數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究與實(shí)踐

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究與實(shí)踐數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究與實(shí)踐15/15PAGE15數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究與實(shí)踐數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究與實(shí)踐論文：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究與實(shí)踐高淳縣下壩中學(xué)李萬勝數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，正確理解數(shù)學(xué)概念是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的前提。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中不容忽視的重要一環(huán)。正是基于以上的認(rèn)識(shí)與理解，筆者作為一名初中數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)了有關(guān)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論,并對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行了初步的研究和實(shí)踐。一、數(shù)學(xué)概念的涵義數(shù)學(xué)概念是人對(duì)客觀事物中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象。概念反映的所有對(duì)象的共同本質(zhì)屬性的總和，叫做這個(gè)概念的內(nèi)涵，又稱涵義。適合于概念所指的對(duì)象的全體，叫做這個(gè)概念的外延，又稱范圍。如平行四邊形的內(nèi)涵就是平行四邊形所代表的所有對(duì)象的本質(zhì)屬性：有四條邊，兩組對(duì)邊分別平行，對(duì)角線互相平分等；我們把適合概念的所有對(duì)象的全體，一般的平行四邊形、長(zhǎng)方形、菱形和正方形稱為平行四邊形的外延。概念的內(nèi)涵和外延是概念的兩個(gè)方面，是相互依存、相互制約，統(tǒng)一而不可分割的。正確的思維要求概念明確，明確概念即是要明確概念的內(nèi)涵和外延。比如，講到“代數(shù)式”這一概念，首先想到的是這種式子的本質(zhì)特征是怎樣的?即“代數(shù)式”的內(nèi)涵是什么?“用加、減、乘、除、開方、乘方六種代數(shù)運(yùn)算符號(hào)將數(shù)和字母連接起來所得到的式子”就是“代數(shù)式”，這是代數(shù)式的本質(zhì)特征，是代數(shù)式的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵一經(jīng)界定，它的存在范圍、數(shù)量也就隨之確定下來了；反過來，概念的外延一經(jīng)確定，即當(dāng)它所反映的思維對(duì)象的數(shù)量范圍限定下來之后，我們-以對(duì)這些對(duì)象的集合里的元素進(jìn)行觀察、分類、比較、分析、綜合、抽象、概括等，找出它們共有的基本特征，一般地，也可以將概念的內(nèi)涵弄清楚。中小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，包括數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、量與計(jì)量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念以及與統(tǒng)計(jì)、概率知識(shí)有關(guān)的概念等。這些概念是構(gòu)成中小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的。數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)思維中起著十分重要的作用，它是最基本的思維形式。判斷是由概念構(gòu)成的，推理和證明又是由判斷構(gòu)成的，可以說數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞。二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義1．正確理解各種數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能的基石中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)包括概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等，其中數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。概念反映的是事物的本質(zhì)屬性，是人們對(duì)事物本質(zhì)屬性的反映。我們要認(rèn)識(shí)、把握某個(gè)事物，必須首先弄清它的本質(zhì)屬性，否則就無法正確地認(rèn)識(shí)事物。學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的過程，實(shí)際上就是掌握概念并運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、推理的過程。數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實(shí)證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高運(yùn)算和解題技能。相反，如果一個(gè)學(xué)生概念不清，就無法掌握定律、法則和公式。例如，圓周角定理是一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，要使學(xué)生掌握這個(gè)定理，必須事先使學(xué)生弄清圓周角、圓心角及弧所對(duì)的圓周角，弧所對(duì)的圓心角等概念。中學(xué)數(shù)學(xué)是一門概念性很強(qiáng)的學(xué)科，任何一部分內(nèi)容的教學(xué)，都離不開概念教學(xué)。所以我們要想使學(xué)生真正學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，并能正確地運(yùn)用，數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，必須重視概念教學(xué)，充分認(rèn)識(shí)到概念教學(xué)的重要意義。2．正確掌握概念并加以靈活運(yùn)用是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的必要前提概念是思維的“細(xì)胞”。在概念、判斷、推理這三種思維形式中，概念是起點(diǎn)，沒有概念，或概念錯(cuò)誤，就無法形成正確的判斷，無法進(jìn)行正確的推理。如要判斷三角形全等，學(xué)生必須對(duì)邊角邊、角邊角、邊邊邊、角角邊、斜邊直角邊這些概念十分清楚，才能去進(jìn)行判斷和推理。正是在形成正確的概念，并據(jù)此進(jìn)行判斷、推理的過程中，學(xué)生初步的數(shù)學(xué)思維能力才逐步得到提高。在概念教學(xué)過程中，為了使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念，教師常常要提供豐富的感性材料讓學(xué)生觀察，在觀察的基礎(chǔ)上，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)感性材料進(jìn)行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性，從而使他們的初步邏輯思維能力逐步得到提高；使學(xué)生從概念形成的過程中，認(rèn)識(shí)定義存在的必要性和定義的合理性，達(dá)到理解概念、訓(xùn)練思維的目的。3．重視概念的教學(xué)有助于學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立和遷移能力的增強(qiáng)實(shí)踐證明，教學(xué)中，學(xué)生對(duì)最基本的概念理解得越深刻，學(xué)習(xí)有關(guān)知識(shí)越容易，遷移的能力也就越強(qiáng)。例如，只要學(xué)生真正掌握了商不變性質(zhì)，就有助于以后分?jǐn)?shù)、比例的學(xué)習(xí)，有助于順利地理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比例的基本性質(zhì)，解決通分、約分、擴(kuò)大、縮小的問題。而且只有以最基本的概念為核心，通過不斷遷移學(xué)到的知識(shí)才不是孤立的、零散的，才有助于形成主次分明、綱目清楚的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才便于學(xué)生理解、遷移和記憶。如列方程解應(yīng)用題這部分知識(shí)，其中方程是最基本、最核心的概念，有關(guān)的知識(shí)在這一概念的作用下才形成了一個(gè)有機(jī)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。三、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中存在的問題從教師的教學(xué)來看，存在如下問題：(1)比較忽視概念的教學(xué)。在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)不少教師片面重視計(jì)算教學(xué)，而不重視概念教學(xué)，把注意力和精力過多地投入到了計(jì)算教學(xué)上，在講概念時(shí)一帶而過，不注意講懂、講透，讓學(xué)生真正理解概念。(2)比較忽視概念的形成。在教學(xué)概念時(shí)往往把一些新概念和盤托出，強(qiáng)輸硬灌，要求孩子們?nèi)ビ浺恍┈F(xiàn)成的結(jié)論，學(xué)生囫圇吞棗，結(jié)果是知其然而不知其所以然。(3)比較忽視概念間的聯(lián)系。在教學(xué)概念時(shí)容易就事論事，不注意概念之間的有機(jī)聯(lián)系，結(jié)果，許多有聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念分散而孤立地保留在學(xué)生的頭腦中，只見樹木不見森林，沒有組成概念系統(tǒng)。(4)比較忽視概念的靈活運(yùn)用。沒有主動(dòng)地去創(chuàng)設(shè)一些條件，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題中去靈活運(yùn)用概念，從而加深理解概念。諸上問題導(dǎo)致了學(xué)生不能牢固地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，不能融會(huì)貫通地靈活運(yùn)用知識(shí)，不能形成真正的計(jì)算能力。例如，一位教師在教完全平方公式時(shí)主觀地以為學(xué)生能容易理解，故對(duì)完全平方公式結(jié)構(gòu)的講解不夠，并沒有利用各種變式去幫助學(xué)生理解，而把大量的時(shí)間花在機(jī)械的運(yùn)算上，結(jié)果時(shí)間一長(zhǎng)就出現(xiàn)完全平方公式等同于平方差公式的錯(cuò)誤。學(xué)生學(xué)習(xí)概念，往往會(huì)出現(xiàn)兩種傾向：(1)有的學(xué)生認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味，作用不大而不去重視它。(2)有的學(xué)生對(duì)基本概念雖然重視但只是死記硬背，而不去真正透徹理解。這樣久而久之，就會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)概念不清的情況，從而嚴(yán)重影響對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握和運(yùn)用。如學(xué)生由于對(duì)絕對(duì)值概念理解不清，出現(xiàn)了的錯(cuò)誤。這個(gè)現(xiàn)象說明只有真正掌握了數(shù)學(xué)中的基本概念，我們才能把握數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)，才能正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算、論證和空間想象。從一定意義上說，數(shù)學(xué)水平的高低，取決于對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度。四、進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐1．豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)由于形成準(zhǔn)確概念的先決條件是使學(xué)生獲得十分豐富和符合實(shí)際的感性材料，通過對(duì)感性材料的抽象、概括，來揭示概念所反映的本質(zhì)屬性，因此在教學(xué)中，要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際模型，通過對(duì)實(shí)物、模型的觀察，對(duì)圖形的大小關(guān)系、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的比較分析，創(chuàng)設(shè)情境等，在具有充分感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引入概念。如在教學(xué)“數(shù)軸”這個(gè)概念時(shí)，如果照教材宣讀“把一條規(guī)定了方向、原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸”，這樣直接引入對(duì)初學(xué)者來講往往空對(duì)空，理解不深。其實(shí)，人們?cè)缇椭涝鯓佑谩爸本€”上的“點(diǎn)”表示各種數(shù)量，如秤桿上的“點(diǎn)”表示物體的重量，溫度計(jì)上的“點(diǎn)”表示溫，標(biāo)尺上的“點(diǎn)”表示長(zhǎng)度等。秤桿、溫度計(jì)、標(biāo)尺都具有“三要素”：度量的起點(diǎn)，度量的單位，明確增減方向。這些模型都啟發(fā)人們用直線上的“點(diǎn)”表示數(shù)，從而引入“數(shù)軸’’概念，這樣教學(xué)學(xué)生容易接受。又如，“平面直角坐標(biāo)系”的引人，我們可以問學(xué)生你坐在教室里的什么位置，要回答這個(gè)問題，學(xué)生必然會(huì)說，我在第幾組、第幾排。事實(shí)上，這個(gè)第幾組、第幾排正是點(diǎn)坐標(biāo)最初原型。再如平移、旋轉(zhuǎn)、投影概念的引入，可充分借助于教具或電教手段，把產(chǎn)生的過程加以演示，使學(xué)生形成實(shí)感，加深對(duì)概念的領(lǐng)悟。教學(xué)實(shí)踐證明，使學(xué)生身臨其境去體驗(yàn)并理解有關(guān)知識(shí)，他們能很快準(zhǔn)確地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念。在感知的過程中，在引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)地感知客觀事物的時(shí)候，教師要注意使用數(shù)學(xué)術(shù)語。但教師提供材料時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是所選材料要確切。二是所選材料要突出所授知識(shí)的本質(zhì)特征。例如直角三角形的本質(zhì)特征是“有一個(gè)角是直角的三角形”，至于這個(gè)直角是三角形中的哪一個(gè)角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質(zhì)的。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)出示不同的圖形，使學(xué)生在不同的圖形中辨認(rèn)其不變的本質(zhì)屬性。2.引導(dǎo)學(xué)生抽象出事物的本質(zhì)屬性透過事物的外部現(xiàn)象，抽象概括出事物的本質(zhì)屬性時(shí)，才叫形成了概念。即完成了從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍之后，學(xué)生腦中才能形成概念。也就是說，在感知的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生以抽象概括，找出全體材料共同的本質(zhì)屬性。如學(xué)習(xí)梯形的概念時(shí)，可針對(duì)圖1—5所提供的形式不同的梯形，找出其共同之處：①都是四邊形，②每個(gè)四邊形僅有一組對(duì)邊平行。合并上述兩個(gè)要點(diǎn)，即可得出：只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形。3．通過練習(xí)加深對(duì)概念的理解練習(xí)題除了安排一定量的基本題之外，還應(yīng)安排好“變式”反例”兩種類型的題目。變式練習(xí)題通常指題目的形式與的例題有所變化，而本質(zhì)屬性不變，其主要特征是“是非而是”。例如，教學(xué)垂線的認(rèn)識(shí)時(shí)，通常用兩個(gè)典型例進(jìn)行教學(xué)，練習(xí)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生判斷兩個(gè)圖中條直線是否垂直。從表面看這兩個(gè)圖中都沒有四個(gè)角，但直線是沒有端點(diǎn)的，應(yīng)把這兩個(gè)圖看成：，可認(rèn)這兩個(gè)圖中的兩條直線互相垂直。這兩個(gè)圖為學(xué)生畫三角邊上的高和確認(rèn)直角三角形的高打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。反例練習(xí)則是“似是而非”，即表面上練習(xí)題與典型的例題，但本質(zhì)屬性已經(jīng)起了根本性的變化。如，學(xué)生對(duì)三角形有了初步認(rèn)識(shí)之后，引導(dǎo)學(xué)生辯認(rèn)下面的圖形是不是三角形圖1—6三個(gè)圖從表面看與三角形相似，而本質(zhì)已變化。(1)圖中有三條線段，但未“圍成”(2)圖中“圍成”了但有四條線段；(3)圖中有三條邊，也圍成了，但是有一條邊不是線段。這三個(gè)圖都不是三角形。除了變式練習(xí)外，還可以進(jìn)行變換本質(zhì)屬性的敘述或表達(dá)方式方面的練習(xí)。學(xué)生理解和掌握概念的特點(diǎn)之一往往是：對(duì)某一概念的內(nèi)涵不很清楚，也不全面，把非本質(zhì)的特征作為本質(zhì)的征。，為此，往往需要變換概念的敘述或表達(dá)方式，讓學(xué)生從各個(gè)側(cè)面來理解概念，目的是從變式中把握概念的本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性的干擾。因?yàn)槭挛锏谋举|(zhì)屬性可以運(yùn)用不同的語言來表達(dá)，如果學(xué)生對(duì)各種不同的敘述和表達(dá)都能理解和掌握，就說明學(xué)生對(duì)概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。如教學(xué)“梯形”的概念，在學(xué)生按課本識(shí)了梯形后，出示下面圖1—7的兩個(gè)圖形，問：它們是梯形嗎?當(dāng)學(xué)生回答后，再要他們指出這個(gè)梯形的上底、下底和高。接著出示圖1—8，要求學(xué)生說出圖中有哪些梯形，并分別指出這些梯形的高、上底和下底。有的學(xué)生認(rèn)為。是梯形，有的認(rèn)為^也是梯形，還有的認(rèn)為。和凸合起來是個(gè)大梯形。說明學(xué)生已經(jīng)靈活掌握丁“梯形”這一概念。4．在應(yīng)用中加深對(duì)概念的理解學(xué)習(xí)概念時(shí)，即使弄清了概念的涵義，但要真正掌握它，還必須通過應(yīng)用，在應(yīng)用中加深理解。加深對(duì)概念的理解，還可以讓學(xué)生把概念應(yīng)用于生活實(shí)踐。數(shù)學(xué)概念來源于生活，就必然要回到生活實(shí)際中去。教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念去解決數(shù)學(xué)問題，是培養(yǎng)學(xué)生思維、發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的過程。并且，也只有讓學(xué)生把所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)概念，拿到生活實(shí)際中去運(yùn)用，才會(huì)使學(xué)到的概念鞏固下來，進(jìn)而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用技能。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，，有意識(shí)地深化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概念。例如在學(xué)習(xí)圓的面積后，一位教師就設(shè)計(jì)了這樣的問題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓面積公式，誰能想辦法算一算，學(xué)校操場(chǎng)上白楊樹樹干的橫截面面積?”同學(xué)們就討論開了，有的說，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹砍下來才能量出半徑；有的不贊成這樣做，認(rèn)為樹一砍下來就會(huì)死掉。這時(shí)教師進(jìn)一步引導(dǎo)說：“那么能不能想出不砍樹就能算出橫截面面積的辦法來呢?大家再討論一下。”學(xué)生們渴望得到正確的答案，通過積極思考和爭(zhēng)論，終于找到了好辦法，即先量出樹干的周長(zhǎng)，再算出半徑，然后應(yīng)用面積公式算出大樹橫截面面