實(shí)數(shù)與向量相乘及向量的線性運(yùn)算(基礎(chǔ)) 知識(shí)講解

m表示與am表示與a實(shí)與量乘向的性算基知講【習(xí)標(biāo)1．理解實(shí)數(shù)與向量相乘的定義向量數(shù)乘的運(yùn)算律；2.于給定的一個(gè)非零實(shí)數(shù)和個(gè)非零向量，能畫出它們相乘所得的向量；3．認(rèn)識(shí)兩個(gè)平行向量的代數(shù)表形式；4.向量的線性運(yùn)算和平行向定理的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)【點(diǎn)理要一實(shí)與量乘實(shí)與量乘意：一般地n為數(shù)為們

表示個(gè)加

表示個(gè)

相加又當(dāng)為數(shù)時(shí)，要詮：

nna向且長(zhǎng)度為a向.m設(shè)P為一個(gè)正數(shù)P是將的度行縮而向持變也是將的度進(jìn)行放縮，但方向相.．向數(shù)的義一般地?cái)?shù)

k

與向量

a

的相乘所得的積是一個(gè)向量作

ka

它長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）果

k且a0

時(shí)，則：①

的長(zhǎng)度：

|②

的方向：當(dāng)

k0

時(shí)，

與

a

同方向；當(dāng)

k0時(shí)，

ka

與

a

反方向；（2）果

ka，則：ka0，ka的任意.實(shí)數(shù)k與a相，叫做向量的數(shù).要詮：（1）量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已向量平行（或共線）的向量；（2）數(shù)與向量不能進(jìn)行加減算；（4）ka表量的數(shù)乘運(yùn)算，寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（5）量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān).實(shí)與量相的算律設(shè)m為，則：（1）

m

（結(jié)合律）；（2）

mana

（向量的數(shù)乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分律）；

（3）

mmb

（向量的數(shù)乘對(duì)于向量加法的分律）要二平向定1.單向：度1的向叫做單位向.要詮：任意非零向量

a

與它同方向的單位向量

a0

的關(guān)系：

a

0

，

0

.2.平向定：果

b

與非零向量

a

平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)

m

，使

b

.要詮：（1）理中，m

，號(hào)由b與a同還是反向來(lái)確（2）理中的“

a0

”不能去掉，因?yàn)槿?/p>

a0

，必有

b0

，此時(shí)

m

可以取任意實(shí)數(shù)，使得

bma

成立.（3向平行的判定定理a是非零向量存在一個(gè)實(shí)數(shù)m使b

則向量

b與非零向量

a

平行（4）向量平行的性質(zhì)定理：若量

b

與非零向量

a

平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)

m

，使

b

.（5）A、C三點(diǎn)共線

若存在實(shí)λ，使

.要三向的性算．向的性算義向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)要詮：（1）如果沒有括號(hào)，那么運(yùn)算順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．．向的解平向基定：果

e12

是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不行）的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量

a

，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

1

,

2

，使得

a

ee11

.要詮：（1一平面內(nèi)兩個(gè)不共或平行量一組基底中，必不含有零向量．

e1

叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組.(2)一個(gè)向量用一組基底

e為a12

ee112

形式量的分解

e1相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分.

aaeaaaaeaa(3)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，示也不同．．用量法決面何題（1）用知量示知量用已知向量來(lái)表示另外一些向量除利用向量的加、減算，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理此量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中三形中位線似三角形對(duì)應(yīng)邊成例等平面幾何的性質(zhì)向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解．（2）向方研平幾的問(wèn)的三曲①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn).②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素關(guān).③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān).【型題類一實(shí)與量乘1.已零向量a，

并指出它們的長(zhǎng)度和方.【答案與解析】解：如下圖，(1)平面內(nèi)任取點(diǎn)O作

a

；(2)在線OA，取

55，OBa；a的且與同向22(3)在線OA反向延長(zhǎng)線上，，OC長(zhǎng)度是向

且與反【總結(jié)升華向量既有大小又有向，作實(shí)數(shù)與向量相乘的積向量時(shí)兩方面都要考舉反：【變式位向量向與的向相同度為向量用表4e【答案】2.已行四邊A中中FH交于點(diǎn)O設(shè)

ADa

，BAb

，請(qǐng)用向量ab示向量

OE

，并寫出圖中與向量

OE

相等的.【答案與解析】

11解：OEFABA；EAa222與OE相等的向量有：BF

，F(xiàn)A

，GO，CH，【總結(jié)升華已向量表示未向量看知量已向間的大小關(guān)系又要看方向關(guān).類二向的性算3．（1

a

-

b

)-2(

a

+2

b

)（2

a

+6

b

-3

c

)-3(-3

a

+4

b

-2

c

)【答案與解析】解：（1）原式＝

a

-3

b

)+－2）

a

+（－2）2

b＝3

a

-3

b

－2

a

－4

b＝ab（2）式2(2

a

（6

b

）-2（3

c

）+（-3

a

)+（-3）)

b

）+）(-2

c

)＝（4

a

+12

b

-6

c

)+9

a

-12

b

+6

c＝（4+9）a）b+（-6+6

c＝13

a【總結(jié)升華向量的線性運(yùn)算與項(xiàng)式的運(yùn)算相類.舉反：【變式】計(jì)算：（1）

(3)

；）

b)b)a

；【答案】解：（1）原式

12a

；）原式

5b

．4．已知向量a和量b求作量a-2b【答案與解析】解：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，

OA，2b，BAOBa2b

即

BA

即為所.【總結(jié)升華解題的關(guān)鍵是向量法，減法及數(shù)乘運(yùn)算法則，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)舉反：【變式向表東表南行a+bA．向東南航行2kmB向東航行2km．東北航行．向東北航行2km【答案A5.如圖M是△ABC的邊AB的點(diǎn)a的線性組合表示向量CM

b【答案與解析】解：∵M(jìn)是線AB中點(diǎn)，∴

1,得AM2

.又∵ABba1∴CAAMa)a2【總結(jié)升華M是ABCAB的中

12

練記憶并靈活運(yùn).舉反：【變式】如圖AD是ABC中邊上中，G是△ABC的重心，設(shè)ABa，ACb則向量AG＝用a，b表示【答案】b)【答案與解析】解：是中邊線，點(diǎn)是△ABC的心，a，∴AD

，AG

2211b)b)3323

．類三平向定的用6.如

abb

，其中

c

是非零向量，求證：

a

【答案與解析】證一由

ab，可：b)b)

，化簡(jiǎn)得：

a由平面向量定理得：

a證二把已知的向量關(guān)系式看作于方程，得向量組：ab2cab解得

b2

由平行向量定理得：

a所以

a【總結(jié)升華已條件是兩個(gè)向的關(guān)系式，其中有三個(gè)向?yàn)閍與b是否一種思路是利用已知兩個(gè)向量的關(guān)式，消去

c

，找到

a

與

b

之間的關(guān)系式；另一種思路是把這兩個(gè)向量的關(guān)系式看作關(guān)于a、b量方程解由它們組成的向量方程組，可將這兩個(gè)向量用c示出來(lái)7.如圖，已知向量OA

和

，求作量

p

分別在OA

方向上的分向量；（2）量q分別在方上向.【答案與解析】

解：(1)圖1，作向量OPp

；再過(guò)點(diǎn)P別作PE

,PD

,E直線PE與線OB的交點(diǎn)D為直PD直線OA的，作向量,則OD

是向量

p

分別在OA

方向上的分向.(2)圖2，作向量OQq

；再過(guò)點(diǎn)Q分QF

,

QG

,F直線與線OB的交G為直線與線OA交點(diǎn)，作向OG

,則OG

是向量q分別在OA

方向上的分向.【總結(jié)升華分向量加及乘算密系這些運(yùn)算的綜合應(yīng)類四綜應(yīng)8.如圖，已知點(diǎn)A在射線OM上在ON，

OBOBOAOA

11

k1

，OCOCOAOA

11

k設(shè)OAa2

1

b

.（1）分別求向量

關(guān)于

a

的分解式；（2）判斷向量

1

是否平行，再指出直線

、BB11

1

的位置關(guān).【答案與解析】解

OBOBOAOA

11

k1

，

OCOCOAOA

11

k2

.設(shè)

a

b可得：

kk2

，

kb,OC

k由向量減法的三角形法則可得：

ba

，

11111111BB

1

OB

1

OBkbkaka)11

；CC

1

OC

1

OCkbkaka)222(2)由（）得：

BB

1

kAA1

1

,

CC

1

kAA2

1由平行向量基本定理得：

BB,CCAA11

1

,所以

BB11

1

，又它們所在的直線不共線，所以直線

、BB11

1

相互平行【總結(jié)升華若證直線與BB行，需證向量AA與BB平且沒有公共點(diǎn)；若證A、