01110由于操作數(shù)的符號(hào)都為1，但結(jié)果的符號(hào)位為0，所以判定為溢出。又如：[x]補(bǔ)=11010[y]補(bǔ)=10111[x+y]補(bǔ)=10001由于結(jié)果的符號(hào)位與原操作數(shù)的符號(hào)位相同，所以判定為無(wú)溢出。第三十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五采用一位符號(hào)位進(jìn)行判斷是否溢出時(shí)，為了節(jié)省時(shí)間，通常也可以使用符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位和數(shù)值最高有效位產(chǎn)生的進(jìn)位進(jìn)行異或操作。如果異或的結(jié)果為1則表示有溢出；異或結(jié)果為0則表示沒(méi)有溢出。第三十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、補(bǔ)碼加減運(yùn)算的電路圖3-6實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼加減運(yùn)算的邏輯電路第三十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在該圖中，被加數(shù)（或被減數(shù)）X和加數(shù)（或減數(shù)）Y分別存放在A寄存器和B寄存器中，當(dāng)執(zhí)行加法運(yùn)算時(shí)，執(zhí)行[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)，將[X]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)從A寄存器和B寄存器送到加法器的兩個(gè)輸入端。當(dāng)執(zhí)行減法運(yùn)算時(shí)，執(zhí)行[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)，將運(yùn)算結(jié)果保存在A寄存器中。第三十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在邏輯電路中，ALU由多個(gè)全加器及其他電路組成。每個(gè)全加器有三個(gè)輸入端，其中一個(gè)接收從低位來(lái)的進(jìn)位信號(hào)，而最低位沒(méi)有進(jìn)位信號(hào)輸入，因此可利用來(lái)作為“+1”信號(hào)。第三十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)執(zhí)行加法時(shí)，提供控制信號(hào)有：A→ALU，B→ALU，M=0（經(jīng)異或門控制B→ALU，同時(shí)最低位加0），ALU→A。當(dāng)執(zhí)行減法時(shí)，提供控制信號(hào)有：A→ALU，B→ALU，M=1（經(jīng)異或門控制B#→ALU，同時(shí)最低位加1），ALU→A。其中ALU+1操作可以和加法操作同時(shí)進(jìn)行，所以總共只需要一次加法運(yùn)算。第三十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.3.3乘法運(yùn)算

在計(jì)算機(jī)中，乘法運(yùn)算是一種很重要的運(yùn)算，有的機(jī)器由硬件乘法器（見(jiàn)附錄1）直接完成乘法運(yùn)算，有的機(jī)器內(nèi)沒(méi)有乘法器，但可以按機(jī)器作乘法運(yùn)算的方法，用軟件編程實(shí)現(xiàn)。下面分別討論原碼和補(bǔ)碼的乘法運(yùn)算方法。第三十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、原碼乘法（1）定點(diǎn)原碼一位乘法考慮十進(jìn)制數(shù)的乘法規(guī)則及原碼表示方法的特點(diǎn)，可得到原碼乘法的規(guī)則如下：兩個(gè)原碼數(shù)相乘，其乘積的符號(hào)為相乘兩數(shù)符號(hào)的異或值，數(shù)值則為兩數(shù)絕對(duì)值之積。第四十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五假設(shè)：[X]原=X0X1X2……Xn

[Y]原=Y0Y1Y2……Yn則：[X?Y]原=[X]原?[Y]原

=（X0⊕Y0）|（X1X2……Xn）?（Y1Y2……Yn）符號(hào)“|”表示把符號(hào)位和數(shù)值位拼接起來(lái)。第四十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五先來(lái)看手工乘法的運(yùn)算過(guò)程。設(shè)X=0.1101Y=0.1011，計(jì)算乘積X?Y。

0.1101×0.101111011101000011010.10001111第四十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五即X?Y=0.10001111，相乘兩數(shù)同號(hào)，結(jié)果符號(hào)為正。在手工計(jì)算時(shí)，逐次按乘數(shù)每位的取值是1還是0，決定相加數(shù)取被乘數(shù)的值還是取零值，而且相加數(shù)逐次向左偏移1位，最后一起相加求積。若計(jì)算機(jī)完全模擬筆算乘法步驟，將會(huì)有困難：第一，機(jī)器難以實(shí)現(xiàn)四個(gè)位積的一次相加；第二，乘積位數(shù)增長(zhǎng)了一倍。第四十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五為此，在計(jì)算機(jī)中的運(yùn)算方法作了如下改進(jìn)：①、計(jì)算機(jī)一次加法操作只能求出兩數(shù)之和，因此每求得一個(gè)相加數(shù)，就與上次部分積相加。②、在求本次部分積時(shí)，前一次部分積的最低位不再參與運(yùn)算，因此可將其右移一位，相加數(shù)可直送而不必偏移，于是用N位加法器就可以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)N位數(shù)相乘。第四十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五③、部分積右移時(shí)，乘數(shù)寄存器同時(shí)右移一位，這樣可以一直用乘數(shù)寄存器的最低位來(lái)控制相加數(shù)（取被乘數(shù)或零），同時(shí)乘數(shù)寄存器的最高位可接收部分積右移出來(lái)的一位，因此，完成乘法運(yùn)算后，乘積分開(kāi)放在了兩個(gè)寄存器中。如圖3-7是計(jì)算機(jī)內(nèi)實(shí)現(xiàn)原碼乘法的邏輯框圖，其中A、B、C三個(gè)寄存器分別存放部分積、被乘數(shù)和乘數(shù)。第四十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖3-7實(shí)現(xiàn)原碼一位乘的邏輯電路框圖

第四十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五乘法開(kāi)始時(shí)，A寄存器被清為零，作為初始部分積。被乘數(shù)放在B寄存器中，乘數(shù)放在C寄存器中。實(shí)現(xiàn)部分積和被乘數(shù)相加是通過(guò)給出A→ALU和B→ALU命令，在ALU中完成的。ALU的輸出經(jīng)過(guò)移位電路向右移一位送入A寄存器中。C寄存器是用移位寄存器實(shí)現(xiàn)的，其最低位用作B→ALU的控制命令。第四十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五加法器最低一位的值右移時(shí)將移入C寄存器的最高數(shù)值位，使相乘之積的低位部分保存進(jìn)C寄存器中，原來(lái)的乘數(shù)在逐次右移過(guò)程中丟失了。圖中還給出了一個(gè)計(jì)數(shù)器，用來(lái)控制逐次相乘的次數(shù)。它的初始值放乘數(shù)位數(shù)，計(jì)算結(jié)束時(shí)給出結(jié)束乘運(yùn)算的控制信號(hào)。第四十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五由于在運(yùn)算過(guò)程中，被乘數(shù)寄存器的值保持不變，而部分積寄存器和乘數(shù)寄存器的值一直變化，可以用這兩個(gè)寄存器值的變化過(guò)程描述這種計(jì)算方法。例：設(shè)X=0.1101，Y=0.1011，求X?Y=？解：[X]原=01101[Y]原=01011，用數(shù)值位計(jì)算，部分積取雙符號(hào)位，實(shí)際用來(lái)保存加運(yùn)算時(shí)的進(jìn)位信息。第四十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五部分積乘數(shù)說(shuō)明000000+0011011011初始條件，部分積為0乘數(shù)低位為1，加被乘數(shù)001101000110+00110110111101右移1位，形成新的部分積，乘數(shù)右移，低位為1，加被乘數(shù)010011001001+00000011011110右移1位，形成新的部分積，乘數(shù)也右移，低位為0，加0001001000100+00110111101111右移1位，形成新的部分積，乘數(shù)右移后低位為1，加被乘數(shù)01000100100011111111右移1位，形成最后結(jié)果乘數(shù)各位全部被移出第五十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五判定符號(hào)，因?yàn)閄0⊕Y0=0⊕0=0，所以得到：

[X?Y]原=010001111

即：X?Y=+0.10001111第五十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）定點(diǎn)原碼兩位乘法原碼兩位乘即從乘數(shù)的最低位開(kāi)始每次取兩位乘數(shù)與被乘數(shù)相乘得到一次部分積，它與原碼一位乘一樣，符號(hào)位的運(yùn)算和數(shù)值部分是分開(kāi)進(jìn)行的，但由于每次是用兩位乘數(shù)的狀態(tài)來(lái)決定新的部分積如何形成，因此運(yùn)算步驟減少，提高了運(yùn)算速度。第五十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五兩位乘數(shù)共有四種可能組合，每種組合對(duì)應(yīng)于以下操作：00——相當(dāng)于0?X。部分積Pi右移兩位，不進(jìn)行其他運(yùn)算。01——相當(dāng)于1?X。部分積Pi+X，右移兩位。10——相當(dāng)于2?X。部分積Pi+2X，右移兩位。11——相當(dāng)于3?X。部分積Pi+3X，右移兩位。第五十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五與前面的一位乘法相比，多出了+2X和+3X兩種情況。把X左移一位可得2X，在機(jī)器上可采用向左斜送1位來(lái)實(shí)現(xiàn)?？墒?3X一般不能一次完成，如分成兩次進(jìn)行，又降低了計(jì)算速度。解決問(wèn)題的辦法是：以（4X-X）來(lái)代替3X運(yùn)算，在本次運(yùn)算中只執(zhí)行-X，而+4X歸并到下一步執(zhí)行。第五十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五此時(shí)部分積已右移了兩位，上一步欠下的+4X已變成+X。推導(dǎo)過(guò)程如下：設(shè)之前得到的部分積為Pi，右移兩位相當(dāng)于乘2-2。正常運(yùn)算為加3X右移兩位，即（Pi+4X-X）?2-2；此式子等于（Pi-X）?2-2+X，此時(shí)表示操作步驟為Pi減X后右移兩位再加X(jué)。第五十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在實(shí)際線路中用一個(gè)觸發(fā)器C來(lái)記錄是否欠下+4X，若是，則1→C，控制在下一步補(bǔ)上所欠數(shù)據(jù)。因此實(shí)際操作用Yi-1、Yi、C三位來(lái)控制，運(yùn)算規(guī)則可如表3-13所示。第五十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五表3-13原碼兩位乘法規(guī)則Yi-1YiC操作000001010011100101110111（Pi+0）2-2（Pi+X）2-2（Pi+X）2-2（Pi+2X）2-2（Pi+2X）2-2（Pi-X）2-2（Pi-X）2-2（Pi+0）2-20→C0→C0→C0→C0→C1→C1→C1→C第五十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知X=-0.100111，Y=0.101110，求X?Y=？解：[X]原=1.100111，[Y]原=0.101110，

|X|=0.100111，[|X|]補(bǔ)=0.100111，

[-|X|]補(bǔ)=1.011001第五十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五部分積乘數(shù)欠位說(shuō)明000000000+）001001110001011100初始狀態(tài)100，部分積+2X0→C001001110000010011+）111011001100010110右移兩位110，部分積-|X|1→C111101100111111011+）111011001001000101右移兩位101，部分積-|X|1→C111010100111110101+）000100111000010001右移兩位001，部分積+X000011100000010001不移位，得到結(jié)果第五十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五判定符號(hào)，因?yàn)閄0⊕Y0=1⊕0=1，所以得到：[X?Y]原=1011100000010

即X?Y=-0.011100000010對(duì)于原碼兩位乘，需注意：①、部分積和被乘數(shù)采用三個(gè)符號(hào)位。因?yàn)樵谠a兩位乘法中，有加2X的操作，因此絕對(duì)值有可能大于2。此時(shí)仍需保留進(jìn)位，以最高位的符號(hào)位作為處理過(guò)程中的符號(hào)。第六十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五②、減|X|的操作是通過(guò)加[-|X|]補(bǔ)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這是因?yàn)樵a的減法實(shí)現(xiàn)麻煩，需考慮絕對(duì)值大小，并判斷結(jié)果符號(hào)，不如先當(dāng)成補(bǔ)碼處理，因此，右移時(shí)按補(bǔ)碼的移位規(guī)則進(jìn)行處理。（減X時(shí)當(dāng)成補(bǔ)碼處理，有可能結(jié)果為負(fù)，但每次的減都意味著下一步會(huì)補(bǔ)上所欠的4X，當(dāng)補(bǔ)上后結(jié)果肯定為正值，此時(shí)正數(shù)的補(bǔ)碼、原碼、絕對(duì)值都是一樣的。）第六十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五③、當(dāng)乘數(shù)為偶數(shù)個(gè)數(shù)值位時(shí)，乘數(shù)的符號(hào)位設(shè)置兩位“00”，以便最后一步能處理前面可能留下的欠帳，但不用移位。當(dāng)乘數(shù)為奇數(shù)個(gè)數(shù)值位時(shí)，乘數(shù)符號(hào)位可設(shè)置一位“0”，此時(shí)最后一次移一位。第六十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、補(bǔ)碼乘法（1）定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法原碼乘法存在兩個(gè)明顯的缺點(diǎn)：一是符號(hào)位需要單獨(dú)運(yùn)算，最后給運(yùn)算結(jié)果賦以正確符號(hào)，這給運(yùn)算帶來(lái)麻煩；二是對(duì)于采用補(bǔ)碼存儲(chǔ)的機(jī)器，從存儲(chǔ)器或寄存器中取出的是操作數(shù)的補(bǔ)碼，需先將其轉(zhuǎn)換成原碼，然后才能進(jìn)行乘法運(yùn)算，再對(duì)結(jié)果轉(zhuǎn)換成補(bǔ)碼保存。很不方便。第六十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五①、補(bǔ)碼與真值之間的關(guān)系設(shè)[X]補(bǔ)=Xs.X1X2……Xn當(dāng)X≥0時(shí)，Xs=0,[X]補(bǔ)=0.X1X2……Xn=X當(dāng)X<0時(shí)，Xs=1,[X]補(bǔ)=1.X1X2……Xn=2+XX=1.X1X2……Xn-2=-1+0.X1X2……Xn=-Xs+0.X1X2……Xn所以：X=-Xs+0.X1X2……Xn第六十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五②、補(bǔ)碼乘法算法的推導(dǎo)設(shè)被乘數(shù)[X]補(bǔ)=Xs.X1X2……Xn，乘數(shù)[Y]補(bǔ)=Ys.Y1Y2……Yn，則有[X?Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)?Y證明：（1）被乘數(shù)X符號(hào)任意，乘數(shù)Y符號(hào)為正。第六十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)補(bǔ)碼定義：

[X]補(bǔ)=2+X=2n+1+X（mod2）

[Y]補(bǔ)=Y=0.Y1Y2……Yn[X]補(bǔ)?[Y]補(bǔ)=2n+1?Y+X?Y=2（Y1Y2……Yn）+X?Y其中，Y1Y2……Yn是大于0的正整數(shù)，根據(jù)模運(yùn)算性質(zhì)有：

2（Y1Y2……Yn）=2（mod2）第六十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五得到[X]補(bǔ)?[Y]補(bǔ)=2+X?Y=[X?Y]補(bǔ)（mod2）即[X?Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)?[Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)?Y（2）被乘數(shù)X符號(hào)任意，乘數(shù)Y符號(hào)為負(fù)。

[X]補(bǔ)=Xs.X1X2……Xn[Y]補(bǔ)=1.Y1Y2……Yn=2+YY=[Y]補(bǔ)-2=0.Y1Y2……Yn-1則X?Y=X（0.Y1Y2……Yn）-X第六十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五[X?Y]補(bǔ)=[X（0.Y1Y2……Yn）-X]補(bǔ)

=[X（0.Y1Y2……Yn）]補(bǔ)+[-X]補(bǔ)

=[X（0.Y1Y2……Yn）]補(bǔ)-[X]補(bǔ)因?yàn)?.Y1Y2……Yn>0，根據(jù)上面的討論，則：[X（0.Y1Y2……Yn）]補(bǔ)

=[X]補(bǔ)（0.Y1Y2……Yn）得到：

[X?Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)（0.Y1Y2……Yn）-[X]補(bǔ)第六十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五綜合上面兩種情況，則當(dāng)被乘數(shù)X和乘數(shù)Y的符號(hào)都任意時(shí)[X?Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)（0.Y1Y2……Yn）-[X]補(bǔ)?Ys=[X]補(bǔ)（-Ys+0.Y1Y2……Yn）

=[X]補(bǔ)?Y第六十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五③、補(bǔ)碼乘法比較法——布斯（Booth）乘法為了得出補(bǔ)碼一位乘法算法，將上式展開(kāi)加以變換，即：[X?Y]補(bǔ)=[X]補(bǔ)[-Ys+Y12-1+Y22-2+…+Yn2-n]=[X]補(bǔ)[-Ys+（Y1-Y12-1）+（Y22-1-Y22-2）+…+（Yn2-（n-1）-Yn2-n）]第七十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五=[X]補(bǔ)[（Y1-Ys）+（Y2-Y1）2-1+…+（Yn-Yn-1）2-（n-1）+（0-Yn）2-n]

=[X]補(bǔ)（Y1-Ys）+2-1（[X]補(bǔ)（Y2-Y1）+2-1（[X]補(bǔ)（Y3-Y2）+……+2-1（[X]補(bǔ)（Yn-Yn-1）+2-1（[X]補(bǔ)（Yn+1-Yn）））……））（Yn+1=0）第七十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五由上式可以發(fā)現(xiàn)，每一步乘法在前次部分積的基礎(chǔ)上（開(kāi)始時(shí)部分積為0），根據(jù)Yi+1-Yi（i=n，…2，1）的值決定對(duì)[X]補(bǔ)的操作，然后右移一位，得到新的部分積。如此重復(fù)n步。第n+1步由（Y1-Ys）的值決定對(duì)[X]補(bǔ)的操作，但不用移位，即得到[X?Y]補(bǔ)。第七十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在計(jì)算機(jī)中，由Yi+1-Yi的值決定進(jìn)行什么操作，實(shí)際上并不是做減法，而是比較Yi、Yi+1的值。這種根據(jù)相鄰兩位的比較結(jié)果決定運(yùn)算操作的方法稱為“比較法”。因?yàn)榇朔椒ㄊ怯葿ooth夫婦最早提出來(lái)的，又稱為Booth算法。Booth算法描述如下：①、參加運(yùn)算的數(shù)用補(bǔ)碼表示；第七十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五②、符號(hào)位參加運(yùn)算；③、乘數(shù)最低位后面增加一位附加位Yi+1（初值為0），以后逐次比較相鄰兩位并按表3-14所列規(guī)則運(yùn)算，算法進(jìn)行n+1步（n是不包括符號(hào)位在內(nèi)的字長(zhǎng)），但第n+1步不移位。④、移位要按補(bǔ)碼的移位規(guī)則進(jìn)行。第七十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五表3-14Booth比較法運(yùn)算規(guī)則YnYn+1操作YnYn+1操作0001部分積加0，右移一位部分積加[X]補(bǔ)，右移一位011部分積加[-X]補(bǔ)，右移一位部分積加0，右移一位第七十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知：X=0.0101，Y=-0.1101，求X?Y=?解：[X]補(bǔ)=0.0101，

[Y]補(bǔ)=1.0011，

[-X]補(bǔ)=1.1011第七十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五部分積乘數(shù)說(shuō)明000000+）111011100110初始狀態(tài)YnYn+1=10，部分積加[-X]補(bǔ)111011111101+）000000110011部分積和乘數(shù)右移一位YnYn+1=11，部分積加0111101111110+）000101111001部分積和乘數(shù)右移一位YnYn+1=01，部分積加[X]補(bǔ)000011000001+）000000111100部分積和乘數(shù)右移一位YnYn+1=00，部分積加0000001000000+）111011111110部分積和乘數(shù)右移一位YnYn+1=10，部分積加[-X]補(bǔ)111011111110最后不移位第七十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五[X?Y]補(bǔ)=1.10111111，X?Y=-0.01000001實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼一位乘法（Booth算法）的硬件原理框圖如圖3-8所示。第七十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖3-8實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼一位乘的邏輯電路框圖第七十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五乘法步驟如下：①、初始化時(shí)被乘數(shù)→B，乘數(shù)→C，并增加一位附加位，初值為0，0→A，0→CTR；②、CnCn+1=00或11時(shí)，A+0→A；

CnCn+1=01時(shí)，A+B→A；

CnCn+1=10時(shí)，A-B→A。③、CTR+1→CTR，若CTR≠n+1，繼續(xù)；若CTR=n+1，結(jié)束。第八十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五④、A、C聯(lián)合右移一位，轉(zhuǎn)步驟②。⑤、最后乘積高位在A，低位在C（除去最后兩位）。此算法的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)遇到代碼為連續(xù)“1”或連續(xù)“0”時(shí)，只需連續(xù)移位，為實(shí)現(xiàn)加速乘法創(chuàng)造了條件。缺點(diǎn)是乘數(shù)要增加一個(gè)附加位，第n+1步不移位，而且乘法結(jié)束時(shí)，乘積低位在寄存器中的位置不符合要求（需丟掉最后兩位）。第八十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）定點(diǎn)補(bǔ)碼兩位乘法根據(jù)補(bǔ)碼一位乘法的規(guī)則，將比較YnYn+1的狀態(tài)與比較Yn-1Yn的狀態(tài)所執(zhí)行的操作合并成一步，便很容易推導(dǎo)出補(bǔ)碼兩位乘法的算法，運(yùn)算規(guī)則如表3-15所示。第八十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五表3-15補(bǔ)碼兩位乘法運(yùn)算規(guī)則Yn-1YnYn+1操作Yn-1YnYn+1操作000部分積+0，右移兩位100部分積+2[-X]補(bǔ)，右移兩位001部分積+[X]補(bǔ)，右移兩位101部分積+[-X]補(bǔ)，右移兩位010部分積+[X]補(bǔ)，右移兩位110部分積+[-X]補(bǔ)，右移兩位011部分積+2[X]補(bǔ)，右移兩位111部分積+0，右移兩位第八十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五進(jìn)行定點(diǎn)補(bǔ)碼兩位乘法運(yùn)算需注意如下問(wèn)題：①、判別位。乘數(shù)的判別位涉及其附加位和符號(hào)位。在乘數(shù)的最低位后，一定要增加一位附加位，其初始值為0。定點(diǎn)補(bǔ)碼兩位乘法是從判別乘數(shù)的最低兩位與附加位的組合值開(kāi)始的。第八十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五乘數(shù)的符號(hào)位要視數(shù)值部分的位數(shù)來(lái)決定。若數(shù)值部分的位數(shù)為偶數(shù)，則必須采用2位符號(hào)位；否則，就采用1位符號(hào)位。這就是說(shuō)，乘數(shù)的數(shù)值部分連同符號(hào)位要保證為偶數(shù)。實(shí)際上，我們所使用的計(jì)算機(jī)，一般地說(shuō)，其字長(zhǎng)均為偶數(shù)，因此，若乘數(shù)的位數(shù)（包括1位符號(hào)位）為計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)，符號(hào)位取1位即可。第八十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五②、加法操作的次數(shù)。定點(diǎn)補(bǔ)碼兩位乘法運(yùn)算所做加法操作的次數(shù)為乘數(shù)的位數(shù)（包括符號(hào)位）除以2的值。③、部分積的符號(hào)位?？刹捎?位符號(hào)位，以保留正確的進(jìn)位及符號(hào)位。第八十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五④、符號(hào)位擴(kuò)展。在進(jìn)行定點(diǎn)補(bǔ)碼兩位乘法運(yùn)算中，在進(jìn)行右移2位操作時(shí)，要注意符號(hào)位的擴(kuò)展，即右移時(shí)符號(hào)要一起移，空出的符號(hào)位以符號(hào)的原值填充。⑤、最后一步的移位。視乘數(shù)的符號(hào)位而定。若符號(hào)位為2位，則不用移位；若符號(hào)位為1位，則要進(jìn)行右移1位的操作。第八十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知X=0.0110011，

Y=-0.0110010，求X?Y=？解：[X]補(bǔ)=000.0110011，

[Y]補(bǔ)=1.1001110，

[-X]補(bǔ)=111.10011012[X]補(bǔ)=000.1100110，

2[-X]補(bǔ)=111.0011010第八十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五部分積乘數(shù)附加位說(shuō)明0000000000+）1110011010110011100初始狀態(tài)Cn-1CnCn+1=100，+2[-X]補(bǔ)11100110101111100110+）00000000001

01100111右移兩位，Cn-1CnCn+1=111，+011111001101111111001+）00001100111

01011001右移兩位，Cn-1CnCn+1=001，+[X]補(bǔ)00001011000000001011+）11110011010

01010110右移兩位，Cn-1CnCn+1=110，+[-X]補(bǔ)111101100011111011000

00101011最后一次右移一位第八十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五所以[X?Y]補(bǔ)=1.11011000001010X?Y=-0.00100111110110第九十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.3.4除法運(yùn)算1、原碼除法兩個(gè)原碼表示的數(shù)相除，其商的符號(hào)為相除兩數(shù)符號(hào)的異或值，數(shù)值則用兩數(shù)的絕對(duì)值相除求得。設(shè)[x]原=xs.x1x2…xn，[y]原=ys.y1y2…yn，則[q]原=（xs⊕ys）|（x1x2…xn/y1y2…yn）第九十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五定點(diǎn)機(jī)中的除法運(yùn)算對(duì)被除數(shù)和除數(shù)有一定的約束。對(duì)小數(shù)除法，要求0<|被除數(shù)|<|除數(shù)|，同時(shí)必須規(guī)定除數(shù)≠0。商的位數(shù)一般與操作數(shù)位數(shù)相等。（1）恢復(fù)余數(shù)法原碼除法也是從手工除法演變而來(lái)的。先看手工除法的計(jì)算過(guò)程。第九十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)定x=0.1011，y=0.1101，求x/y=?第九十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五手工計(jì)算二進(jìn)制除法的規(guī)則是：①、比較被除數(shù)與除數(shù)的大小。根據(jù)前面的約定，被除數(shù)一定小于除數(shù)，則上商“0”不做減法，在被除數(shù)最低位后補(bǔ)“0”得到新余數(shù)，再與右移一位的除數(shù)比較；第九十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五②、如果余數(shù)大于除數(shù)，則上商“1”，并執(zhí)行一次減法，得到一個(gè)新的余數(shù)，將余數(shù)最低位補(bǔ)“0”，再與右移一位的除數(shù)比較；如果余數(shù)小于除數(shù)，則上商“0”不做減法，將余數(shù)最低位補(bǔ)“0”，再與右移一位的除數(shù)比較。③、重復(fù)步驟②，直到余數(shù)為0或得到的商的位數(shù)滿足精度要求為止。第九十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算要考慮硬件電路結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此在計(jì)算機(jī)中除法有如下改進(jìn)做法。①、計(jì)算機(jī)直接做減法試探，根據(jù)所得余數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷被除數(shù)（余數(shù)）與除數(shù)的大小。第九十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果余數(shù)符號(hào)為0（差為正數(shù)），表示被除數(shù)（余數(shù)）大于除數(shù)（夠減），上商“1”；如果余數(shù)符號(hào)為1（差為負(fù)數(shù)），表示被除數(shù)（余數(shù)）小于除數(shù)（不夠減），上商“0”，不夠減而減了，說(shuō)明此次減法運(yùn)算是不該進(jìn)行的，必須加上除數(shù)以恢復(fù)原來(lái)的余數(shù)。第九十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五②、手工算法中，被除數(shù)（余數(shù)）補(bǔ)“0”與右移一位的除數(shù)比較，計(jì)算機(jī)是用左移被除數(shù)（余數(shù)）來(lái)實(shí)現(xiàn)的。第九十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五③、手工除法中，從高位向低位逐位求商。在計(jì)算機(jī)中，直接把求得的每一位商寫進(jìn)商寄存器不易實(shí)現(xiàn)，通常是把求得的每一位商上到商值寄存器的最低一位。做法是：每次上商前將商值寄存器與被除數(shù)（余數(shù)）寄存器聯(lián)合左移一位，空出最低一位上每次求得的商值。④、被除數(shù)（余數(shù)）減除數(shù)的操作用加[-|y|]補(bǔ)實(shí)現(xiàn)。第九十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五這種因?yàn)椴粔驕p而要恢復(fù)原來(lái)余數(shù)的方法，叫做恢復(fù)余數(shù)法?；謴?fù)余數(shù)法的運(yùn)算步驟隨操作數(shù)組合的不同而改變，這使得控制線路比較復(fù)雜，而且運(yùn)算速度較慢。為此，也可用改進(jìn)后的不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）來(lái)計(jì)算。第一百頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）不恢復(fù)余數(shù)法（加減交替法）分析原碼恢復(fù)余數(shù)法得知，若第i-1次求商的余數(shù)為正ri-1時(shí)，下一次求商的方法是：ri=2ri-1-|y|①、若ri≥0，上商“1”，下一步ri+1=2ri-|y|；②、若ri<0，上商“0”，恢復(fù)余數(shù)ri+|y|，下一步ri+1=2（ri+|y|）-|y|=2ri+|y|。第一百零一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五此式表明，當(dāng)某一次求商出現(xiàn)不夠減時(shí)（ri<0），本次商上0，繼續(xù)求下一位商時(shí)，可以不必恢復(fù)余數(shù)，而是直接將負(fù)的差值左移一位后（得2ri）再加上除數(shù)，其效果與恢復(fù)余數(shù)后再左移一位減除數(shù)是等效的。由此得出不恢復(fù)余數(shù)法的運(yùn)算規(guī)則為：第一百零二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)余數(shù)為正時(shí)，上商“1”，做2ri-|y|的運(yùn)算；當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，上商“0”，做2ri+|y|的運(yùn)算。這里已經(jīng)沒(méi)有恢復(fù)余數(shù)的問(wèn)題，只是將余數(shù)左移一位后加上或減去除數(shù)，因此又稱為加減交替法。第一百零三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：x=0.1011，y=-0.1101，求[x/y]原=？解：|x|=0.1011，

|y|=0.1101，

[-|y|]補(bǔ)=1.0011第一百零四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五被除數(shù)（余數(shù)）商說(shuō)明00.1011+)11.00110.0000初始狀態(tài)減去除數(shù)11.111011.1100+)00.11010.00000.0000余數(shù)為負(fù)，商0左移一位加除數(shù)00.100101.0010+)11.00110.00010.0010余數(shù)為正，商1左移一位減去除數(shù)00.010100.1010+)11.00110.00110.0110余數(shù)為正，商1左移一位減去除數(shù)11.110111.1010+)00.11010.01100.1100余數(shù)為負(fù)，商0左移一位加除數(shù)00.01110.1101余數(shù)為正，商1第一百零五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五相除兩數(shù)符號(hào)位異或得到結(jié)果為1，所以：[x/y]原=1.1101

即：x/y=-0.1101由此例可見(jiàn)，n位小數(shù)除法共上商n+1次，第一次上的商是整數(shù)部分，根據(jù)前面的約定，這一位一定是0。第一百零六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五最后得到的余數(shù)并不就是0.0111，因?yàn)樵谟?jì)算過(guò)程中對(duì)余數(shù)進(jìn)行了四次左移操作，所以正確的余數(shù)是0.0111×2-4，并且在通常的機(jī)器中，把余數(shù)符號(hào)設(shè)為和被除數(shù)符號(hào)相同。第一百零七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、補(bǔ)碼不恢復(fù)余數(shù)法在原碼除法中，符號(hào)位不參加運(yùn)算，操作數(shù)都取絕對(duì)值。因此，根據(jù)余數(shù)的符號(hào)，即可判斷被除數(shù)（余數(shù)）減除數(shù)是否“夠”減，以確定下一步的運(yùn)算。而補(bǔ)碼除法，操作數(shù)和商都要用補(bǔ)碼表示，符號(hào)位要參加運(yùn)算。第一百零八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）兩數(shù)符號(hào)任意時(shí)比較大小的方法當(dāng)兩數(shù)符號(hào)任意時(shí)，除法運(yùn)算仍需比較兩數(shù)的絕對(duì)值大小。當(dāng)被除數(shù)或余數(shù)的絕對(duì)值大于或等于除數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，表示“夠減”；當(dāng)被除數(shù)或余數(shù)的絕對(duì)值小于除數(shù)的絕對(duì)值時(shí)表示“不夠減”。第一百零九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五為了判斷“夠減”與否，當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，應(yīng)做減法；此時(shí)，若得到的余數(shù)與除數(shù)同號(hào)（也即與被除數(shù)同號(hào)），表示“夠減”，否則表示“不夠減”。當(dāng)兩數(shù)異號(hào)時(shí)，應(yīng)做加法；此時(shí)若得到的余數(shù)與除數(shù)異號(hào)表示“夠減”（也即與被除數(shù)同號(hào)），否則表示“不夠減”。此算法見(jiàn)表3-16。第一百一十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五表3-16比較算法表比較[x]補(bǔ)與[y]補(bǔ)的符號(hào)求余數(shù)[ri]補(bǔ)比較[r]補(bǔ)與[y]補(bǔ)的符號(hào)同號(hào)[x]補(bǔ)-[y]補(bǔ)同號(hào)表示“夠減”異號(hào)[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)異號(hào)表示“夠減”第一百一十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（本來(lái)應(yīng)該比較余數(shù)符號(hào)與被除數(shù)符號(hào)是否相同來(lái)判斷是否夠減，但被除數(shù)在運(yùn)算過(guò)程中逐漸消失，所以改成了余數(shù)和除數(shù)進(jìn)行比較。）第一百一十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）上商規(guī)則在補(bǔ)碼除法中，商也用補(bǔ)碼表示，因此正商和負(fù)商的上商規(guī)則不同。如果被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)，商為正（原碼形式），則夠減時(shí)商為“1”，不夠減時(shí)商為“0”。第一百一十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果被除數(shù)與除數(shù)異號(hào)，商為負(fù)（補(bǔ)碼形式），則商為1、為0要根據(jù)具體商的情況決定（從后向前第一個(gè)1出現(xiàn)以前商上原碼，以后則商上反碼）。但商事先是不知道的，所以約定商的末位采用“恒置1”的舍入原則，則除了末位商外，其余各位商反碼，即夠減時(shí)商為“0”，不夠減時(shí)商為“1”。結(jié)合比較規(guī)則與上商規(guī)則，便可得到補(bǔ)碼除法商值的確定辦法，見(jiàn)表3-17。第一百一十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五表3-17商值的確定[x]補(bǔ)與[y]補(bǔ)商[r]補(bǔ)與[y]補(bǔ)商值同號(hào)正同號(hào)表示“夠減”1異號(hào)表示“不夠減”0異號(hào)負(fù)異號(hào)表示“夠減”0同號(hào)表示“不夠減”1第一百一十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）商符的確定在補(bǔ)碼除法中，符號(hào)位參加運(yùn)算，根據(jù)前面的討論，為了比較被除數(shù)和除數(shù)的大小，第一步應(yīng)該是：當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同號(hào)時(shí)，做[x]補(bǔ)-[y]補(bǔ)=[r]補(bǔ)；當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)異號(hào)時(shí)，做[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=[r]補(bǔ)。第一百一十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五因?yàn)槭嵌c(diǎn)小數(shù)除法，被除數(shù)絕對(duì)值必須小于除數(shù)的絕對(duì)值，否則商大于1而溢出。因此，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同號(hào)時(shí)，[r0]補(bǔ)必與[y]補(bǔ)異號(hào)，按上商規(guī)則，商應(yīng)上“0”，它恰好是正商的符號(hào)；當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)異號(hào)時(shí)，[r0]補(bǔ)必與[y]補(bǔ)同號(hào)，按上商規(guī)則，商應(yīng)上“1”，它恰好是負(fù)商的符號(hào)。這就是說(shuō)，商符是在求商值的過(guò)程中自動(dòng)形成的。第一百一十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（4）新余數(shù)的確定當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同號(hào)時(shí)，比較它們的大小做減法。如果所得的余數(shù)與除數(shù)同號(hào)表示“夠減”，再求新余數(shù)時(shí)，將余數(shù)左移一位，繼續(xù)做減法，2[ri]補(bǔ)-[y]補(bǔ)；如果所得余數(shù)與除數(shù)異號(hào)，表示“不夠減”，此時(shí)不必恢復(fù)余數(shù)，直接將ri左移一位做加法，2[ri]補(bǔ)+[y]補(bǔ)。第一百一十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)異號(hào)時(shí)，根據(jù)前面的討論，余數(shù)與除數(shù)異號(hào)時(shí)表示“夠減”，余數(shù)與除數(shù)同號(hào)表示“不夠減”。因?yàn)閮蓴?shù)異號(hào)時(shí)，求余數(shù)是做加法。因此，當(dāng)“夠減”時(shí)，應(yīng)將ri左移一位繼續(xù)做加法，[ri+1]補(bǔ)=2[ri]補(bǔ)+[y]補(bǔ)；當(dāng)不夠減時(shí)，應(yīng)恢復(fù)余數(shù)，因求新余數(shù)時(shí)做加法，則不恢復(fù)余數(shù)時(shí)應(yīng)做減法，即[ri+1]補(bǔ)=2[ri]補(bǔ)-[y]補(bǔ)。綜合上面的討論，即可得到求新余數(shù)的規(guī)則，見(jiàn)表3-18所示。第一百一十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五表3-18新余數(shù)的確定辦法[ri]補(bǔ)與[y]補(bǔ)商新余數(shù)同號(hào)1[ri+1]補(bǔ)=2[ri]補(bǔ)-[y]補(bǔ)異號(hào)0[ri+1]補(bǔ)=2[ri]補(bǔ)+[y]補(bǔ)第一百二十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五由此，可以得出補(bǔ)碼加減交替法的運(yùn)算步驟：①、參加運(yùn)算的數(shù)用補(bǔ)碼表示。②、符號(hào)位參加運(yùn)算。③、被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)，做被除數(shù)減除數(shù)的運(yùn)算；被除數(shù)與除數(shù)異號(hào)，做被除數(shù)加除數(shù)的運(yùn)算。第一百二十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五④、如果余數(shù)與除數(shù)同號(hào)，商上“1”，[ri+1]補(bǔ)=2[ri]補(bǔ)-[y]補(bǔ)；如果余數(shù)與除數(shù)異號(hào)，商上“0”，[ri+1]補(bǔ)=2[ri]補(bǔ)+[y]補(bǔ)。⑤、重復(fù)步驟④n次（n是不包括符號(hào)位在內(nèi)的字長(zhǎng)），商的末位恒置1。上述方法是在末位恒置1的情況下推導(dǎo)的，這種方法操作簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，最大的誤差為2-n。當(dāng)精度要求不高時(shí)，可以采用此法。第一百二十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：已知x=0.1000，y=-0.1010，求x/y=?解：[x]補(bǔ)=0.1000，

[y]補(bǔ)=1.0110，

[-y]補(bǔ)=0.1010第一百二十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五被除數(shù)（余數(shù)）商說(shuō)明00.1000+)11.01100.0000初始狀態(tài)[x]補(bǔ)與[y]補(bǔ)異號(hào)，+[y]補(bǔ)11.111011.1100+)00.10100.00010.001[r]補(bǔ)與[y]補(bǔ)同號(hào)，商“1”左移一位+[-y]補(bǔ)00.011000.1100+)11.01100.00100.010[r]補(bǔ)與[y]補(bǔ)異號(hào)，商“0”左移一位+[y]補(bǔ)00.001000.0100+)11.01100.01000.100[r]補(bǔ)與[y]補(bǔ)異號(hào)，商“0”左移一位+[y]補(bǔ)11.101011.0100+)00.10100.10011.001[r]補(bǔ)與[y]補(bǔ)同號(hào)，商“1”左移一位11.11101.0011最低位恒置“1”第一百二十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五[x/y]補(bǔ)=1.0011，所以x/y=-0.1101，余數(shù)為-0.0010×2-4第一百二十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.4浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算3.4.1浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算3.4.2浮點(diǎn)數(shù)的乘除運(yùn)算第一百二十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.4.1浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)x和y，x=2Ex×Mx，y=2Ey×My。其中Mx和My分別為x和y的尾數(shù)，Ex和Ey分別為x和y的階碼?？紤]生活中十進(jìn)制數(shù)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示時(shí)數(shù)據(jù)的運(yùn)算關(guān)系，兩個(gè)規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算需要以下步驟完成。第一百二十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）對(duì)階在浮點(diǎn)數(shù)中，階碼的大小實(shí)際反映了數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置。因此，當(dāng)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼不同時(shí)，表示兩數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位置是不同的。這樣的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)則不能將它們的尾數(shù)直接相加減，必須使它們的階碼相等，小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊后，才能進(jìn)行尾數(shù)的加減，這個(gè)過(guò)程稱為對(duì)階。第一百二十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)階的第一步是求階差ΔE=Ex-Ey。若ΔE=0，則兩數(shù)的階碼相等，不需對(duì)階；若ΔE≠0，就需要對(duì)階，按階差值|ΔE|的大小來(lái)調(diào)整階碼。第一百二十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)階時(shí)，由于浮點(diǎn)數(shù)采用規(guī)格化形式，若大階向小階看齊，則必須要求對(duì)應(yīng)大階的尾數(shù)向左移位，尾數(shù)左移會(huì)引起最高有效位的丟失，造成較大誤差。因此，對(duì)階的規(guī)則是小階向大階看齊，即使階碼小的尾數(shù)向右移位，每右移一位階碼加1，直至兩數(shù)的階碼相等為止。右移的位數(shù)等于階差|ΔE|。對(duì)此過(guò)程來(lái)說(shuō)，數(shù)位也有丟失，但丟失的是尾數(shù)的低位部分，誤差較小。第一百三十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）尾數(shù)加減對(duì)階完畢后，小數(shù)點(diǎn)的位置就對(duì)齊了。這時(shí)可以按定點(diǎn)數(shù)補(bǔ)碼加減運(yùn)算的規(guī)則求兩尾數(shù)的和或差。（3）規(guī)格化尾數(shù)加減運(yùn)算之后得到的數(shù)可能不是規(guī)格化數(shù)，為了增加有效數(shù)字的位數(shù)，提高運(yùn)算精度，必須進(jìn)行結(jié)果規(guī)格化操作。第一百三十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五規(guī)格化的尾數(shù)M應(yīng)滿足：1/2≤|M|<1設(shè)尾數(shù)用雙符號(hào)位補(bǔ)碼表示，經(jīng)過(guò)加減運(yùn)算之后，可能出現(xiàn)以下6種情況，即：①、00.1x……x②、11.0x……x③、00.0x……x第一百三十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五④、11.1x……x⑤、01.xx……x⑥、10.xx……x第①和②種情況，符合規(guī)格化數(shù)的定義，已是規(guī)格化數(shù)。第③和④種情況不是規(guī)格化數(shù)，需要使尾數(shù)左移以實(shí)現(xiàn)規(guī)格化，這個(gè)過(guò)程稱為左規(guī)。尾數(shù)每左移一位，階碼相應(yīng)減1，直至成為規(guī)格化數(shù)為止。第一百三十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五第⑤和⑥種情況在定點(diǎn)加減運(yùn)算中稱為溢出；但在浮點(diǎn)加減運(yùn)算中，只表明此時(shí)尾數(shù)的絕對(duì)值大于1，而非真正的溢出。這種情況應(yīng)將尾數(shù)右移以實(shí)現(xiàn)規(guī)格化。這個(gè)過(guò)程稱為右規(guī)。尾數(shù)每右移一位，階碼相應(yīng)加1。第一百三十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（4）舍入由于受到硬件的限制，在對(duì)階和右規(guī)處理之后有可能將尾數(shù)的低位丟失，這會(huì)引起一些誤差。為了減少誤差，可設(shè)置附加電路保存一些移出的數(shù)位，然后按一定的舍入方法進(jìn)行處理。舍入方法有很多種，最簡(jiǎn)單的是恒舍法，即無(wú)條件的丟掉正常尾數(shù)最低位之后的全部數(shù)值。為了提高精度，也可考慮采用0舍1入法進(jìn)行處理。第一百三十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五0舍1入法考慮右移時(shí)被丟掉數(shù)位的最高位，當(dāng)最高位為0時(shí)，則舍去；如果最高位為1，則將尾數(shù)的末位加1。此法舍入誤差比較小，既適用于原碼也適用于補(bǔ)碼。但當(dāng)被丟掉的數(shù)位的最高位為1時(shí)，要完成一次加法運(yùn)算，這次加法又有可能造成尾數(shù)溢出。此時(shí)，須再進(jìn)行右規(guī)。第一百三十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（5）溢出判斷與定點(diǎn)加減法一樣，浮點(diǎn)加減運(yùn)算最后一步也需要判溢出。在前面已經(jīng)指出，當(dāng)尾數(shù)之和（差）出現(xiàn)01.xx……x或10.xx……x時(shí)，并不表示溢出，需要將此數(shù)右規(guī)后，再根據(jù)階碼來(lái)判斷該浮點(diǎn)運(yùn)算結(jié)果是否溢出。第一百三十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五浮點(diǎn)數(shù)的溢出情況由階碼的符號(hào)決定，若階碼也用雙符號(hào)位補(bǔ)碼表示，當(dāng)：階碼為01.xx……x，表示上溢，此時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)真正溢出，機(jī)器需停止運(yùn)算，做溢出中斷處理。階碼為10.xx……x，表示下溢，浮點(diǎn)數(shù)值趨于零，機(jī)器不做溢出處理，而是按機(jī)器零處理。第一百三十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五例：設(shè)有兩浮點(diǎn)數(shù)x=0.101110×2-01，y=-（0.101011）×2-10，求x+y。（設(shè)定數(shù)據(jù)格式為：階碼4位，用移碼（偏移值為23）表示；尾數(shù)8位，用補(bǔ)碼表示，各包含一位符號(hào)位）第一百三十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：把x和y表示成浮點(diǎn)數(shù)格式為：[x]浮=0111；0.1011100[y]浮=0110；1.0101010（1）對(duì)階求階差：ΔE=Ex-Ey=-1-（-2）=1ΔE=1，表示Ex>Ey。按對(duì)階規(guī)則，將My右移一位，Ey+1→Ey，得：[y]浮=0111；1.10101010第一百四十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2)尾數(shù)求和Mx+My=00.1011100+11.1010101=00.01100010（3）規(guī)格化由于結(jié)果的尾數(shù)是非規(guī)格化的數(shù)，故應(yīng)左規(guī)。尾數(shù)每左移一位，階碼減1，直至尾數(shù)成為規(guī)格化數(shù)為止。最后結(jié)果為：[x+y]浮=0110；0.1100010第一百四十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五此例中不需舍入，且運(yùn)算過(guò)程中階碼沒(méi)有溢出。故：x+y=（0.110001）×2-10第一百四十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.4.2浮點(diǎn)數(shù)的乘除運(yùn)算1、乘法步驟兩浮點(diǎn)數(shù)相乘，其乘積的階碼應(yīng)為相乘兩數(shù)的階碼之和，其乘積的尾數(shù)應(yīng)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積。即：x×y=（Mx×My）×2（Ex+Ey）第一百四十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）階碼相加兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼相加，如果階碼用補(bǔ)碼表示，階碼相加之后無(wú)需校正；當(dāng)階碼用偏移量為2n的移碼表示時(shí)，階碼相加后要減去一個(gè)偏移量2n。第一百四十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五這是因?yàn)楦鶕?jù)移碼的定義：有：[Ex]移=2n+Ex，[Ey]移=2n+Ey，

[Ex+Ey]移=2n+（Ex+Ey）而：[Ex]移+[Ey]移=2n+Ex+2n+Ey=2n+（2n+Ex+Ey）

=2n+[Ex+Ey]移所以：[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]移-2n第一百四十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五考慮到移碼的定義范圍及2n的二進(jìn)制表示，減去2n實(shí)際也即是對(duì)符號(hào)位取反。此時(shí)移碼運(yùn)算可表示為：兩數(shù)和的移碼等于求兩數(shù)移碼的和并把符號(hào)位取反。考慮補(bǔ)碼表示與移碼表示的關(guān)系，此時(shí)引入用補(bǔ)碼處理的計(jì)算公式為：[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]補(bǔ)第一百四十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）尾數(shù)相乘若Mx、My都不為0，則可進(jìn)行尾數(shù)乘法。尾數(shù)乘法的算法與前述定點(diǎn)數(shù)乘法算法相同。第一百四十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）尾數(shù)結(jié)果規(guī)格化由于x、y都是規(guī)格化數(shù)，所以尾數(shù)相乘后的結(jié)果一定落在下列范圍內(nèi)：1/4≤|Mx×My|<1當(dāng)1/2≤|Mx×My|<1時(shí)，乘積已是規(guī)格化數(shù)，無(wú)須再進(jìn)行規(guī)格化操作；當(dāng)1/4≤|Mx×My|<1/2時(shí)，則需要左規(guī)一次。左規(guī)時(shí)調(diào)整階碼后如果發(fā)生階碼下溢，則做機(jī)器零處理。第一百四十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、除法步驟兩浮點(diǎn)數(shù)相除，其商的階碼應(yīng)為相除兩數(shù)的階碼之差，其商的尾數(shù)應(yīng)為相除兩數(shù)的尾數(shù)之商。即：x÷y=（Mx÷My）×2（Ex-Ey）第一百四十九頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）尾數(shù)調(diào)整為了保證商的尾數(shù)是一個(gè)定點(diǎn)小數(shù)，首先需要檢測(cè)|Mx|<|My|。如果不小于，則Mx右移一位，Ex+1→Ex，稱為尾數(shù)調(diào)整。因?yàn)閤、y都是規(guī)格化數(shù)，所以最多調(diào)整一次。第一百五十頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）階碼相減兩浮點(diǎn)數(shù)的階碼相減，如果階碼用補(bǔ)碼表示，階碼相減之后無(wú)須校正；當(dāng)階碼用偏移量為2n的移碼表示時(shí)，階碼相減后要加上一個(gè)偏移量2n。階碼相減后，如有溢出，應(yīng)另作處理。第一百五十一頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）尾數(shù)相除若Mx、My都不為0，則可進(jìn)行尾數(shù)除法。尾數(shù)除法的算法與前述定點(diǎn)數(shù)除法算法相同。因?yàn)殚_(kāi)始時(shí)已進(jìn)行了尾數(shù)調(diào)整，所以運(yùn)算結(jié)果一定落在規(guī)格化范圍內(nèi)，即：1/2≤|Mx÷My|<1第一百五十二頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五分析上述的浮點(diǎn)四則運(yùn)算可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于階碼只有加減運(yùn)算，對(duì)于尾數(shù)則有加、減、乘、除4種運(yùn)算?？梢?jiàn)浮點(diǎn)運(yùn)算器主要由兩個(gè)定點(diǎn)運(yùn)算部件組成，一個(gè)是階碼運(yùn)算部件，用來(lái)完成階碼加、減，以及控制對(duì)階時(shí)小階的尾數(shù)右移次數(shù)和規(guī)格化時(shí)對(duì)階碼的調(diào)整；另一個(gè)是尾數(shù)運(yùn)算部件，用來(lái)完成尾數(shù)的四則運(yùn)算以及判斷尾數(shù)是否已規(guī)格化。此外，還需要有溢出判斷電路等。第一百五十三頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.5算術(shù)邏輯單元ALU3.5.1串行加法器和并行加法器3.5.2ALU的功能和結(jié)構(gòu)第一百五十四頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.5.1串行加法器和并行加法器計(jì)算機(jī)除了能實(shí)現(xiàn)各種邏輯運(yùn)算外，還要能實(shí)現(xiàn)各種算術(shù)運(yùn)算。由前面運(yùn)算方法的介紹可看到，計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)各種算術(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)是加法運(yùn)算，即加、減、乘、除的基本操作都是加法，而加法功能可由加法器電路實(shí)現(xiàn)。在2.3.1節(jié)中我們已介紹了基本的半加器和全加器電路。第一百五十五頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、串行加法器計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)表示通常有多個(gè)數(shù)值位，但我們也可只用一個(gè)一位的加法器來(lái)逐位進(jìn)行計(jì)算，這樣的加法器叫串行加法器，電路結(jié)構(gòu)如圖3-9所示。第一百五十六頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖3-9一位全加器構(gòu)成的串行加法器第一百五十七頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、串行進(jìn)位的并行加法器將n個(gè)全加器順序相連可得到n位加法器，如圖3-10所示。該加法器能同時(shí)實(shí)現(xiàn)n位數(shù)據(jù)的相加操作，屬于并行加法器。第一百五十八頁(yè)，共一百八十二頁(yè)，編輯于2023年，星