高等數(shù)學(xué)第一章第節(jié)連續(xù)函數(shù)

第八節(jié)連續(xù)函數(shù)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性1一函數(shù)的連續(xù)性1函數(shù)的增量22

連續(xù)的定義3用函數(shù)在處連續(xù)的定義可敘述為：設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義，如果對任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使當(dāng)時,則稱在處連續(xù).由定義可知,函數(shù)在處連續(xù),必須滿足下面三個條件,(1)在處有定義;(2)存在;(3)有不等式成立,恒4例1證由定義2知,3單側(cè)連續(xù)5定理1函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是在處即左連續(xù)又右連續(xù).例2解右連續(xù)但不左連續(xù),64連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,

在開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在區(qū)間上連續(xù).或者說函數(shù)在區(qū)間7二函數(shù)的間斷點(diǎn)定義3設(shè)函數(shù)在的某個鄰域或去心鄰域有定義,在處不連續(xù),若為函數(shù)的間斷點(diǎn).則稱8例4解9例510解

注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).(3)如果函數(shù)在某個去心鄰域內(nèi)有定義,且當(dāng)時,左、右極限至少有一個不存在,則稱為第二類間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn),的第一類間斷點(diǎn),是函數(shù)若都存在.則11例6解例7解12例8解13三連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性定理2例如,1

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性142

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

定理3單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).15定理4證以為例證明.將上瓣兩步射合起盈來,16意義1.極限鼓符號距可以槽與函稈數(shù)符懼號互鄭換;例9解例10設(shè)證明證17例11求極炮限解原式定理5注意定理5是定胸理4的特它殊情征況.由于冪函數(shù)在區(qū)間可以表示成而在區(qū)間上是連續(xù)的,18在上是折連續(xù)為的,所以在是連續(xù)的.可以證明在其定義域(與指數(shù)有關(guān))上是連續(xù)的.3初等醬函數(shù)鞏的連拘續(xù)性有前料面的臂討論簽可得元：一切基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.從而,根據(jù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合函數(shù)連續(xù)性可知:一切助初等性函數(shù)毅在定千義區(qū)蘿間內(nèi)芝是連鉤續(xù)的.注意破定義莖區(qū)間屋內(nèi)是蔑指包瞧含在甩定義賊域內(nèi)染的區(qū)抵間.求初等函孤數(shù)在凱連續(xù)孔點(diǎn)處每的極撲限可雨以用代入筐法.即這里為初等函數(shù)的連續(xù)點(diǎn).19例12例13解解例14求函數(shù)的間斷點(diǎn),并指出間斷的類型.20解函數(shù)為初等函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)橐虼藶楹瘮?shù)的間斷點(diǎn)，由于所以是函數(shù)的可去間斷點(diǎn).由于所以是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).連續(xù)的。因此在定義區(qū)間內(nèi)是21定義44閉區(qū)視間上社連續(xù)文函數(shù)還的性睬質(zhì)定理6(最大拍值和燥最小潔值定匠理)在閉晝區(qū)間墻上連類續(xù)的設(shè)函數(shù)輝一定脊有最挪大值冶和最勒小值.22注意:1爬.若區(qū)房誠間是勒開區(qū)喪間,定理疑不一蠶定成鋤立;推論(有界芬性定給理)在閉暫區(qū)間葵上連戴續(xù)的帶函數(shù)鎮(zhèn)一定篇在該枯區(qū)間浪上有處界.2.若區(qū)煎間內(nèi)夕有間村斷點(diǎn),定理隔不一近定成朵立.定理7(零點(diǎn)認(rèn)定理)那末在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn),在閉區(qū)間上連續(xù)，設(shè)函數(shù)與異號(即且23使.即至剛少有趕一點(diǎn)幾何凍解釋例15證由零睬點(diǎn)定門理,24例16證由零需點(diǎn)定躺理,25定理8(介值浙定理)設(shè)函敘數(shù)在閉嫂區(qū)間連續(xù)匠，且射在這狐區(qū)間扁的端音點(diǎn)取令不同退的函牽數(shù)值及那末快，對凱于與之間爪的任遵意一共個數(shù)在開糠區(qū)間內(nèi)至竭少有戲一點(diǎn)使得上BCAab證由零噴點(diǎn)定證理,)(xfy=26推論

在閉區(qū)間上連續(xù)的與最小值之間的任何值.函數(shù)必取得介于最大值例17設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),為上個定點(diǎn),證明:在