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第二節(jié)微積分基本公式三、牛頓—萊布尼茨公式一、引例二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)物體從某定點(diǎn)開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng),在t時(shí)刻物體所經(jīng)過(guò)的路程為S(t),速度為vv(t)S(t)(v(t)0),則在時(shí)間間隔[T1,T2]內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S可表示為上式表明,速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1,T2]上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間[T1,T2]上的增量.這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？即一、引例二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有定理1.

若注:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導(dǎo):同時(shí)為通過(guò)原函數(shù)計(jì)算定積分開(kāi)辟了道路.例1.

求解:原式例2.

確定常數(shù)a,b,c的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得

例3設(shè)f(x)在[0,)內(nèi)連續(xù)且f(x)>0證明函數(shù)在(0

)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)

證明

因?yàn)榘醇僭O(shè)當(dāng)0tx時(shí)f(t)>0(xt)f(t)>0所以從而F

(x)>0(x>0)因此F(x)在(0

)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)

若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則定理3(牛頓萊布尼茨公式)

證明

因?yàn)镕(x)和(x)都是f(x)的原函數(shù)所以存在常數(shù)C使

F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即

由于也是f(x)的原函數(shù)三、牛頓—萊布尼茨公式例4.計(jì)算解:例5.

計(jì)算正弦曲線的面積.解:例6求解由圖形可知

例7

汽車以每小時(shí)36km速度行駛,到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度a5m/s2剎車.問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車,汽車走了多少距離？于是從開(kāi)始剎車到停車汽車所走過(guò)的距離為t2(s).當(dāng)汽車停止時(shí),有v(t)v0at105t.剎車后t時(shí)刻汽車的速度為v(t)105t

0,汽車剎車時(shí)的初速度為

解

內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導(dǎo)公式練習(xí)題證令作業(yè)：p-243習(xí)題5-2

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